春人教版数学六下第五单元《数学广角 鸽巢问题》word教案精品教案.docx
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春人教版数学六下第五单元《数学广角鸽巢问题》word教案精品教案
5、数学广角——鸽巢问题
单元分析
一、教材分析:
本教材专门安排“数学广角”这一单元,向学生渗透一些重要的数学思想方法。
和以往的义务教育教材相比,这部分内容是新增的内容。
本单元教材通过几个直观例子,借助实际操作,向学生介绍“鸽巢问题”,使学生在理解“鸽巢问题”这一数学方法的基础上,对一些简单的实际问题加以“模型化”,会用“鸽巢问题”加以解决。
在数学问题中,有一类与“存在性”有关的问题。
在这类问题中,只需要确定某个物体(或某个人)的存在就是可以了,并不需要指出是哪个物体(或人)。
这类问题依据的理论我们称之为“抽屉原理”。
“抽屉原理”最先是19世纪的德国数学家狄利克雷运用于解决数学问题的,所以又称“狄利克雷原理”,也称之为“鸽巢问题”。
“鸽巢问题”的理论本身并不复杂,甚至可以说是显而易见的。
但“鸽巢问题”的应用却是千变万化的,用它可以解决许多有趣的问题,并且常常能得到一些令人惊异的结论。
因此,“鸽巢问题”在数论、集合论、组合论中都得到了广泛的应用。
“鸽巢原理”的变式很多,在生活中运用广泛,学生在生活中常常遇到此类问题。
教学时,要引导学生先判断某个问题是否属于“鸽巢原理”可以解决的范畴。
能不能将这个问题同“鸽巢原理”结合起来,是本次教学能否成功的关键。
所以,在教学中,应有意识地让学生理解“鸽巢原理”的“一般化模型”。
六年级的学生理解能力、学习能力和生活经验已达到能够掌握本章内容的程度。
教材选取的是学生熟悉的,易于理解的生活实例,将具体实际与数学原理结合起来,有助于提高学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
二、三维目标:
1、知识与技能:
引导学生通过观察、猜测、实验、推理等活动,经历探究“鸽巢原理”的过程,初步了解“鸽巢原理”的含义,会用“鸽巢原理”解决简单的实际问题。
2、过程与方法:
1)经历探究“鸽巢原理”的学习过程,体验观察、猜测、实验、推理等活动的学习方法,渗透数形结合的思想。
(2)学会与人合作,并能与人交流思维过程和结果。
3、情感态度与价值观:
(1)积极参与探索活动,体验数学活动充满着探索与创造。
(2)体会数学与生活的紧密联系,感受数学在实际生活中的作用,体验学数学、用数学的乐趣。
(3)通过“鸽巢原理”的灵活应用,感受数学的魅力。
(4)理解知识的产生过程,受到历史唯物注意的教育。
三、教学重点:
应用“鸽巢原理”解决实际问题,引导学会把具体问题转化成“鸽巢问题。
四、教学难点:
理解“鸽巢原理”,找出”鸽巢问题“解决的窍门进行反复推理。
六、课时安排:
3课时
鸽巢问题-------------------1课时
“鸽巢问题”的具体应用------1课时
练习课---------------------1课时
第一课时鸽巢问题
(1)
(总第56课时)
【教学内容】最简单的鸽巢问题(教材第68页例1和第69页例2)。
【教学目标】
1.理解简单的鸽巢问题及鸽巢问题的一般形式,引导学生采用操作的方法进行枚举及假设法探究“鸽巢问题”。
2.体会数学知识在日常生活中的广泛应用,培养学生的探究意识。
【重点难点】了解简单的鸽巢问题,理解“总有”和“至少”的含义。
【教学准备】实物投影,每组3个文具盒和4枝铅笔。
【情景导入】
教师:
同学们,你们在一些公共场所或旅游景点见过电脑算命吗?
