第14讲 一次函数的图像和性质2届中考数学专项精题训练.docx
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第14讲一次函数的图像和性质2届中考数学专项精题训练
第十四讲一次函数的图象和性质
(2)
一、一次函数的图象和性质
(2)基本思路
一次函数的图象和性质
(2)以直线y=kx(k≠0)和y=kx+b(k≠0)位置变化为主,还要注意与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组的联系,找到其中变化规律。
例1、如图,函数y1=﹣2x和y2=ax+3的图象相交于点A(m,2),则关于x的不等式﹣2x>ax+3的解集是( )
A.x>2B.x<2C.x>﹣1D.x<﹣1
【答案】D.
【解析】首先利用待定系数法求出A点坐标,再以交点为分界,结合图象写出不等式﹣2x>ax+3的解集即可.
【详解】解:
∵函数y1=﹣2x过点A(m,2),
∴﹣2m=2,
解得:
m=﹣1,
∴A(﹣1,2),
∴不等式﹣2x>ax+3的解集为x<﹣1.
故选:
D.
例2、如图,已知函数y=3x+b和y=ax﹣3的图象交于点P(﹣2,﹣5),则根据图象可得不等式3x+b≤ax﹣3的解集是 .
【答案】x≤﹣2.
【解析】根据一次函数的图象和两函数的交点坐标即可得出答案.
【详解】解:
∵函数y=3x+b和y=ax﹣3的图象交于点P(﹣2,﹣5),
则根据图象可得不等式3x+b≤ax﹣3的解集是x≤﹣2,
故答案为:
x≤﹣2.
例3、已知函数y=(m+1)x2﹣|m|+n+4.
(1)当m,n为何值时,此函数是一次函数?
(2)当m,n为何值时,此函数是正比例函数?
【解析】
(1)直接利用一次函数的定义分析得出答案;
(2)直接利用正比例函数的定义分析得出答案
【详解】解:
(1)根据一次函数的定义,得:
2﹣|m|=1,
解得:
m=±1.
又∵m+1≠0即m≠﹣1,
∴当m=1,n为任意实数时,这个函数是一次函数;
(2)根据正比例函数的定义,得:
2﹣|m|=1,n+4=0,
解得:
m=±1,n=﹣4,
又∵m+1≠0即m≠﹣1,
∴当m=1,n=﹣4时,这个函数是正比例函数.
二、一次函数的图象和性质
(2)题目的常见类型
一次函数的图像和性质
(2)主要是通过待定系数法确定y=kx+b(k≠0)中k、b的值,使得两点式、代数式、方程式、不等式都能有机的融合在一起。
1、一次函数的图象和性质+代数计算
例4.已知:
一次函数y=(3﹣m)x+m﹣5.
(1)若一次函数的图象过原点,求实数m的值;
(2)当一次函数的图象经过第二、三、四象限时,求实数m的取值范围.
【解析】根据一次函数的性质即可求出m的取值范围.
【详解】解:
(1)∵一次函数图象过原点,
∴
解得:
m=5
(2)∵一次函数的图象经过第二、三、四象限,
∴
∴3<m<5.
2、一次函数的图象和性质+待定系数法
例5.已知y与x成一次函数,当x=0时,y=3,当x=2时,y=7.
(1)写出y与x之间的函数关系式.
(2)当x=4时,求y的值.
【解析】
(1)根据点的坐标,利用待定系数法求出一次函数关系式即可;
(2)将x=4代入一次函数关系式中,求出y值即可.
【详解】解:
(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b,
将(0,3)、(2,7)代入y=kx+b,
,解得:
,
∴y与x之间的函数关系式为y=2x+3.
(2)当x=4时,y=2x+3=2×4+3=11.
3、一次函数的图象和性质+两点确定直线
例6.已知一次函数的图象经过A(﹣2,﹣3),B(1,3)两点.
(1)求这个一次函数的解析式;
(2)试判断点P(﹣1,1)是否在这个一次函数的图象上;
(3)求此函数与x轴、y轴围成的三角形的面积.
