平行四边形的判定.docx
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平行四边形的判定.docx
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平行四边形的判定
平行四边形的判定
一、教学目标:
1.在探索平行四边形的判别条件中,理解并掌握用边、对角线来判定平行四边形的方式.
2.会综合运用平行四边形的判定方式和性质来解决问题.
3.培育用类比、逆向联想及运动的思维方式来研究问题.
二、重点、难点
重点:
平行四边形的判定方式及应用.
难点:
平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用.
三、例题的用意分析
本节课安排了3个例题,例1是教材P96的例3,它是平行四边形的性质与判定的综合运用,此题最好先让学生说出证明的思路,然后老师总结并指出其最佳方式.例2与例3都是补充的题目,其目的就是让学生能灵活和综合地运用平行四边形的判定方式和性质来解决问题.例3是一道拼图题,教学时,能够让学生动起来,边拼图边说明道理,即能够提高学生的动手能力和学生的思维能力,又能够提高学生的学习兴趣.如让学生再用四个不等边三角形拼一个如图的大三角形,让学生指出图中所有的平行四边形,并说明理由.
四、课堂引入xkb新课标第一网
1.欣赏图片、提出问题.
展示图片,提出问题,在适才演示的图片中,有哪些是平行四边形?
你是如何判断的?
2.【探讨】:
小明的父亲手中有一些木条,他想通过适当的测量、割剪,钉制一个平行四边形框架,你能帮他想出一些办法来吗?
让学生利用手中的学具——硬纸板条通过观察、测量、猜想、验证、探索组成平行四边形的条件,试探并探讨:
(1)你能适被选择手中的硬纸板条搭建一个平行四边形吗?
(2)你如何验证你搭建的四边形必然是平行四边形?
(3)你能说出你的做法及其道理吗?
(4)可否将你的探索结论作为平行四边形的一种判别方式?
你能用文字语言表述出来吗?
(5)你还能找出其他方式吗?
从探讨中取得:
平行四边形判定方式1两组对边别离相等的四边形是平行四边形。
平行四边形判定方式2对角线彼此平分的四边形是平行四边形。
五、例习题分析
例1(教材P96例3)已知:
如图
ABCD的对角线AC、BD交于点O,E、F是AC上的两点,而且AE=CF.
求证:
四边形BFDE是平行四边形.
分析:
欲证四边形BFDE是平行四边形能够按照判定方式2来证明.
(证明进程参看教材)
问;你还有其它的证明方式吗?
比较一下,哪一种证明方式简单.
例2(补充)已知:
如图,A′B′∥BA,B′C′∥CB,C′A′∥AC.
求证:
(1)∠ABC=∠B′,∠CAB=∠A′,∠BCA=∠C′;
(2)△ABC的极点别离是△B′C′A′各边的中点.
证明:
(1)∵A′B′∥BA,C′B′∥BC,
∴四边形ABCB′是平行四边形.
∴ ∠ABC=∠B′(平行四边形的对角相等).
同理∠CAB=∠A′,∠BCA=∠C′.
(2)由
(1)证得四边形ABCB′是平行四边形.同理,四边形ABA′C是平行四边形.
∴AB=B′C,AB=A′C(平行四边形的对边相等).
∴B′C=A′C.
同理 B′A=C′A,A′B=C′B.
∴ △ABC的极点A、B、C别离是△B′C′A′的边B′C′、C′A′、A′B′的中点.
例3(补充)小明用手中六个全等的正三角形做拼图游戏时,拼成一个六边形.你能在图中找出所有的平行四边形吗?
并说说你的理由.
解:
有6个平行四边形,别离是
ABOF,
ABCO,
BCDO,
CDEO,
DEFO,
EFAO.
理由是:
因为正△ABO≌正△AOF,所以AB=BO,OF=FA.按照“两组对边别离相等的四边形是平行四边形”,可知四边形ABCD是平行四边形.其它五个同理.
六、随堂练习
1.如图,在四边形ABCD中,AC、BD相交于点O,
(1)若AD=8cm,AB=4cm,那么当BC=____cm,CD=____cm时,四边形ABCD为平行四边形;
(2)若AC=10cm,BD=8cm,那么当AO=___cm,DO=___cm时,四边形ABCD为平行四边形.
2.已知:
如图,
ABCD中,点E、F别离在CD、AB上,DF∥BE,EF交BD于点O.求证:
EO=OF.
3.灵活运用讲义P89例题,如图:
由火柴棒拼出的一列图形,第n个图形由(n+1)个等边三角形拼成,通过观察,分析发觉:
①第4个图形中平行四边形的个数为_____.(6个)
②第8个图形中平行四边形的个数为_____.(20个)
七、课后练习
1.(选择)下列条件中能判断四边形是平行四边形的是().
