高三上学期入学考试数学理试题 含答案.docx
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高三上学期入学考试数学理试题 含答案.docx
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高三上学期入学考试数学理试题含答案
2019-2020年高三上学期入学考试数学(理)试题含答案
一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设集合,,则()
A.B.C.D.
2.复数满足,其中为虚数单位,则在复平面上复数对应的点位()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3.已知正数组成的等比数列,若,那么的最小值为()
A.20B.25C.50D.不存在
4.设,则“”是“”的()
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
5.若,满足
则的最大值为()
A.0B.1C.D.2
6.已知函数,则函数的图象的一条对称轴是()
A.B.C.D.
7.已知双曲线C:
-=1的焦距为10,点(2,1)在C的渐近线上,则C的方程为()
A.-=1B.-=1C.-=1D.-
8.执行如图所示的程序框图,输出的S值为()
A.2B.4C.8D.16
9.已知点,若函数的图象上存在两点B、C到点A的距离相等,则称该函数为“点距函数”,给定下列三个函数:
①;②;③.其中,“点距函数”的个数是()
A.0B.1C.2D.3
10.已知函数
若则实数的取值范围是
ABCD
11.在△中,=2,=3,·=1,则=()
A.B.C.D.
12.已知定义在上的函数满足=2,当时,.设在上的最大值为(),且{}的前项和为,则=()
A.B.C.D.
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卷的横线上..
13.在的展开式中,含项的系数为
14.古代“五行”学说认为:
“物质分金、木、水、火、土五种属性,金克木,木克土,土克水,水克火,火克金,”从五种不同属性的物质中随机抽取两种,则抽取的两种物质不相克的概率是.________
15.已知P为△ABC所在的平面内一点,满足,△ABC的面积为xx,则ABP的面积为.
16.若实数成等差数列,点在动直线上的射影为,点,则线段长度的最小值是.
三、解答题:
本大题共5小题,满分70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17.(本小题满分14分)已知函数
(Ⅰ)求最小正周期;
(Ⅱ)求在区间上的最大值和最小值.
18.(本小题满分14分)已知是递增的等差数列,,是方程的根。
(
)求的通项公式;
(
)求数列的前项和.
19.(本小题满分14分)为了参加xx市级高中篮球比赛,该市的某区决定从四所高中学校选出12人组成男子篮球队代表所在区参赛,队员来源人数如下表:
学校
学校甲
学校乙
学校丙
学校丁
人数
4
4
2
2
该区篮球队经过奋力拼搏获得冠军,现要从中选出两名队员代表冠军队发言.
(Ⅰ)求这两名队员来自同一学校的概率;
(Ⅱ)设选出的两名队员中来自学校甲的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ.
20.(本小题满分14分)定义:
若两个椭圆的离心率相等,则称两个椭圆是“相似”的.如图,椭圆与椭圆是相似的两个椭圆,并且相交于上下两个顶点.椭圆
的长轴长是4,椭圆
短轴长是1,点分别是椭圆的左焦点与右焦点,
(Ⅰ)求椭圆,的方程;
(Ⅱ)过的直线交椭圆于点,求面积的最大值.
21.设函数,,其中为实数.
(1)若在上是单调减函数,且在上有最小值,求的取值范围;
(2)若在上是单调增函数,试求的零点个数,并证明你的结论.
选修题:
请考生在第(22)、(23)(24)三体中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.选修4-1:
几何证明选讲
22.如图所示,圆O的直径为BD,过圆上一点A作圆O的切线AE,过点D作DE⊥AE于点E,延长ED与圆O交于点C.
(1)证明:
DA平分∠BDE;
(2)若AB=4,AE=2,求CD的长.
23.在直角坐标系中,以为极点,轴正半轴为极轴建立坐标系,直线的参数方程为,(为参数),曲线的方程为,定点,点是曲线上的动点,为的中点.
(1)求点的轨迹的直角坐标方程;
(2)直线与曲线交于两点,若,求实数的取值范围.
24.已知函数,
(Ⅰ)当时,解不等式;
(Ⅱ)若存在,使得成立,求实数的取值范围.
高xx级高三上期入学考试试卷
数学(理工农医类)参考答案
第Ⅰ卷(选择题共60分)
一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设集合I={x|﹣3<x<3,x∈z},A={1,2},B={﹣2,﹣1,2},则A∩(∁IB)等于()
A.{1}B.{1,2}C.{0,1,2}D.{﹣1,0,1,2}
考点:
交、并、补集的混合运算.