【解析】
(1)用待定系数法求解函数解析式;
(2)将点P坐标代入即可判断;
(3)求出函数与x轴、y轴的交点坐标,后根据三角形的面积公式即可求解.
【详解】解:
(1)设一次函数的表达式为y=kx+b,
则
,解得:
k=2,b=1.
∴函数的解析式为:
y=2x+1.
(2)将点P(﹣1,1)代入函数解析式,1≠﹣2+1,
∴点P不在这个一次函数的图象上.
(3)当x=0,y=1,当y=0,x=﹣
,
此函数与x轴、y轴围成的三角形的面积为:
×1×
=
.
4、一次函数的图象和性质+两直线相交
例7.已知直线y=﹣
x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B,直线y=2x+b经过点B且与x轴交于点C.求△ABC的面积.
【解析】先求出A、B两点的坐标,再把B点坐标代入直线y=2x+b求出b的值,故可得出C点坐标,根据三角形的面积公式即可得出结论.
【详解】解:
∵当y=0时,x=
;当x=0时,y=3,
∴A(
,0),B(0,3),
∵直线y=2x+b经过点B,
∴b=3,
∴直线y=2x+b的解析式为y=2x+3,
∴C(﹣
,0),
∴AC=
+
=6,
∴S△ABC=
×6×3=9.
5、一次函数的图象和性质+不等式
例8.已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过A(4,﹣1)和B(1,2)两点.
(1)求这个一次函数的表达式;
(2)在
(1)的条件下,将该一次函数图象在x轴下方的部分沿x轴翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象.求新图象与直线
的交点坐标;
(3)点C(0,t)为y轴上一动点,过点C作垂直于y轴的直线l.直线l与新图象交于点P(x1,y1),Q(x2,y2),与直线
交于点N(x3,y3),如果x1<x3<x2,结合函数的图象,直接写出t的取值范围.
【解析】
(1)利用待定系数法,即可得到一次函数的表达式;
(2)解方程组即可得到新图象与
的交点坐标为C(2,1)和D(6,3);
(3)依据x1<x3<x2,可得点N在P,Q之间,进而由图可得,t的取值范围为:
1<t<3.
【详解】解:
(1)由题意得
,
解得
∴一次函数的表达式为y=﹣x+3.
(2)当x≤3时,
,
解得:
,
即C(2,1),
当x>3时,
,
解得:
,
即D(6,3)
∴新图象与
的交点坐标为C(2,1)和D(6,3).
(3)由y=﹣x+3,可得E(0,3),
∵x1<x3<x2,
∴点N在P,Q之间,
∵点D,E的纵坐标均为3,点C的纵坐标为1,
∴由图可得,t的取值范围为:
1<t<3.
三、一次函数的图象和性质
(2)题目训练
1.一次函数y=2x+4的图象如图所示,则下列说法中错误的是( )
A.x=﹣2,y=0是方程y=2x+4的解
B.直线y=2x+4经过点(﹣1,2)
C.当x<﹣2时,y>0
D.当x>0时,y>4
【答案】C.
【解析】根据一次函数的性质即可解决问题;
【详解】解:
观察图象可知直线y=2x+4经过(﹣2,0)和(0,4)
∴x=﹣2,y=0是方程y=2x+4的解,故A正确,
∵x=﹣1时,y=2,
∴直线y=2x+4经过点(﹣1,2),故B正确,
当x>0时,y>4,故D正确,
当x<﹣2时,y<0,故C错误,
故选:
C.
2.如图,一次函数y=kx+b与y=x+2的图象相交于点P(m,4),则方程组
的解是 .
【答案】
【解析】由两条直线的交点坐标(m,4),先求出m,再求出方程组的解即可.
【详解】解:
∵y=x+2的图象经过P(m,4),
∴4=m+2,
∴m=2,
∴一次函数y=kx+b与y=x+2的图象相交于点P(2,4)
∴方程组
的解是
,
故答案为
.
3.函数y=(k﹣1)x2|k|﹣3是正比例函数,且y随x增大而减小,求(k+3)2019的值.