“电脑算命”看起来很深奥,只要你报出自己的出生年月日和性别,一按键,屏幕上就会出现所谓性格、命运的句子。
通过今天的学习,我们掌握了“鸽巢问题”之后,你就不难证明这种“电脑算命”是非常可笑和荒唐的,是不可相信的鬼把戏了。
(板书课题:
鸽巢问题)
教师:
通过学习,你想解决哪些问题?
根据学生回答,教师把学生提出的问题归结为:
“鸽巢问题”是怎样的?
这里的“鸽巢”是指什么?
运用“鸽巢问题”能解决哪些问题?
怎样运用“鸽巢问题”解决问题?
【新课讲授】
1.教师用投影仪展示例1的问题。
同学们手中都有铅笔和文具盒,现在分小组形式动手操作:
把四支铅笔放进三个标有序号的文具盒中,看看能得出什么样的结论。
组织学生分组操作,并在小组中议一议,用铅笔在文具盒里放一放。
教师指名汇报。
学生汇报时会说出:
1号文具盒放4枝铅笔,2号、3号文具盒均放0枝铅笔。
教师:
不妨将这种放法记为(4,0,0)。
〔板书:
(4,0,0)〕
教师提出:
(4,0,0)(0,4,0)(0,0,4,)为一种放法。
教师:
除了这种放法,还有其他的方法吗?
教师再指名汇报。
学生会有(4,0,0)(0,1,3)(2,2,0)(2,1,1)四种不同的方法。
教师板书。
教师:
还有不同的放法吗?
教师:
通过刚才的操作,你能发现什么?
(不管怎么放,总有一个盒子里至少有2枝铅笔。
)
教师:
“总有”是什么意思?
(一定有)
教师:
“至少”有2枝什么意思?
(不少于两只,可能是2枝,也可能是多于2枝)
教师:
就是不能少于2枝。
(通过操作让学生充分体验感受)
教师进一步引导学生探究:
把5枝铅笔放进4个文具盒,总有一个文具盒要放进几枝铅笔?
指名学生说一说,并且说一说为什么?
教师:
把4枝笔放进3个盒子里,和把5枝笔放进4个盒子里,不管怎么放,总有一个盒子里至少有2枝铅
笔。
这是我们通过实际操作发现的这个结论。
那么,我们能不能找到一种更为直接的方法,只摆一种情况,也能得到这个结论呢?
学生思考——组内交流——汇报
教师:
哪一组同学能把你们的想法汇报一下?
学生会说:
我们发现如果每个盒子里放1枝铅笔,最多放3枝,剩下的1枝不管放进哪一个盒子里,总有一个盒子里至少有2枝铅笔。
教师:
你能结合操作给大家演示一遍吗?
(学生操作演示)
教师:
同学们自己说说看,同桌之间边演示边说一说好吗?
教师:
这种分法,实际就是先怎么分的?
学生:
平均分。
教师:
为什么要先平均分?
(组织学生讨论)
学生汇报:
要想发现存在着“总有一个盒子里一定至少有2枝”,先平均分,余下1枝,不管放在哪个盒子里,一定会出现“总有一个盒子里一定至少有2枝”。
这样分,只分一次就能确定总有一个盒子至少有几枝笔了?
教师:
同意吗?
那么把5枝笔放进4个盒子里呢?
(可以结合操作,说一说)教师:
哪位同学能把你的想法汇报一下?
学生:
(一边演示一边说)5枝铅笔放在4个盒子里,不管怎么放,总有一个盒子里至少有2枝铅笔。
师:
把6枝笔放进5个盒子里呢?
还用摆吗?
生:
6枝铅笔放在5个盒子里,不管怎么放,总有一个盒子里至少有2枝铅笔。
师:
把7枝笔放进6个盒子里呢?
把8枝笔放进7个盒子里呢?
把9枝笔放进8个盒子里呢?
?
?
教师:
你发现什么?
学生:
铅笔的枝数比盒子数多1,不管怎么放,总有一个盒子里至少有2枝铅笔。
教师:
你们的发现和他一样吗?
(一样)你们太了不起了!
同桌互相说一遍。
把100枝铅笔放进99个文具盒里会有什么结论?
