一元二次方程与二次函数综合测试题及参考答案.docx
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一元二次方程与二次函数综合测试题及参考答案
、选择题1、设、是关于的一元二次方程的两个实数根,且,,则()
A.
B.
C.
D.
2、下列命题:
①若,则;②若,则一元二次方程有两个不
相等的实数根;③若,则一元二次方程
有两个不相等的实数根;④若
,
则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是2或
3.其中正确的是()
A.只有①②③
B.只有①③④
C.只有①④
D.
只有②③④
3、若一次函数
的图象过第一、三、
四象限,则函数(
)
A.有最大值
B.有最大值-C
.有最小值D.有最小值-
2
4、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,它与x轴的两个交点分别为(﹣1,0),(3,0).对于下列命题:
①b﹣2a=0;②abc<0;③a﹣2b+4c<0;④8a+c>0.其中正确的有()
A.
3个
B.
2个
C.
1个
D.
0个
5、关于的一元二次方程的两个实数根分别是,且,则的值是()
A.1B.12C.13D.25
二、填空题
6、设、是方程的两根,则代数式=。
7、已知关于一元二次方程有一根是,则
、计算题
8、已知:
关于的方程
(1)求证:
方程有两个不相等的实数根;
(2)若方程的一个根是,求另一个根及值.
9、解方程:
四、综合题
10、已知关于的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个根都大1,求
的值.
11、如图:
抛物线与轴交于A、B两点,点A的坐标是(1,0),与轴交于点C.
1)求抛物线的对称轴和点B的坐标;
2)过点C作CP⊥对称轴于点P,连接BC交对称轴于点D,连接AC、BP,且∠BPD=∠BCP,求抛物线的解析式
12、已知关于x的二次函数y=x2-(2m-1)x+m2+3m+4.
(1)探究m满足什么条件时,二次函数y的图象与x轴的交点的个数.
(2)设二次函数y的图象与x轴的交点为A(x1,0),B(x2,0),且+=5,与y轴的交点为C,它的顶点为M,求直线CM的解析式.
1)求对称轴平行于轴,且过三点的抛物线解析式;
2)若直线平分∠ABC,求直线的解析式;
(3)若直线产(>0)交
(1)中抛物线于两点,问:
为何值时,以为边的正方形的面积为
9?
交轴于点、,交轴于点,连结,是线段上一动点,
1)试判断的形状,并说明理由;
2)求证:
;
3)连结,记的面积为,的面积为,若,试探究的最小值.
2
15、如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,点O为坐标原点,点D为抛物线的顶点,点E在抛物线上,点F在x轴上,四边形OCEF为矩形,且OF=2,EF=3.
(1)求抛物线所对应的函数解析式;
(2)求△ABD的面积;
(3)将△AOC绕点C逆时针旋转90°,点A对应点为点G,问点G是否在该抛物线上?
请说明理由.
五、简答题
16、已知的两边,的长是关于的一元二次方程的两个实数根,
第三边的长是.
(1)为何值时,是以为斜边的直角三角形;
(2)为何值时,是等腰三角形,并求的周长
17、已知关于的一元二次方程:
.
(1)求证:
方程有两个不相等的实数根;
(2)设方程的两个实数根分别为(其中).若是关于的函数,且,求这个函数的解析
式;
(3)在
(2)的条件下,结合函数的图象回答:
当自变量的取值范围满足什么条件时,.
18、已知抛物线y=ax2-x+c经过点Q(-2,),且它的顶点P的横坐标为-1.设抛物线与x轴相交于A、B
两点,如图.
1)求抛物线的解析式;
2)求A、B两点的坐标;
3)设PB于y轴交于C点,求△ABC的面积.
19、如图,已知抛物线的顶点为A(1,4)、抛物线与y轴交于点B(0,3),与x轴交于C、D两点.
点P是x轴上的一个动点.
(1)求此抛物线的解析式.
(2)当PA+PB的值最小时,求点P的坐标.
20、已知二次函数的部分图象如图7所示,抛物线与轴的一个交点坐标为,对称轴
为直线.
