高中数学北师大版选修12精品学案第三章 推理与证明 第4课时 反证法.docx
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高中数学北师大版选修12精品学案第三章推理与证明第4课时反证法
第4课时 反 证 法
1.理解反证法的概念.
2.了解反证法的思考过程与特点,掌握反证法证明问题的步骤.
3.理解反证法与命题的否定之间的关系.
重点:
理解反证法的概念、反证法的特点,把握住什么类型的试题适合用反证法证明.
难点:
如何假设问题的反面,如何在证明过程中导出矛盾.
生活中的反证法:
妈妈常常因家里谁做错了事而大发雷霆.有一次,我和爸爸在看电视,妹妹和妈妈在厨房洗碗.突然,有盘子打碎了,当时一片寂静.我说一定是妈妈打破的.为什么呢?
问题1:
如何证明上述结论呢?
证明:
假如 不是妈妈打破的 ,妈妈一定会大骂,当时是没有.所以结论是妈妈打破了盘子.
问题2:
反证法的意义及用反证法证明命题的基本步骤
假设命题结论的 反面 成立,经过正确的推理,引出矛盾,因此说明假设错误,从而证明原命题成立,这样的证明方法叫反证法.
用反证法证明问题的基本步骤:
(1)假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立;
(2)从这个 假设出发 ,经过推理论证,得出 矛盾 ;
(3)从矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确.
问题3:
反证法得出的矛盾的主要类型
(1)与已知条件矛盾,
(2)与已有公理、定理、定义矛盾,
(3)自相矛盾.
问题4:
适合用反证法证明的试题类型
(1)直接证明困难,
(2)需分成很多类进行讨论,
(3)结论为“至少”“至多”“有无穷多个”类命题,
(4)结论为“唯一”类命题.
反设是反证法的基础,为了正确地作出反设,掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的,例如:
是/不是;存在/不存在;有限/无限;平行于/不平行于;垂直于/不垂直于;等于/不等于;大(小)于/不大(小)于;都是/不都是;至少有一个/一个也没有;至少有n个/至多有(n-1)个;至多有一个/至少有两个.
1.否定结论“方程至多有两个解”的说法中,正确的是( ).
A.有一个解 B.有两个解
C.至少有三个解D.至少有两个解
【答案】C
2.用反证法证明命题“如果a>b,那么>”时,假设的内容应是( ).
A.= B.<
C.=且 【解析】否定结论>,可得≤,即=或<. 【答案】D 3.已知a、b、c成等差数列且公差d≠0,那么、、 成等差数列.(填“能”或者“不能”) 【解析】∵a、b、c成等差数列,∴2b=a+c, 假设、、成等差数列,则=+, ∴(a+c)2=4ac,∴(a-c)2=0,∴a=c,从而d=0,与d≠0矛盾, ∴、、不可能成等差数列. 【答案】不能 4.已知函数f(x)=ax+(a>1),用反证法证明: f(x)=0没有负实根. 【解析】假设存在x0<0(x0≠-1),满足f(x0)=0, 则=-. 又0<<1,所以0<-<1,即 与假设x0<0(x0≠-1)矛盾, 故f(x)=0没有负实根. 用反证法证明否定性命题 设{an},{bn}是公比不相等的两个等比数列,cn=an+bn,证明: 数列{cn}不是等比数列. 【方法指导】证明数列{cn}不是等比数列,这种否定性命题不容易从正面入手,可用反证法.先假设数列{cn}是等比数列,再利用等比数列的性质来找矛盾. 【解析】假设数列{cn}是等比数列,则(an+bn)2=(an-1+bn-1)(an+1+bn+1),① 因为{an},{bn}是公比不相等的两个等比数列,设公比分别为p,q,所以=an-1an+1,=bn-1bn+1, 代入①并整理得: 2anbn=an+1bn-1+an-1bn+1=anbn(+),即2=+,② 当p,q异号时,+<0,与②相矛盾;当p,q同号时,由于p≠q,所以+>2,与②相矛盾. 故数列{cn}不是等比数列. 【小结】利用反证法证明本题的关键是假设数列{cn}是等比数列后,根据等比数列的性质找到矛盾.题目利用了等比中项找到{an},{bn}的公比满足的条件2=+,结合不等式的知识可知此式不成立,从而得到矛盾. 用反证法证明唯一性命题 求证: 方程5x=12的解是唯一的. 【方法指导】证明唯一性,正面不容易入手,可考虑用反证法,从问题的反面入手. 【解析】由对数的定义易得x1=log512是这个方程的一个解. 