一起说。
巩固练习:
教材第68页“做一做”。
A组织学生在小组中交流解答。
B指名学生汇报解答思路及过程。
2.教学例2。
①出示题目:
把7本书放进3个抽屉里,不管怎么放,总有一个抽屉里至少有几本书?
请同学们小组合作探究。
探究时,可以利用每组桌上的7本书。
活动要求:
a.每人限独立思考。
b.把自己的想法和小组同学交流。
c.如果需要动手操作,可以利用每桌上的7本书,要有分工,并要全面考虑问题。
(谁分铅笔,谁当抽屉,谁记录等)d.在全班交流汇报。
(师巡视了解各种情况)
学生汇报。
哪个小组愿意说说你们的方法?
把你们的发现和大家一起分享,学生可能会有以下方法:
a.动手操作列举法。
学生:
通过操作,我们把7本书放进3个抽屉,总有一个抽屉至少放进3本书。
b.数的分解法。
把7分解成三个数,有(7,0),(6,1),(5,2),(4,3)四种情况。
在任何一种情况下,总有一个数不小于3。
教师:
通过动手摆放及把数分解两种方法,我们知道把7本书放进3个抽屉,总有一个抽屉至少放进几本书?
(3本)
②教师质疑引出假设法。
教师:
同学们通过以上两种方法,知道了把7本书放进3个抽屉,总有一个抽屉至少放进3本书,但随着书的本数越多,数据变大,如:
要把155本书放进3个抽屉呢?
用列举法、数的分解法会怎么样?
(繁琐)我们能不能找到一种适用各种数据的方法呢?
请同学们想想。
板书:
7本3个2本?
?
余1本(总有一个抽屉里至少有3本书)
8本3个2本?
?
余2本(总有一个抽屉里至少有3本书)
10本3个3本?
?
余1本(总有一个抽屉里至少有4本书)
师:
2本、3本、4本是怎么得到的?
生:
完成除法算式。
7÷3=2本?
?
1本(商加1)
8÷3=2本?
?
2本(商加1)
10÷3=3本?
?
1本(商加1)
师:
观察板书你能发现什么?
学生:
“总有一个抽屉里的至少有3本”,只要用“商+1”就可以得到。
师:
如果把5本书放进3个抽屉里,不管怎么放,总有一个抽屉里至少有几本书?
学生:
“总有一个抽屉里至少有3本”只要用5÷3=1本?
?
2本,用“商+2”就可以了。
学生有可能会说:
不同意!
先把5本书平均分放到3个抽屉里,每个抽屉里先放1本,还剩2本,这2本书再平均分,不管分到哪两个抽屉里,总有一个抽屉里至少有2本书,不是3本书。
师:
到底是“商+1”还是“商+余数”呢?
谁的结论对呢?
在小组里进行研究、讨论、交流、说理活动。
可能有三种说法:
a.我们组通过讨论并且实际分了分,结论是总有一个抽屉里至少有2本书,不是3本书。
b.把5本书平均分放到3个抽屉里,每个抽屉里先放1本,余下的2本可以在2个抽屉里再各放1本,结论是“总有一个抽屉里至少有2本书”。
c.我们组的结论是5本书平均分放到3个抽屉里,“总有一个抽屉里至少有2本书”用“商加1”就可以了,不是“商加2”。
教师:
现在大家都明白了吧?
那么怎样才能够确定总有一个抽屉里至少有几个物体呢?
学生回答:
如果书的本数是奇数,用书的本数除以抽屉数,再用所得的商加1,就会发现“总有一个抽屉里至少有商加1本书”了。
教师讲解:
同学们的这一发现,称为“抽屉原理”,“抽屉原理”又称“鸽笼原理”,最先是由19世纪的德国数学家狄里克雷提出来的,所以又称“狄里克雷原理”,也称为“鸽巢原理”。
这一原理在解决实际问题中有着广泛的应用。
“抽屉原理”的应用是千变万化的,用它可以解决许多有趣的问题,并且常常能得到一些令人惊异的结果。
下面我们应用这一原理解决问题。
提问:
尽量把书平均分给各个抽屉,看每个抽屉能分到多少本书,你们能用什么方式表示这一平均的过程呢?