解析:
由全集I及B,求出B的补集,找出A与B补集的交集即可.
∵集合I={x|﹣3<x<3,x∈Z}={﹣2,﹣1,0,1,2},A={1,2},B={﹣2,﹣1,2},∴∁IB={0,1},则A∩(∁IB)={1}.故选:
A.
点评:
此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
2.复数满足,其中为虚数单位,则在复平面上复数对应的点位()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
考点:
复数的代数表示法及其几何意义;复数相等的充要条件.
解析:
根据两个复数相除,分子和分母同时乘以分母的共轭复数,化简复数z为=1﹣i,故z对应点的坐标为(1,﹣1),从而得出结论.故选D.
点评:
本题主要考查两个复数代数形式的除法,虚数单位i的幂运算性质,复数与复平面内对应点之间的关系,属于基础题.
3.已知正数组成的等比数列,若,那么的最小值为()
A.20B.25C.50D.不存在
考点:
等比数列的通项公式.
解析:
由已知得a7+a14≥2
.故选:
A.
点评:
本题考查等比数列中两项和的最小值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意均值定理的合理运用.
4.设,则“”是“”的()
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
考点:
不等式解法与充分条件、必要条件.
解析:
或,所以
“”是“”的充分不必要条件,故选A.
点评:
本题主要考查不等式的解法、充分条件与必要条件相关问题,将含绝对值不等式与一元二次不等式和解法、充分条件、必要条件、充要条件相关的问题联系在起来,体现综合应用数学知识解决问题的能力,是基础题
5.若,满足
则的最大值为()
A.0B.1C.D.2
考点:
本题考点为线性规划的基本方法
解析:
如图,先画出可行域,由于,则,令,作直线,在可行域中作平行线,得最优解,此时直线的截距最大,取得最小值2.故选D
点评:
本题考查线性规划解题的基本方法,本题属于基础题,要求依据二元一次不等式组准确画出可行域,利用线性目标函数中直线的纵截距的几何意义,令,画出直线,在可行域内平移该直线,确定何时取得最大值,找出此时相应的最优解,依据线性目标函数求出最值,这是最基础的线性规划问题.
6.已知函数,则函数的图象的一条对称轴是()
A.B.C.D.
考点:
三角函数化简,函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.
解析:
由f(x)=2sin(x﹣).令x﹣=kπ+,求得x=kπ+,k∈Z,
则函数f(x)的图象的一条对称轴为x=,故选:
A.
点评:
本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象的对称性,两角和差的三角公式的应用,属于中档题.
7.已知双曲线C:
-=1的焦距为10,点(2,1)在C的渐近线上,则C的方程为()
A.-=1B.-=1C.-=1D.-
考点:
双曲线的定义及标准方程
解析:
设双曲线C:
-=1的半焦距为,则.
又C的渐近线为,点P(2,1)在C的渐近线上,∴·2,即.
又,,C的方程为-=1.故选A。
点评:
圆锥曲线的标准方程关键是找到焦点位置和参数的值,双曲线主要考查渐近线方程。
8.执行如图所示的程序框图,输出的S值为()
A.2B.4C.8D.16
考点:
程序框图.
解析:
,,,,,循环结束,输出的s为8,故选C。
点评:
根据流程图(或伪代码)写程序的运行结果,是算法这一模块最重要的题型,其处理方法是:
①分析流程图(或伪代码),从流程图(或伪代码)中既要分析出计算的类型,又要分析出参与计算的数据(如果参与运算的数据比较多,也可使用表格对数据进行分析管理)⇒②建立数学模型,根据第一步分析的结果,选择恰当的数学模型⇒③解模.
9.已知点,若函数的图象上存在两点B、C到点A的距离相等,则称该函数为“点距函数”,给定下列三个函数:
①;②;③.其中,“点距函数”的个数是()
A.0B.1C.2D.3
考点:
进行简单的合情推理.
分析:
根据已知中函数f(x)为“点距函数”的定义,逐一判断所给定的三个函数,是否满足函数f(x)为“点距函数”的定义,最后综合讨论结果,可得答案.