1)若,求的值;
2)若实数,比较与的大小,并说明理由
参考答案
、选择题
1、C
2、B
3、B
4、考点:
二次函数图象与系数的关系
分析:
首先根据二次函数图象开口方向可得a>0,根据图象与y轴交点可得c<0,再根据二次函数的对称轴x=﹣,结
合图象与x轴的交点可得对称轴为x=1,结合对称轴公式可判断出①的正误;根据对称轴公式结合a的取值可判定出b>0,根据a、b、c的正负即可判断出②的正误;利用b﹣2a=0时,求出a﹣2b+4c<0,再利用当x=4时,y>0,则
16a+4b+c>0,由①知,b=﹣2a,得出8a+c>0.
解答:
解:
根据图象可得:
a>0,c>0,
对称轴:
x=﹣>0,
1∵它与x轴的两个交点分别为(﹣1,0),(3,0),
∴对称轴是x=1,
∴﹣=1,
∴b+2a=0,
故①错误;
2∵a>0,
∴b<0,
∴abc<0,故②正确;
3a﹣2b+4c<0;
∵b+2a=0,
∴a﹣2b+4c=a+2b﹣4b+4c=﹣4b+4c,
∵a﹣b+c=0,
∴4a﹣4b+4c=0,
∴﹣4b+4c=﹣4a,
∵a>0,
∴a﹣2b+4c=﹣4b+4c=﹣4a<0,
故此选项正确;
4根据图示知,当x=4时,y>0,
∴16a+4b+c>0,
由①知,b=﹣2a,
∴8a+c>0;
故④正确;
故正确为:
①②③三个.
故选:
A.
点评:
此题主要考查了二次函数图象与系数的关系,关键是熟练掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向,当a>0时,
抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口;②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置:
当a与b
同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右.(简称:
左同右异)③常数项c决定抛物线与y轴交点,抛物线与y轴交于(0,c).
二、填空题
6、1
7、4
三、计算题
8、解:
(1),
,
无论取何值,,所以,即,
方程有两个不相等的实数根.
(2)设的另一个根为,
则,,解得:
,,
的另一个根为,的值为1.15.
9、解:
由题意得:
由方程
(2)得:
代人
(1)式得
解得,或.
代人得或
5分
四、综合题
10、设方程的两个根为,其中为整数,且≤,
则方程的两根为,由题意得
两式相加,得,即,
所以,或
又因为
20分
所以;或者,
故,或29.
11、解:
(1)对称轴是
∵点A(1,0)且点A、B关于x=2对称,
∴点B(3,0);
(2)点A(1,0),B(3,0),
∴AB=2,
∵CP⊥对称轴于P,
∴CP∥AB,
∵对称轴是x=2,
∴AB∥CP且AB=CP,
∴四边形ABPC是平行四边形,设点C(0,x)(x<0),
在Rt△AOC中,AC=,
∴BD=,
∵∠BPD=∠PCB且∠PBD=∠CBP,
∴△BPD∽△BCP,
∴BP2=BD?
BC,
即=
∵点C在y轴的负半轴上,
∴点C(0,),
2
∴y=ax-4ax-3,∵过点(1,0),
解得:
a=
∴解析式是:
12、解:
(
1)令y=0,得:
x2-(2m-1)x+m2+3m+4=0
22
△=(2m-1)2-4(m2+3m+4)=-16m-15
当△>0时,方程有两个不相等的实数根,即-16m-15>0
∴m<-
此时,y的图象与x轴有两个交点
当△=0时,方程有两个相等的实数根,即-16m-15=0
∴m=-
此时,y的图象与x轴只有一个交点当△<0时,方程没有实数根,即-16m-15<0
∴m>-
此时,y的图象与x轴没有交点
∴当m<-时,y的图象与x轴有两个交点;当m=-时,y的图象与x轴只有一个交点;当m>-时,y的图象与x轴没有交点.