学生在练习本上列式:
7÷3=2?
?
1。
集体订正后提问:
这个有余数的除法算式说明了什么问题?
生:
把7本书平均放进3个抽屉,每个抽屉有两本书,还剩一本,把剩下的一本不管放进哪个抽屉,总有一个抽屉至少放三本书。
③引导学生归纳鸽巢问题的一般规律。
a.提问:
如果把10本书放进3个抽屉会怎样?
13本呢?
b.学生列式回答。
c.教师板书算式:
10÷3=3?
?
1(总有一个抽屉至少放4本书)
13÷3=4?
?
1(总有一个抽屉至少放5本书)
④观察特点,寻找规律。
提问:
观察3组算式,你能发现什么规律?
引导学生总结归纳出:
把某一数量(奇数)的书放进三个抽屉,只要用这个数除以3,总有一个抽屉至少放进书的本数比商多一。
⑤提问:
如果把8本书放进3个抽屉里会怎样,为什么?
8÷3=2?
?
2
学生汇报。
可能出现两种情况:
一种认为总有一个抽屉至少放3本书;一种认为总有一个抽屉至少放4本书。
学生讨论。
讨论后,学生明白:
不是商加余数2,而是商加1。
因为剩下两本,也可能分别放进两个抽屉里,一个抽屉一本,相当于数的分解(3,3,2)。
所以,总有一个抽屉至少放3本书。
⑥总结归纳鸽巢问题的一般规律。
要把a个物体放进n个抽屉里,如果a÷n=b?
?
c(c≠0),那么一定有一个抽屉至少放(b+1)个物体。
【课堂作业】
教材第69页“做一做”。
(1)组织学生在小组中交流解答。
(2)指名学生汇报解答思路及过程。
【课堂小结】
通过这节课的学习,你有哪些收获?
【课后作业】
完成练习册中本课时的练习。
板书设计
(4,0,0),(0,1,3),(2,2,0),(2,1,1)
只要放进的铅笔数比比笔筒数多,总有一个笔筒至少放进2支铅笔。
7÷3=2……12+1=3
教学反思:
本节课让学生经历探究“鸽巢原理”的过程,初步了解了“鸽巢原理”,并能够应用于实际,学会思考数学问题的方法,培养学生的数学思维。
兴趣是最好的老师,导入新课时,我采用了“抢板凳”的游戏,这游戏真实的反应了“鸽巢原理”的本质。
通过游戏,即抓住了学生的注意力,让学生觉得这节课要探究的问题,好玩又有意义。
本节课,我还注重学生自主探索精神的培养。
第二课时鸽巢问题
(2)
(总第57课时)
【教学内容】“鸽巢问题”的具体应用(教材第70页例3)。
【教学目标】
1.在了解简单的“鸽巢问题”的基础上,使学生会用此原理解决简单的实际问题。
2.培养学生有根据、有条理的进行思考和推理的能力。
3.通过用“鸽巢问题”解决简单的实际问题,激发学生的学习兴趣,使学生感受数学的魅力。
【重点难点】
引导学生把具体问题转化为“鸽巢问题”,找出这里的“鸽巢”有几个,再利用“鸽巢问题”进行反向推理。
【教学准备】课件,1个纸盒,红球、蓝球各4个。
【情景导入】
教师讲《月黑风高穿袜子》的故事。
一天晚上,毛毛房间的电灯突然坏了,伸手不见五指,这时他又要出去,于是他就摸床底下的袜子,他有蓝、白、灰色的袜子各一双,由于他平时做事随便,袜子乱丢,在黑暗中不知道哪些袜子颜色是相同的。
毛毛想拿最少数目的袜子出去,在外面借街灯配成相同颜色的一双。
你们知道最少拿几只袜子出去吗?