解答:
解:
对于①,过A作直线y=﹣x+2的垂线y=x+1,交直线y=﹣x+2于D点,
D在y=﹣x+2(﹣1≤x≤2)的图象上,故y=﹣x+2(﹣1≤x≤2)的图象上距离D距离相等的两点B、C,满足B、C到点A的距离相等,故该函数f(x)为“点距函数”;对于②,y=表示以(﹣1,0)为圆心以3为半径的半圆,图象上的任意两点B、C,满足B、C到点A的距离相等,故该函数f(x)为“点距函数”;对于③,过A作直线y=x+4的垂线y=﹣x﹣1,交直线y=x+4于E(,)点,E(,)是射线y=x+4(x≤﹣)的端点,故y=x+4(x≤﹣)的图象上不存在两点B、C,满足B、C到点A的距离相等,
故该函数f(x)不为“点距函数”;综上所述,其中“点距函数”的个数是2个,故选:
C
点评:
本题考查的知识点是新定义函数f(x)为“点距函数”,正确理解函数f(x)为“点距函数”的概念是解答的关键.
10.已知函数
若则实数的取值范围是
ABCD
考点:
本小题考查分段函数的单调性问题的运用。
以及一元二次不等式的求解。
解析:
由题知在上是增函数,由题得,解得,故选择C。
点评:
利用函数单调性比较大小,特别是抽象函数的大小问题,常利用函数单调性,因些,涉及与比较大小时,就应先想到用函数单调性转化为和的大小关系。
11.在△中,=2,=3,·=1,则=()
A.B.C.D.
考点:
向量的数量积及余弦定理
解析:
由下图知·
.
.又由余弦定理知
,解得.
点评:
将解三角形与向量结合考查,是较常见的在知识交汇处命题形式,三角形中考查向量时要注意向量夹角与三角形内角之间的关系。
12.已知定义在
∴>1∴>
综上所述:
的取值范围为
(2)证明:
∵在上是单调增函数
∴即对恒成立,
∴而当时,>∴
分三种情况:
(Ⅰ)当时,>0∴f(x)在上为单调增函数
∵∴f(x)存在唯一零点
(Ⅱ)当<0时,>0∴f(x)在上为单调增函数
∵
<0且>0
∴f(x)存在唯一零点
(Ⅲ)当0<时,,令得
∵当0<<时,>0;>时,<0
∴为最大值点,最大值为
①当时,,,有唯一零点
②当>0时,0<,有两个零点
实际上,对于0<,由于
<0,
>0
且函数在上的图像不间断∴函数在上有存在零点
另外,当,>0,故在上单调增,∴在只有一个零点
下面考虑在的情况,先证
<0
为此我们要证明:
当>时,>,设,则,再设
∴
当>1时,>-2>0,在上是单调增函数
故当>2时,>>0
从而在上是单调增函数,进而当>时,>>0
即当>时,>,
当0<<时,即>e时,
<0
又
>0且函数在上的图像不间断,
∴函数在上有存在零点,又当>时,<0故在上是单调减函数∴函数在只有一个零点
综合(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)知:
当时,的零点个数为1;当0<<时,的零点个数为2
点评:
导函数的应用主要考查切线的斜率;单调区间;极最值。
特别是含参问题的处理是常考题型,学会找到参数的讨论标准。
选修题:
请考生在第(22)、(23)(24)三体中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.选修4-1:
几何证明选讲
22.如图所示,圆O的直径为BD,过圆上一点A作圆O的切线AE,过点D作DE⊥AE于点E,延长ED与圆O交于点C.
(1)证明:
DA平分∠BDE;
(2)若AB=4,AE=2,求CD的长.
考点:
相似三角形的判定.
解答:
(1)证明:
∵AE是⊙O的切线,∴∠DAE=∠ABD,
∵BD是⊙O的直径,∴∠BAD=90°,
∴∠ABD+∠ADB=90°,
又∠ADE+∠DAE=90°,
∴∠ADB=∠ADE.
∴DA平分∠BDE.
(2)由
(1)可得:
△ADE∽△BDA,∴,
∴,化为BD=2AD.
∴∠ABD=30°.
∴∠DAE=30°.
∴DE=AEtan30°=.
由切割线定理可得:
AE2=DE•CE,
∴,
解得CD=.
点评:
本题考查了弦切角定理、圆的性质、相似三角形的性质、直角三角形的边角公式、切割线定理,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
23.在直角坐标系中,以为极点,轴正半轴为极轴建立坐标系,直线的参数方程为,(为参数),曲线的方程为,定点,点是曲线上的动点,为的中点.
(1)求点的轨迹的直角坐标方程;
(2)直线与曲线交于两点,若,求实数的取值范围.
考点:
简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程.
