一轮北师大版理数学教案第2章 第12节 导数与函数的极值最值 Word版含答案.docx
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一轮北师大版理数学教案第2章第12节导数与函数的极值最值Word版含答案
第十二节 导数与函数的极值、最值
[考纲传真] 1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次).3.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).
1.导数与函数的极值
(1)函数的极大值与导数的关系
x
(a,x0)
极大值点x0
(x0,b)
f′(x)
+
0
-
y=f(x)
增加
极大值
减少
图示
(2)函数的极小值与导数的关系
x
(a,x0)
极小值点x0
(x0,b)
f′(x)
-
0
+
y=f(x)
减少
极小值
增加
图示
2.求f(x)在[a,b]上的最大(小)值
(1)求函数y=f(x)在(a,b)内的极值.
(2)将函数y=f(x)的各极值与f(a),f(b)比较,最大的为最大值,最小的为最小值.
1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)函数的极大值一定比极小值大.( )
(2)对可导函数f(x),f′(x0)=0是x0为极值点的充要条件.( )
(3)函数的最大值不一定是极大值,函数的最小值也不一定是极小值.( )
(4)若实际问题中函数定义域是开区间,则不存在最优解.( )
[答案]
(1)×
(2)× (3)√ (4)×
2.(教材改编)函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f′(x)在(a,b)内的图像如图2121所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内极小值点的个数为( )
【导学号:
57962113】
图2121
A.1 B.2 C.3 D.4
A [导函数f′(x)的图像与x轴的交点中,左侧图像在x轴下方,右侧图像在x轴上方的只有一个,所以f(x)在区间(a,b)内有一个极小值点.]
3.已知某生产厂家的年利润y(单位:
万元)与年产量x(单位:
万件)的函数关系式为y=-
x3+81x-234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )
A.13万件B.11万件
C.9万件D.7万件
C [y′=-x2+81,令y′=0得x=9或x=-9(舍去).
当x∈(0,9)时,y′>0,当x∈(9,+∞)时,y′<0,
则当x=9时,y有最大值.
即使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件.]
4.(2016·四川高考)已知a为函数f(x)=x3-12x的极小值点,则a=( )
A.-4 B.-2 C.4 D.2
D [由题意得f′(x)=3x2-12,令f′(x)=0得x=±2,∴当x<-2或x>2时,f′(x)>0;当-2 ∴f(x)在x=2处取得极小值,∴a=2.] 5.函数y=2x3-2x2在区间[-1,2]上的最大值是________. 8 [y′=6x2-4x,令y′=0, 得x=0或x= . ∵f(-1)=-4,f(0)=0,f =- , f (2)=8,∴最大值为8.] 利用导数研究函数的极值问题 角度1 根据函数图像判断极值 设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数y=(1-x)f′(x)的图像如图2122所示,则下列结论中一定成立的是( ) 图2122 A.函数f(x)有极大值f (2)和极小值f (1) B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f (1) C.函数f(x)有极大值f (2)和极小值f(-2) D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f (2) D [由题图可知,当x<-2时,f′(x)>0;当-2<x<1时,f′(x)<0;当1<x<2时,f′(x)<0;当x>2时,f′(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x=-2处取得极大值,在x=2处取得极小值.] 角度2 求函数的极值 求函数f(x)=x-alnx(a∈R)的极值. [解] 由f′(x)=1- = ,x>0知: (1)当a≤0时,f′(x)>0,函数f(x)为(0,+∞)上的增函数,函数f(x)无极值;5分 (2)当a>0时,由f′(x)=0,解得x=a. 又当x∈(0,a)时,f′(x)<0;当x∈(a,+∞)时,f′(x)>0,9分 从而函数f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)=a-alna,无极大值. 综上,当a≤0时,函数f(x)无极值;当a>0时,函数f(x)在x=a处取得极小值a-alna,无极大值.12分 角度3 已知极值求参数 (1)已知函数f(x)=x(lnx-ax)有两个极值点,则实数a的取值范围是( ) 【导学号: 57962114】 A.(-∞,0)B. C.(0,1)D.