(A)对角线彼此垂直(B)对角线相等
(C)对角线彼此垂直且相等(D)对角线彼此平分
2.已知:
如图,△ABC,BD平分∠ABC,DE∥BC,EF∥BC,
求证:
BE=CF
19.1.2
(二)平行四边形的判定
一、教学目标:
1.掌握用一组对边平行且相等来判定平行四边形的方式.
2.会综合运用平行四边形的四种判定方式和性质来证明问题.
3.通过平行四边形的性质与判定的应用,启迪学生的思维,提高分析问题的能力.
二、重点、难点
1.重点:
平行四边形各类判定方式及其应用,尤其是按照不同条件能正确地选择判定方式.
2.难点:
平行四边形的判定定理与性质定理的综合应用.
三、例题的用意分析
本节课的两个例题都是补充的题目,目的是让学生能掌握平行四边形的第三种判定方式和会综合运用平行四边形的判定方式和性质来解决问题.学生程度好一些的学校,能够适本地自己再补充一些题目,使同窗们会应用这些方式进行几何的推理证明,通过学习,培育学生分析问题、寻觅最佳解题途径的能力.
四、课堂引入
1.平行四边形的性质;
2.
平行四边形的判定方式;
3.【探讨】取两根等长的木条AB、CD,将它们平行放置,再用两根木条BC、AD加固,取得的四边形ABCD是平行四边形吗?
结论:
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
五、例习题分析
例1(补充)已知:
如图,
ABCD中,E、F别离是AD、BC的中点,求证:
BE=DF.
分析:
证明BE=DF,能够证明两个三角形全等,也能够证明
四边形BEDF是平行四边形,比较方式,能够看出第二种方式简单.
证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥CB,AD=CD.
∵E、F别离是AD、BC的中点,
∴DE∥BF,且DE=
AD,BF=
BC.
∴DE=BF.
∴四边形BEDF是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形平行四边形).
∴BE=DF.
此题综合运用了平行四边形的性质和判定,先运用平行四边形的性质取得判定另一个四边形是平行四边形的条件,再应用平行四边形的性质得出结论;题目虽不复杂,但层次有三,且利用知识较多,因此应使学生取得清楚的证明思路.
例2(补充)已知:
如图,
ABCD中,E、F别离是AC上两点,且BE⊥AC于E,DF⊥AC于F.求证:
四边形BEDF是平行四边形.
分析:
因为BE⊥AC于E,DF⊥AC于F,所以BE∥DF.需再证明BE=DF,这需要证明△ABE与△CDF全等,由角角边即可.
证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,且AB∥CD.
∴∠BAE=∠DCF.
∵BE⊥AC于E,DF⊥AC于F,
∴BE∥DF,且∠BEA=∠DFC=90°.
∴△ABE≌△CDF(AAS).
∴BE=DF.
∴四边形BEDF是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形平行四边形).
六、课堂练习
1.(选择)在下列给出的条件中,能判定四边形ABCD为平行四边形的是().
(A)AB∥CD,AD=BC(B)∠A=∠B,∠C=∠D
(C)AB=CD,AD=BC(D)AB=AD,CB=CD
2.已知:
如图,AC∥ED,点B在AC上,且AB=ED=BC,找出图中的平行四边形,并说明理由.
3.已知:
如图,在
ABCD中,AE、CF别离是∠DAB、∠BCD的平分线.
求证:
四边形AFCE是平行四边形.
七、课后练习
1.判断题:
(1)相邻的两个角都互补的四边形是平行四边形;( )
(2)两组对角别离相等的四边形是平行四边形;( )
(3)一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形;()
(4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;( )
(5)对角线相等的四边形是平行四边形;( )
(6)对角线彼此平分的四边形是平行四边形。
( )
2.延长△ABC的中线AD至E,使DE=AD.求证:
四边形ABEC是平行四边形.
3.在四边形ABCD中,
(1)AB∥CD;
(2)AD∥BC;(3)AD=BC;(4)AO=OC;(5)DO=BO;(6)AB=CD.选择两个条件,能判定四边形ABCD是平行四边形的共有________对.(共有9对)
平行四边形的判定——三角形的中位线
一、教学目标:
1.理解三角形中位线的概念,掌握它的性质.
2.能较熟练地应用三角形中位线性质进行有关的证明和计算.
3.经历探索、猜想、证明的进程,进一步进展推理论证的能力.
4.能运用综合法证明有关三角形中位线性质的结论.理解在证明进程中所运用的归纳、类比、转化等思想方式.
二、重点、难点
1.重点:
掌握和运用三角形中位线的性质.
2.难点:
三角形中位线性质的证明(辅助线的添加方式).
三、例题的用意分析
例1是教材P98的例4,这是三角形中位线性质的证明题,教材采用的是先证明后引出概念与性质的方式,它一是要练习巩固平行四边形的性质与判定,二是为了降低难度,因此教师们在教学中要把握好度.
建议讲完例1,引出三角形中位线的概念和性质后,马上做一组练习,以巩固三角形中位线的性质,然后再讲例2.