在学生猜测的基础上揭示课题。
教师:
这节课我们利用鸽巢问题解决生活中的实际问题。
板书:
“鸽巢问题”的具体应用。
【新课讲授】
1.教学例3。
盒子里有同样大小的红球和蓝球各4个,要想摸出的球一定有2个同色的,最少要摸出几个球?
(出示一个装了4个红球和4个蓝球的不透明盒子,晃动几下)
师:
同学们,猜一猜老师在盒子里放了什么?
(请一个同学到盒子里摸一摸,并摸出一个给大家看)
师:
如果这位同学再摸一个,可能是什么颜色的?
要想这位同学摸出的球,
一定有2个同色的,最少要摸出几个球?
请学生独立思考后,先在小组内交流自己的想法,验证各自的猜想。
指名按猜测的不同情况逐一验证,说明理由。
摸2个球可能出现的情况:
1红1蓝;2红;2蓝
摸3个球可能出现的情况:
2红1蓝;2蓝1红;3红;3蓝
摸4个球可能出现的情况:
2红2蓝;1红3蓝;1蓝3红;4红;4蓝
摸5个球可能出现的情况:
4红1蓝;3蓝2红;3红2蓝;4蓝1红;5红;5蓝
教师:
通过验证,说说你们得出什么结论。
小结:
盒子里有同样大小的红球和蓝球各4个。
想要摸出的球一定有2个同色的,最少要摸3个球。
2.引导学生把具体问题转化为“鸽巢问题”。
教师:
生活中像这样的例子很多,我们不能总是猜测或动手试验吧,能不能把这道题与前面所讲的“鸽巢问题”联系起来进行思考呢?
思考:
a.“摸球问题”与“鸽巢问题”有怎样的联系?
b.应该把什么看成“鸽巢”?
有几个“鸽巢”?
要分放的东西是什么?
c.得出什么结论?
学生讨论,汇报。
教师讲解:
因为一共有红、蓝两种颜色的球,可以把两种“颜色”看成两个“鸽巢”,“同色”就意味着“同一个鸽巢”。
这样,把“摸球问题”转化“鸽巢问题”,即“只要分的物体个数比鸽巢多,就能保证有一个鸽巢至少有两个球”。
从最特殊的情况想起,假设两种颜色的球各拿了1个,也就是在两个鸽巢里各拿了一个球,不管从哪个鸽巢里再拿一个球,都有两个球是同色,假设最少摸a个球,即(a)÷2=1?
?
(b)当b=1时,a就最小。
所以一次至少应拿出1×2+1=3个球,就能保证有两个球同色。
结论:
要保证摸出有两个同色的球,摸出的数量至少要比颜色种数多一。
【课堂作业】
先完成第70页“做一做”的第2题,再完成第1题。
(1)学生独立思考。
(提示:
把什么看做鸽巢?
有几个鸽巢?
要分的东西是什么?
)
(2)同桌讨论。
(3)汇报交流。
【课堂小结】
本节课你有什么收获?
【课后作业】
完成练习册中本课时的练习。
板书设计
鸽巢数——颜色数
要保证抽出两个同色的球,摸出的球的数量只是要比颜色总数多1
教学反思:
教学中,我充分利用学具,将抽象的数学知识同具体的实物结合起来,化难为易,化抽象为具体,让学生体验和感悟数学。
通过实际操作,学生进一步经历“鸽巢原理”的探究、运用过程,并对一些实际问题模型化,从而在用“鸽巢原理”加以解决的过程中,促进逻辑推理能力的发展。
第三课时鸽巢问题(练习课)
(总第58课时)
教学内容:
教材71页练习十三的5、6题,及相关的练习题。
三维目标:
1、知识与技能:
进一步熟知“鸽巢原理”的含义,会用“鸽巢原理”熟练解决简单的实际问题。
2、过程与方法:
经历探究“鸽巢原理”的学习过程,体验观察、猜测、实验、推理等活动的学习方法,渗透数形结合的思想。
3、情感、态度和价值观:
通过用“鸽巢问题”解决简单的实际问题,激发学生的学习兴趣,使学生感受数学的魅力。
教学重点:
应用“鸽巢原理”解决实际问题。
引导学会把具体问题转化成“鸽巢问题”。
教学难点:
理解“鸽巢原理”,找出”鸽巢问题“解决的窍门进行反复推理。
教具准备:
多媒体课件。
教学过程:
一、谈话导入------出示课题
二、指导练习
(一)基础练习题1、填一填:
(1)鱼岳三小六年级有30名学生是二月份(按28天计算)出生的,六年级至少有( )名学生的生日是在二月份的同一天。
(2)有3个同学一起练习投篮,如果他们一共投进16个球,那么一定有1个同学至少投进了( )个球。
(3)把6只鸡放进5个鸡笼,至少有( )只鸡要放进同1个鸡笼里。
(4)某班有个小书架,40个同学可以任意借阅,小书架上至少要有( )本书,才可以保证至少有1个同学能借到2本或2本以上的书。
学生独立思考解答,集体交流纠正。
2、解决问题。
(1)(易错题)六
(1)班有50名同学,至少有多少名同学是同一个月出生的?