【解析】由正比例函数的定义可求得k的取值,再再利用其增减性进行取舍,代入代数式求值即可.即在y=kx中,当k>0时,y随x的增大而增大,当k<0时,y随x的增大而减小.
【详解】解:
∵y=(k﹣1)x2|k|﹣3是正比例函数,
∴2|k|﹣3=1,解得k=2或k=﹣2,
∵y随x的增大而减小,
∴k﹣1<0,即k<1,
∴k=﹣2,
∴(k+3)2019=(﹣2+3)2019=1.
4.如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=﹣
x+4与x轴、y轴分别交于点A、点B,点D在y轴的负半轴上,若将△DAB沿直线AD折叠,点B恰好落在x轴正半轴上的点C处.
(1)求AB的长;
(2)求点C和点D的坐标;
(3)y轴上是否存在一点P,使得S△PAB=
S△OCD?
若存在,直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【解析】
(1)先求得点A和点B的坐标,则可得到OA、OB的长,然后依据勾股定理可求得AB的长,
(2)依据翻折的性质可得到AC的长,于是可求得OC的长,从而可得到点C的坐标;设OD=x,则CD=DB=x+4.,Rt△OCD中,依据勾股定理可求得x的值,从而可得到点D(0,﹣6).
(3)先求得S△PAB的值,然后依据三角形的面积公式可求得BP的长,从而可得到点P的坐标.
【详解】解:
(1)令x=0得:
y=4,
∴B(0,4).
∴OB=4
令y=0得:
0=﹣
x+4,解得:
x=3,
∴A(3,0).
∴OA=3.
在Rt△OAB中,AB=
=5.
∴OC=OA+AC=3+5=8,
∴C(8,0).
设OD=x,则CD=DB=x+4.
在Rt△OCD中,DC2=OD2+OC2,即(x+4)2=x2+82,解得:
x=6,
∴D(0,﹣6).
(3)∵S△PAB=
S△OCD,
∴S△PAB=
×
×6×8=12.
∵点Py轴上,S△PAB=12,
∴
BP•OA=12,即
×3BP=12,解得:
BP=8,
∴P点的坐标为(0,12)或(0,﹣4).
5.在平面直角坐标系xOy中,直线l1:
y=mx+n(m<0且n>0)与x轴交于点A,过点C(1,0)作直线l2⊥x轴,且与l1交于点B.
(1)当m=﹣2,n=1时,求BC的长;
(2)若BC=1﹣m,D(4,3+m),且BD∥x轴,判断四边形OBDA的形状,并说明理由.
【解析】
(1)理由待定系数法求出点D坐标即可解决问题;
(2)四边形OBDA是平行四边形.想办法证明BD=OA=3即可解决问题;
【详解】解:
(1)当m=﹣2,n=1时,直线的解析式为y=﹣2x+1,
当x=1时,y=﹣1,
∴B(1,﹣1),
∴BC=1.
(2)结论:
四边形OBDA是平行四边形.
理由:
如图,∵BD∥x轴,B(1,1﹣m),D(4,3+m),
∴1﹣m=3+m,
∴m=﹣1,
∵B(1,m+n),
∴m+n=1﹣m,
∴n=3,
∴直线y=﹣x+3,
∴A(3,0),
∴OA=3,BD=3,
∴OA=BD,OA∥BD,
∴四边形OBDA是平行四边形.
6.已知一次函数图象经过点(3,5),(﹣4,﹣9)两点.
(1)求一次函数解析式;
(2)求这个一次函数图象和x轴、y轴的交点坐标.
【解析】
(1)根据待定系数法求解即可;
(2)分别令x、y等于0,求出y与x的值,即可得到图象与y轴和x轴的交点;
【详解】解:
(1)设一次函数解析式为y=kx+b,
把点(3,5),(﹣4,﹣9)分别代入解析式得,
则
,
解得
,
∴一次函数解析式为y=2x﹣1;
(2)当x=0时,y=﹣1,
当y=0时,2x﹣1=0,
解得:
x=
,
∴与坐标轴的交点为(0,﹣1)、(
,0);
7.已知函数y=kx+2k+1(k不为零),
(1)若函数图象经过点A(1,4),求k的值;
(2)若这个一次函数图象不经过第一象限,求k的取值范围.