评分时,考生未作结论不扣分)
2
2)由根与系数的关系得x1+x2=2m-1,x1x2=m+3m+4
2222
+=(x1+x2)-2x1x2=(2m-1)-2(m+3m+4)=2m-10m-7
∵+=5,∴2m2-10m-7=5,∴m2-5m-6=0
解得:
m1=6,m2=-1
∵m<-,∴m=-1
2
∴y=x2+3x+2
令x=0,得y=2,∴二次函数y的图象与y轴的交点C坐标为(0,2)
又y=x2+3x+2=(x+)2-,∴顶点M的坐标为(-,-)
设过C(0,2)与M(-,-)的直线解析式为y=kx+b
则2=bk=
-=k+b,b=2
∴所求的解析式为y=x+2
13、解:
(1)直线交轴于点,交轴于点。
由此,得点坐标为,点坐标为。
由于抛物线过,,
故可设抛物线解析式为
∵抛物线过点,∴,∴
∴抛物线解析式为,即
2)过点作,交直线于点
∵平分,∴
∴,∴点坐标为
设的解析式为,
解这个方程组,得
∴直线的解析式为
3)设两点的横坐标分别为
由题意知,是方程,即的两根,
,∴时,以EF为边的正方形的面积为9
14、
(1)令,得,
令,得,
,
(2)如图,,是正方形
,
,
(3),
∽
,设,则,
,
=
∴当时,有最小值7
15、考点:
二次函数综合题。
专题:
代数几何综合题。
分析:
(1)在矩形OCEF中,已知OF、EF的长,先表示出C、E的坐标,然后利用待定系数法确定该函数的解析式.
(2)
ABD的面积.
根据
(1)的函数解析式求出A、B、D三点的坐标,以AB为底、D点纵坐标的绝对值为高,可求出△
(3)首先根据旋转条件求出G点的坐标,然后将点G的坐标代入抛物线的解析式中直接进行判定即可.解答:
解:
(1)∵四边形OCEF为矩形,OF=2,EF=3,
∴点C的坐标为(0,3),点E的坐标为(2,3).
把x=0,y=3;x=2,y=3分别代入y=-x2+bx+c中,
得,
得,
解得,
∴抛物线所对应的函数解析式为y=-x2+2x+3;
(2)∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,
∴抛物线的顶点坐标为D(1,4),
∴△ABD中AB边的高为4,
令y=0,得-x2+2x+3=0,
解得x1=-1,x2=3,
所以AB=3-(-1)=4,
∴△ABD的面积=×4×4=8;(3)△AOC绕点C逆时针旋转90°,CO落在CE所在的直线上,由
(2)可知OA=1,
∴点A对应点G的坐标为(3,2),
当x=3时,y=-32+2×3+3=0≠2,所以点G不在该抛物线上.点评:
这道函数题综合了图形的旋转、面积的求法等知识,考查的知识点不多,难度适中.
五、简答题
16、解:
由题意得:
.
(1),
,
整理得:
(不合题意,舍去)
当时.是以为斜边的直角三角形;
(2)若;则,
,结果,;
注;此问用根的判别式做也可以.
若,则,
当时,;当时,;
若,同样时.:
当时,;
∴当或时.是等腰三角形,其周长为14或16
注:
不论或都说明是方程的一个根,也可以把代入方程解得值.
17、
(1)证明:
是关于的一元二次方程,
.
当时,,即.方程有两个不相等的实数根.⋯⋯..3分
2)解:
由求根公式,得
或.
7分
即为所求.
由图象可得,当时,.
9分
抛物线的解析式为.
变形为(x+3)(x-1)=0,解得x1=-3,x2=1.
∴A(-3,0),B(1,0).
(3)将x=-l代入中,得y=2,即P(-1,2).
设直线PB的解析式为y=kx+b,于是2=-k+b,且0=k+b.解得k=-1,b=1即直线PB的解析式为y=-x+1.
令x=0,则y=1,即OC=1.
又∵AB=1-(-3)=4,
∴S△ABC=×AB×OC=×4×1=2,即△ABC的面积为2.
19、解:
(1)∵抛物线顶点坐标为(1,4)
∴设y=a(x-1)2+4
由于抛物线过点B(0,3)
2
∴3=a(0-1)2+4
解得a=-1
2
∴解析式为y=-(x-1)2+4
即y=-x2+2x+3
2)作点B关于x轴的对称点E(0,-3),连接AE交x轴于点P.
设AE解析式y=kx+b,则解得
∴yAE=7x-3
当y=0时,x=
∴点P坐标为(,0)
20、解:
(1)方法一:
由抛物线对称性可知,其与x轴的另一个交点为(-1,0),⋯⋯1分
.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分
当=1时,解得.⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分
方法二:
依题意得,,
当=1时,,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为(3,0),
∴,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
2分
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分
(2)当时,.⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分
5分
理由如下:
当时,
当时,.
∵,
∴当时,函数取最大值.⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分
∴当时,⋯⋯⋯⋯⋯8分
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