(2)书籍里混装着3本故事书和5本科技书,要保证一次一定能拿出2本科技书。
一次至少要拿出多少本书?
(3)把16支铅笔最多放入几个铅笔盒里,可以保证至少有1个铅笔盒里的铅笔不少于6支?
(二)拓展应用
1、把27个球最多放在几个盒子里,可以保证至少有1个盒子里有7个球?
教师引导学生分析:
盒子数看作抽屉数,如果要使其中1个抽屉里至少有7个球,那么球的个数至少要比抽屉数的(7-1)倍多1个,而(27-1)÷(7-1)=4...2,因此最多放进4个盒子里,可以保证至少有1个盒子里有7个球。
教师引导学生规范解答:
2、一个袋子里装有红、黄、蓝袜子各5只,一次至少取出多少只可以保证每种颜色至少有1只?
教师引导学生分析:
假设先取5只,全是红的,不符合题意,要继续去;假设再取5只,5只有全是黄的,这时再取一只一定是蓝色的,这样取5×2+1=11(只)可以保证每种颜色至少有1只。
教师引导学生规范解答:
3、六
(2)班的同学参加一次数学考试,满分为100分,全班最低分是75。
已知每人得分都是整数,并且班上至少有3人的得分相同。
六
(2)班至少有多少名同学?
教师引导学生分析:
因为最高分是100分,最低分是75分,所以学生可能得到的不同分数有100-745+1=26(种)。
教师引导学生规范解答:
三、巩固练习:
完成教材第71页练习十三的5、6题。
(学生独立思考解答问题,集体交流、纠正。
)
四、课堂总结
说说这节课你有什么收获?
还有什么疑问,我们一起解决。
五、作业 个人调整意见
教学反思:
本节课首先通过三个基础练习回顾了“鸽巢原理”,接下来的练习课是鸽巢问题的实际应用问题,虽然原理比较简单,但实际题目中,最主要的是帮助学生在不同的题目中找出该道题的“鸽巢”是什么,然后要放到“鸽巢”里的东西是什么,只有帮助学生在解题时有了古剑鸽巢问题模型的能力,才能使学生真正地理解鸽巢问题,以便更好的解决鸽巢问题。
《鸽巢问题》单元检测
(总第59-60课时)
教学内容:
检测学生对第五单元《鸽巢问题》的掌握情况。
教学目标:
1、通过检测检验学生对本单元知识的理解掌握情况。
2、学生独立完成。
3、培养学生细心谨慎的审题解题习惯。
教学重点:
通过检测检验学生对本单元知识的理解掌握情况。
教学难点:
通过答卷情况分析出学生失分的深层原因,并找到弥补对策。
教法与学法:
独立完成
教学过程:
一、宣布考试纪律和目的。
二、分发试卷,学生独立解答,教师巡视。
三、收取试卷。
四、教师评卷。
五、集体评议。
六、师生订正。
单元试卷讲评
单元试卷分析
(总第61-62课时)
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