假设这个方程的解不是唯一的,它还有解x=x2(x1≠x2),则=12. 因为=12,则=1,即=1.① 由假设得x2-x1≠0, 当x2-x1>0时,有>1;② 当x2-x1<0时,有<1.③ 显然②③与①都矛盾,这说明假设不成立,所以原方程的解是唯一的. 【小结】有关唯一性命题的证明问题,可考虑用反证法.“唯一”就是“有且只有一个”,其反面是“至少有两个”. 用反证法证明至多、至少等形式的命题 实数a,b,c,d满足a+b=c+d=1,ac+bd>1,求证: a,b,c,d中至少有一个负数. 【方法指导】结论含有的“至少”提示我们可用反证法,注意“至少有一个”的反面是“一个也没有”. 【解析】假设a,b,c,d都是非负数,则1=(a+b)(c+d)=(ac+bd)+(ad+bc)≥ac+bd, 这与已知ac+bd>1矛盾,所以a,b,c,d至少有一个负数. 【小结】解决本题的关键是假设a,b,c,d都是非负数后,通过怎样的途径来找矛盾.本题给出了两个条件“a+b=c+d=1,ac+bd>1”,显然应将这两个条件联系起来,这样很自然地想到利用(a+b)(c+d)=(ac+bd)+(ad+bc)建立两个已知的关系,从而为找矛盾奠定基础. 已知a,b,c∈(0,1),求证: (1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能同时大于. 【解析】假设三式同时大于, 即(1-a)b>,(1-b)c>,(1-c)a>, ∵a,b,c∈(0,1), ∴三式同向相乘得(1-a)b(1-b)c(1-c)a>, 又(1-a)a≤()2=, 同理,(1-b)b≤,(1-c)c≤, ∴(1-a)b(1-b)c(1-c)a≤,这与假设矛盾,故原命题得证. 已知a与b是异面直线.求证: 过a且平行于b的平面只有一个. 【解析】如图,假设过直线a且平行于直线b的平面有两个,分别为平面α和β.在直线a上取点A,过b和A确定一个平面γ,且γ与α、β分别交于过点A的直线c、d,由b∥α知b∥c,同理b∥d,故c∥d,这与c,d相交于点A矛盾,故假设不成立,所以原结论成立. 若a、b、c均为实数,且a=x2-2y+,b=y2-2z+,c=z2-2x+.求证: a、b、c中至少有一个大于0. 【解析】假设a、b、c都不大于0,即a≤0,b≤0,c≤0, 所以a+b+c≤0, 而a+b+c =(x2-2y+)+(y2-2z+)+(z2-2x+) =(x2-2x)+(y2-2y)+(z2-2z)+π =(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3≥π-3>0. 这与a+b+c≤0矛盾,故a、b、c中至少有一个大于0. 1.应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用( ). ①结论相反的判断即假设; ②原命题的条件; ③公理、定理、定义等; ④原结论. A.①② B.①②④ C.①②③D.②③ 【解析】反证法是从对原命题结论的否定开始的,故结论相反的判断即假设可作为条件使用,从而原结论不可作为条件应用.同时原命题的条件未改变,也可作为条件来使用,还有一些公理、定理、定义等也可作为条件来使用. 【答案】C 2.命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是( ). A.有两个内角是钝角 B.有三个内角是钝角 C.至少有两个内角是钝角 D.没有一个内角是钝角 【答案】C 3.在用反证法证明命题“若x>0,y>0且x+y>2,则和中至少有一个小于2”时,假设为“ ”. 【答案】和都不小于2 4.用反证法证明: 如果x>,那么x2+2x-1≠0. 【解析】假设x2+2x-1=0,则x=-1±. 容易看出-1-<,下面证明-1+<. 要证-1+<,只需证<, 只需证2<, 上式显然成立,故有-1+<. 综上,x=-1±<.而这与已知条件x>相矛盾, 因此假设不成立,即原命题成立. (2013年·陕西卷)设{an}是公比为q的等比数列, (1)推导{an}的前n项和公式; (2)设q≠1,证明数列{an+1}不是等比数列. 