例2是一道补充题,选自老教材的一个例题,它是三角形中位线性质与平行四边形的判定的混合应用题,题型挺好,添加辅助线的方式也很巧,结论以后也会经常常利用到,可按照学生情形适当的选讲例2.教学中,要把辅助线的添加方式讲清楚,能够借助与多媒体或教具.
四、课堂引入
1.平行四边形的性质;平行四边形的判定;它们之间有什么联系?
2.你能说说平行四边形性质与判定的用途吗?
(答:
平行四边形知识的运用包括三个方面:
一是直接运用平行四边形的性质去解决某些问题.例如求角的度数,线段的长度,证明角相等或线段相等等;二是判定一个四边形是平行四边形,从而判定直线平行等;三是先判定一个四边形是平行四边形,然后再眼再用平行四边形的性质去解决某些问题.)
3.创设情境
实验:
请同窗们试探:
将任意一个三角形分成四个全等的三角形,你是如何切割的?
(答案如图)
图中有几个平行四边形?
你是如何判断的?
五、例习题分析
例1(教材P98例4)如图,点D、E、别离为△ABC边AB、AC的中点,求证:
DE∥BC且DE=
BC.
分析:
所证明的结论既有平行关系,又有数量关系,联想已学过的知识,能够把要证明的内容转化到一个平行四边形中,利用平行四边形的对边平行且相等的性质来证明结论成立,从而使问题取得解决,这就需要添加适当的辅助线来构造平行四边形.
方式1:
如图
(1),延长DE到F,使EF=DE,连接CF,由△ADE≌△CFE,可得AD∥FC,且AD=FC,因此有BD∥FC,BD=FC,所以四边形BCFD是平行四边形.所以DF∥BC,DF=BC,因为DE=
DF,所以DE∥BC且DE=
BC.
(也能够过点C作CF∥AB交DE的延长线于F点,证明方式与上面大体相同)
方式2:
如图
(2),延长DE到F,使EF=DE,连接CF、CD和AF,又AE=EC,所以四边形ADCF是平行四边形.所以AD∥FC,且AD=FC.因为AD=BD,所以BD∥FC,且BD=FC.所以四边形ADCF是平行四边形.所以DF∥BC,且DF=BC,因为DE=
DF,所以DE∥BC且DE=
BC.
概念:
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
【试探】:
(1)想一想:
①一个三角形的中位线共有几条?
②三角形的中位线与中线有什么区别?
(2)三角形的中位线与第三边有如何的关系?
(答:
(1)一个三角形的中位线共有三条;三角形的中位线与中线的区别主如果线段的端点不同.中位线是中点与中点的连线;中线是极点与对边中点的连线.
(2)三角形的中位线与第三边的关系:
三角形的中位线平行与第三边,且等于第三边的一半.)
三角形中位线的性质:
三角形的中位线平行与第三边,且等于第三边的一半.
〖拓展〗利用这必然理,你能证明出在设情境中分割出来的四个小三角形全等吗?
(让学生口述理由)
例2(补充)已知:
如图
(1),在四边形ABCD中,E、F、G、H别离是AB、BC、CD、DA的中点.
求证:
四边形EFGH是平行四边形.
分析:
因为已知点E、F、G、H别离是线段的中点,能够设法应用三角形中位线性质找到四边形EFGH的边之间的关系.由于四边形的对角线能够把四边形分成两个三角形,所以添加辅助线,连接AC或BD,构造“三角形中位线”的大体图形后,此题即可得证.
证明:
连结AC(图
(2)),△DAG中,
∵AH=HD,CG=GD,
∴HG∥AC,HG=
AC(三角形中位线性质).
同理EF∥AC,EF=
AC.
∴HG∥EF,且HG=EF.
∴四边形EFGH是平行四边形.
此题可得结论:
按序连结四边形四条边的中点,所得的四边形是平行四边形.
六、课堂练习
1.(填空)如图,A、B两点被水池隔开,在AB外选一点C,连结AC和BC,并别离找出AC和BC的中点M、N,若是测得MN=20m,那么A、B两点的距离是m,理由是.
2.已知:
三角形的各边别离为8cm、10cm和12cm,求连结各边中点所成三角形的周长.
3.如图,△ABC中,D、E、F别离是AB、AC、BC的中点,
(1)若EF=5cm,则AB=cm;若BC=9cm,则DE=cm;
(2)中线AF与DE中位线有什么特殊的关系?
证明你的猜想.
七、课后练习
1.(填空)一个三角形的周长是135cm,过三角形各极点作对边的平行线,则这三条平行线所组成的三角形的周长是cm.
2.(填空)已知:
△ABC中,点D、E、F别离是△ABC三边的中点,若是△DEF的周长是12cm,那么△ABC的周长是cm.
3.已知:
如图,E、F、G、H别离是AB、BC、CD、DA的中点.求证:
四边形EFGH是平行四边形.
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