【解析】
(1)依据函数y=kx+2k+1图象经过点A(1,4),解方程可得k的值;
(2)依据一次函数图象不经过第一象限,解不等式组即可得到k的取值范围.
【详解】解:
(1)∵函数y=kx+2k+1图象经过点A(1,4),
∴4=k+2k+1,
解得k=1;
(2)∵这个一次函数图象不经过第一象限,
∴
,
解得k≤
,
即k的取值范围为k≤
.
8.如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b的图象与x轴交点为A(﹣3,0),与y轴交点为B,且与正比例函数
的图象的交于点C(m,4).
(1)求m的值及一次函数y=kx+b的表达式;
(2)若点P是y轴上一点,且△BPC的面积为6,请直接写出点P的坐标.
【解析】
(1)首先利用待定系数法把C(m,4)代入正比例函数
中,计算出m的值,进而得到C点坐标,再利用待定系数法把A、C两点坐标代入一次函数y=kx+b中,计算出k、b的值,进而得到一次函数解析式.
(2)利用△BPC的面积为6,即可得出点P的坐标.
【详解】解:
(1)∵点C(m,4)在正比例函数
的图象上,
∴
•m,m=3即点C坐标为(3,4).
∵一次函数y=kx+b经过A(﹣3,0)、点C(3,4)
∴
解得:
∴一次函数的表达式为
(2)∵点P是y轴上一点,且△BPC的面积为6,
∴点P的坐标为(0,6)、(0,﹣2)
9.如图,已知直线y=﹣
x+3与x轴、y轴分别相交于点A、B,再将△A0B沿直钱CD折叠,使点A与点B重合.折痕CD与x轴交于点C,与AB交于点D.
(1)点A的坐标为 (4,0) ;点B的坐标为 (0,3) ;
(2)求OC的长度,并求出此时直线BC的表达式;
(3)直线BC上是否存在一点M,使得△ABM的面积与△ABO的面积相等?
若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
【解析】
(1)利用待定系数法即可解决问题;
(2)设OC=x,则AC=BC=4﹣x,在Rt△BOC中,利用勾股定理求出x,再利用待定系数法求出直线BC的解析式即可;
(3)过点O作OM∥AB交直线BC于M.由OM∥AB,可知S△AOB=S△ABM,由直线AB的解析式为y=﹣
x+3,OM∥AB,推出直线OM的解析式为y=﹣
x,由
,解得
,可得M(
,﹣
),根据对称性可知,经过点O′(0,6)与直线AB平行的直线与直线BC的交点M′,也满足条件.
【详解】解:
(1)令y=0,则x=4;令x=0,则y=3,
故点A的坐标为(4,0),点B的坐标为(0,3).
故答案为(4,0),(0,3);
(2)设OC=x,
∵直线CD垂直平分线段AB,
∴AC=CB=4﹣x,
∵∠BOA=90°,
∴OB2+OC2=CB2,
32+x2=(4﹣x)2,
解得x=
,
∴OC=
,
∴C(
,0),设直线BC的解析式为y=kx+b,
则有
,
解得
,
∴直线BC的解析式为y=﹣
x+3.
(3)过点O作OM∥AB交直线BC于M.
∵OM∥AB,
∴S△AOB=S△ABM,
∵直线AB的解析式为y=﹣
x+3,OM∥AB,
∴直线OM的解析式为y=﹣
x,
由
,解得
,
∴M(
,﹣
),
根据对称性可知,经过点O′(0,6)与直线AB平行的直线与直线BC的交点M′,也满足条件,易知BM′=BM,
设M′(m,n),则有
=0,
=3,
∴m=﹣
,n=
,
∴M′(﹣
,
),
综上所述,满足条件的点M坐标为(
,﹣
)或(﹣
,
).
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