【解析】 (1)设{an}的前n项和为Sn, 当q=1时,Sn=a1+a1+…+a1=na1; 当q≠1时,Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1,① qSn=a1q+a1q2+…+a1qn,② ①-②得(1-q)Sn=a1-a1qn, ∴Sn=,∴Sn= (2)假设{an+1}是等比数列,则对任意的k∈N+, (ak+1+1)2=(ak+1)(ak+2+1), 即+2ak+1+1=akak+2+ak+ak+2+1, q2k+2a1qk=a1qk-1·a1qk+1+a1qk-1+a1qk+1, ∵a1≠0,∴2qk=qk-1+qk+1, ∵q≠0,∴q2-2q+1=0, ∴q=1,这与已知矛盾, ∴假设不成立,故{an+1}不是等比数列. 1.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时,反设正确的是( ). A.假设三内角都不大于60° B.假设三内角都大于60° C.假设三内角至多有一个大于60° D.假设三内角至多有两个大于60° 【解析】“至少有一个不大于60°”的否定是“都大于60°”.故应选B. 【答案】B 2.设a,b,c∈(-∞,0),则a+,b+,c+( ). A.都不大于-2 B.都不小于-2 C.至少有一个不大于-2 D.至少有一个不小于-2 【解析】a++b++c+≤-6,三者不能都小于-2. 【答案】D 3.已知p3+q3=2,求证: p+q≤2,用反证法证明时,假设 . 【答案】p+q>2 4.已知a是整数,a2是偶数,求证: a也是偶数. 【解析】假设a不是偶数,即a是奇数. 设a=2n+1(n∈Z),则a2=4n2+4n+1. ∵4(n2+n)是偶数, ∴4n2+4n+1是奇数,这与已知a2是偶数矛盾. 由上述矛盾可知,a一定是偶数. 5.用反证法证明命题: 若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有有理数根,那么a,b,c中至少有一个是偶数时,下列假设中正确的是( ). A.假设a,b,c都是偶数 B.假设a,b,c都不是偶数 C.假设a,b,c至多有一个是偶数 D.假设a,b,c至多有两个是偶数 【答案】B 6.若a2+b2=c2,则a,b,c( ). A.都是偶数 B.不可能都是偶数 C.都是奇数 D.不可能都是奇数 【解析】假设a,b,c都是奇数,则a2,b2,c2都是奇数,得a2+b2为偶数,而c2为奇数,即a2+b2≠c2,与a2+b2=c2矛盾,所以假设不成立,则a,b,c不可能都是奇数. 【答案】D 7.完成反证法证题的全过程. 设a1,a2,…,a7是1,2,…,7的一个排列.求证: 乘积p=(a1-1)(a2-2)…(a7-7)为偶数. 证明: 假设p为奇数,则 均为奇数. ① 因奇数个奇数之和为奇数,故有 奇数= ② = ③ =0. 但奇数≠偶数,这一矛盾说明p为偶数. 【答案】①a1-1,a2-2,…,a7-7 ②(a1-1)+(a2-2)+…+(a7-7) ③(a1+a2+…+a7)-(1+2+…+7) 8.已知f(x)=x2+px+q,求证: (1)f (1)+f(3)-2f (2)=2, (2)|f (1)|,|f (2)|,|f(3)|中至少有一个不小于. 【解析】 (1)∵f(x)=x2+px+q, ∴f (1)=1+p+q,f (2)=4+2p+q,f(3)=9+3p+q, f (1)+f(3)-2f (2)=(1+p+q)+(9+3p+q)-2(4+2p+q)=2. (2)假设|f (1)|,|f (2)|,|f(3)|都小于,则 |f (1)|<,|f (2)|<,|f(3)|<, 即有- (1)<,- (2)<,- ∴-2 (1)+f(3)-2f (2)<2, 由 (1)可知f (1)+f(3)-2f (2)=2,与-2 (1)+f(3)-2f (2)<2矛盾, ∴假设不成立,即原命题成立. 9.若两平行直线a,b之一与平面α相交,则另一条与平面α的关系为 . 【解析】不妨设直线a与平面α相交,b与a平行,下证b也与平面α相交. 假设b不与平面α相交,则必有以下两种情况: (1)b在平面α内,由a∥b,则a∥平面α,与题设矛盾; (2)b∥平面α,则平面α内有直线b',使b∥b',又a∥b,故a∥b',故a∥平面α,与题设矛盾. 综上所述,b与平面α相交. 【答案】相交 10.已知函数f(x)=,如果数列{an}满足a1=4,an+1=f(an),求证: 当n≥2时,恒有an<3成立. 【解析】假设an≥3(n≥2). 则由题知an+1=f(an)=, ∴==·(1+)≤(1+)=<1,即an+1 有an 这与假设矛盾,故假设不成立,∴an<3.
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