(0,+∞) (2)设f(x)=ln(1+x)-x-ax2,若f(x)在x=1处取得极值,则a的值为________. (1)B (2)- [ (1)∵f(x)=x(lnx-ax), ∴f′(x)=lnx-2ax+1, 故f′(x)在(0,+∞)上有两个不同的零点, 令f′(x)=0,则2a= , 设g(x)= ,则g′(x)= , ∴g(x)在(0,1)上递增,在(1,+∞)上递减, 又∵当x→0时,g(x)→-∞,当x→+∞时,g(x)→0, 而g(x)max=g (1)=1, ∴只需0<2a<1⇒0<a< . (2)由题意知,f(x)的定义域为(-1,+∞), 且f′(x)= -2ax-1= , 由题意得,f′ (1)=0,则-2a-2a-1=0, 得a=- ,又当a=- 时, f′(x)= = , 当0<x<1时,f′(x)<0; 当x>1时,f′(x)>0, ∴f (1)是函数f(x)的极小值, ∴a=- .] [规律方法] 利用导数研究函数极值的一般流程 利用导数解决函数的最值问题 已知函数f(x)=x-eax(a>0). (1)求函数f(x)的单调区间; (2)求函数f(x)在 上的最大值. [解] (1)f(x)=x-eax(a>0),则f′(x)=1-aeax, 令f′(x)=1-aeax=0,则x= ln .3分 当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x ln f′(x) + 0 - f(x) ↗ 极大值 ↘ 故函数f(x)的增区间为 ;减区间为 .6分 (2)当 ln ≥ ,即0<a≤ 时, f(x)max=f = -e2;9分 当 < ln < ,即 <a< 时, f(x)max=f = ln - ; 当 ln ≤ ,即a≥ 时, f(x)max=f = -e.12分 [规律方法] 求函数f(x)在[a,b]上的最大值、最小值的步骤: (1)求函数在(a,b)内的极值; (2)求函数在区间端点的函数值f(a),f(b); (3)将函数f(x)的极值与f(a),f(b)比较,其中最大的为最大值,最小的为最小值. [变式训练1] (2017·石家庄质检 (二))若a>0,b>0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值,若t=ab,则t的最大值为( ) 【导学号: 57962115】 A.2 B.3 C.6 D.9 D [f′(x)=12x2-2ax-2b,则f′ (1)=12-2a-2b=0,a+b=6,又a>0,b>0,则t=ab≤ =9,当且仅当a=b=3时取等号,故选D.] 利用导数研究生活中的优化问题 某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位: 千克)与销售价格x(单位: 元/千克)满足关系式y= +10(x-6)2,其中3 (1)求a的值; (2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大. [解] (1)因为x=5时,y=11,所以 +10=11,a=2.5分 (2)由 (1)可知,该商品每日的销售量为y= +10(x-6)2, 所以商场每日销售该商品所获得的利润为 f(x)=(x-3) =2+10(x-3)(x-6)2,3 从而,f′(x)=10[(x-6)2+2(x-3)(x-6)]=30(x-4)(x-6), 于是,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x (3,4) 4 (4,6) f′(x) + 0 - f(x) 递增 极大值42 递减 由上表可得,x=4时,函数f(x)取得极大值,也是最大值,9分 所以,当x=4时,函数f(x)取得最大值,且最大值等于42. 即当销售价格为4元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大. 12分 [规律方法] 利用导数解决生活中优化问题的一般步骤 (1)设自变量、因变量,建立函数关系式y=f(x),并确定其定义域; (2)求函数的导数f′(x),解方程f′(x)=0; (3)比较函数在区间端点和f′(x)=0的点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值; (4)回归实际问题作答. [变式训练2] 某品牌电动汽车的耗电量y与速度x之间有关系y= x3- x2-40x(x>0),为使耗电量最小,则速度应定为________. 【导学号: 57962116】 40 [由y′=x2-39x-40=0, 得x=-1或x=40, 由于0<x<40时,y′<0; x>40时,y′>0. 所以当x=40时,y有最小值.] [思想与方法] 1.可导函数y=f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)=0,且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同. 2.求闭区间上可导函数的最值时,对函数的极值是极大值还是极小值可不作判断,直接与端点的函数值比较即可. 3.如果目标函数在定义区间内只有一个极值点,那么根据实际意义该极值点就是最值点. 4.若函数f(x)在定义域A上存在最大值与最小值,则: (1)对任意x∈A,f(x)>0⇔f(x)min>0; (2)存在x∈A,f(x)>0⇔f(x)max>0. [易错与防范] 1.求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯,可使问题直观且有条理,减少失分的可能. 2.导数为零的点不一定是极值点.对含参数的求极值问题,应注意分类讨论. 3.若函数y=f(x)在区间(a,b)内有极值,那么y=f(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在某区间上单调函数没有极值. 4.利用导数解决实际生活中的优化问题,要注意问题的实际意义.
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