解答:
解:
(1)根据题意,得
曲线C1的直角坐标方程为:
x2+y2﹣4y=12,
设点P(x′,y′),Q(x,y),
根据中点坐标公式,得
,代入x2+y2﹣4y=12,
得点Q的轨迹C2的直角坐标方程为:
(x﹣3)2+(y﹣1)2=4,
(2)直线l的普通方程为:
y=ax,根据题意,得
,解得实数a的取值范围为:
.
点评:
本题重点考查了圆的极坐标方程、直线的参数方程,直线与圆的位置关系等知识,考查比较综合,属于中档题,解题关键是准确运用直线和圆的特定方程求解.
24.已知函数,
(Ⅰ)当时,解不等式;
(Ⅱ)若存在,使得成立,求实数的取值范围.
考点:
绝对值不等式的解法;带绝对值的函数.
解答:
解:
(Ⅰ)当a=0时,由f(x)≥g(x)得|2x+1|≥x,两边平方整理得3x2+4x+1≥0,
解得x≤﹣1或x≥﹣∴原不等式的解集为(﹣∞,﹣1]∪[﹣,+∞)
(Ⅱ)由f(x)≤g(x)得a≥|2x+1|﹣|x|,令h(x)=|2x+1|﹣|x|,即h(x)=
,
故h(x)min=h(﹣)=﹣,故可得到所求实数a的范围为[﹣,+∞).
点评:
本题主要考查带有绝对值的函数,绝对值不等式的解法,求函数的最值,属于中档题.
2019-2020年高三上学期入学考试数学(理)试题含解析
一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合,,则()
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】
试题分析:
∵集合
,∴,则.故选:
A.
考点:
交、并、补集的混合运算.
2.复数满足,其中为虚数单位,则在复平面上复数对应的点位()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【答案】D
【解析】
试题分析:
,故z对应点的坐标为(1,﹣1),从而得出结论.故选D.
考点:
1.复数的代数表示法及其几何意义;2.复数相等的充要条件.
3.已知正数组成的等比数列,若,那么的最小值为()
A.20B.25C.50D.不存在
【答案】A
【解析】
试题分析:
由已知得
.故选:
A.
考点:
等比数列的通项公式.
4.设,则“”是“”的()
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
试题分析:
或,所以“”是“”的充分不必要条件,故选A.
考点:
不等式解法与充分条件、必要条件.
5.若,满足
则的最大值为()
A.0B.1C.D.2
6.已知函数,则函数的图象的一条对称轴是()
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】
试题分析:
由.令,求得,则函数的图象的一条对称轴为,故选:
A.
考点:
1.三角函数化简;2.函数的图象变换.
7.已知双曲线C:
-=1的焦距为10,点(2,1)在C的渐近线上,则C的方程为()
A.-=1B.-=1C.-=1D.-
8.执行如图所示的程序框图,输出的S值为()
A.2B.4C.8D.16
【答案】C
【解析】
试题分析:
,,,,,循环结束,输出的s为8,故选C.
考点:
程序框图.
9.已知点,若函数的图象上存在两点B、C到点A的距离相等,则称该函数为“点距函数”,给定下列三个函数:
①;②;③.其中,“点距函数”的个数是()
A.0B.1C.2D.3
10.已知函数
若则实数的取值范围是()
ABCD
【答案】C
【解析】
试题分析:
由题知在上是增函数,由题得,解得,故选择C.
考点:
1.分段函数的单调性;2.一元二次不等式.
11.在△中,=2,=3,·=1,则=()
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】
试题分析:
由下图知·
..又由余弦定理知
,解得.
考点:
向量的数量积及余弦定理
12.已知定义在上的函数满足=2,当时,.设在上的最大值为(),且{}的前项和为,则=()
A.B.C.D.
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卷的横线上..
13.在的展开式中,含项的系数为
【答案】15
【解析】
试题分析:
利用通项公式来解决,在通项中令的指数幂为可求出含是第几项,由此算出系数.
考点:
二项式定理的应用.
14.古代“五行”学说认为:
“物质分金、木、水、火、土五种属性,金克木,木克土,土克水,水克火,火克金,”从五种不同属性的物质中随机抽取两种,则抽取的两种物质不相克的概率是.________
【答案】
【解析】
试题分析:
总的取法有种,相克的有5种,所以不相克的有10-5=5种,故不相克的概率.
考点:
排列、组合概率.
15.已知P为△ABC所在的平面内一点,满足,△ABC的面积为xx,则ABP的面积为.
【答案】
【解析】
试题分析:
取中点,根据已知条件便容易得到,所以三点共线,并可以画出图形,根据图形即可得到
,所以便可得到.
考点:
平面向量的基本定理及其意义.
16.若实数成等差数列,点在动直线上的射影为,点,则线段长度的最小值是.
三、解答题:
本大题共5小题,满分70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17.(本小题满分14分)已知函数
(Ⅰ)求最小正周期;
(Ⅱ)求在区间上的最大值和最小值.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)最大值为,最小值为.
【解析】
试题分析:
(Ⅰ)化简可得,
;根据周期公式,即可求出结果..
(Ⅱ)由(Ⅰ)得计算结果,
,当时,
18.(本小题满分14分)已知是递增的等差数列,,是方程的根。
(Ⅰ)求的通项公式;
(Ⅱ)求数列的前项和.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).
【解析】
试题分析:
(Ⅰ)解方程,可得,,即可求得,进而可求出的通项公式;(Ⅱ)设求数列的前项和为,由(Ⅰ)知,然后再利用错位相减法,即可求出结果.
试题解析:
解:
(Ⅰ)方程的两根为2,3,由题意得,,设数列的公差为d,,
19.(本小题满分14分)为了参加xx市级高中篮球比赛,该市的某区决定从四所高中学校选出12人组成男子篮球队代表所在区参赛,队员来源人数如下表:
学校
学校甲
学校乙
学校丙
学校丁
人数
4
4
2
2
该区篮球队经过奋力拼搏获得冠军,现要从中选出两名队员代表冠军队发言.
(Ⅰ)求这两名队员来自同一学校的概率;
(Ⅱ)设选出的两名队员中来自学校甲的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
【解析】
试题分析:
(I)“从这12名队员中随机选出两名,两人来自于同一学校”记作事件A,根据题设条件,利用排列组合知识能求出这两名队员来自同一学校的概率.
(II)ξ的所有可能取值为0,1,2,分别求出其相对应的概率,由此能求出随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ.
试题解析:
解:
(I)“从这12名队员中随机选出两名,两人来自于同一学校”记作事件A,
则
;
(II)ξ的所有可能取值为0,1,2
则,,;
∴ξ的分布列为:
∴
.
考点:
1.概率的求法;2.离散型随机变量的分布列和数学期望.
20.(本小题满分14分)定义:
若两个椭圆的离心率相等,则称两个椭圆是“相似”的.如图,椭圆与椭圆是相似的两个椭圆,并且相交于上下两个顶点.椭圆
的长轴长是4,椭圆
短轴长是1,点分别是椭圆的左焦点与右焦点,
(Ⅰ)求椭圆,的方程;
(Ⅱ)过的直线交椭圆于点,求面积的最大值.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
【解析】
试题分析:
(Ⅰ)设椭圆的半焦距为,椭圆的半焦距为,易知,根据椭圆与椭圆的离心率相等,可得关于的方程,解出即可;(Ⅱ)由题意可设直线的方程为:
.与椭圆的方程联立消掉x得y的二次方程,则,由弦长公式可表示出,由点到直线的距离公式可表示出的高,则的面积,变形后运用基本不等式即可求得的最大值.
试题解析:
解:
(Ⅰ)设椭圆的半焦距为,椭圆的.由已知,,.
∵椭圆与椭圆的离心率相等,即
21.设函数,,其中为实数.
(Ⅰ)若在上是单调减函数,且在上有最小值,求的取值范围;
(Ⅱ)若在上是单调增函数,试求的零点个数,并证明你的结论.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)当时,的零点个数为1;当0<<时,的零点个数为2.
【解析】
试题分析:
(Ⅰ)由即对恒成立,然后再利用分离参数法,再对进行分类讨论,即可求出结果;(Ⅱ)证明:
∵在上是单调增函数,即对恒成立,而当时,>,,然后再对分三种情况讨论,即可求出结果.
试题解析:
解:
(Ⅰ)由即对恒成立,∴
而由知<1∴
由令则
当<时<0,当>时>0,
∵在上有最小值
∴>1∴>
综上所述:
的取值范围为
(Ⅱ)证明:
∵在上是单调增函数
∴即对恒成立,
∴而当时,>∴
分三种情况:
(1)当时,>0∴f(x)在上为单调增函数
∵∴f(x)存在唯一零点
(2)当<0时,>0∴f(x)在上为单调增函数
∵
<0且>0
∴f(x)存在唯一零点
(3)当0<时,,令得
∵当0<<时,>0;>时,<0
∴为最大值点,最大值为
①当时,,,有唯一
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