一维定态问题.docx
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一维定态问题
第三章:
一维定态问题
[1]对于无限深势阱中运动的粒子(见图3-1)证明
并证明当时上述结果与经典结论一致。
[解]写出归一化波函数:
(1)
先计算坐标平均值:
利用公式:
(2)
得(3)
计算均方根值用以知,可计算
利用公式(5)
(6)
在经典力学的一维无限深势阱问题中,因粒子局限在(0,a)范围中运动,各点的几率密度看作相同,由于总几率是1,几率密度。
故当时二者相一致。
#
[2]试求在不对称势力阱中粒子的能级。
[解](甲法):
根据波函数标准条件,设定各区间的波函数如下:
(x<0区):
(1)
(0 (2) (x>a区): (3) 但 写出在连接点x=0处连续条件 (4) (5) x=a处连续条件 (6) (7) (4)(5)二式相除得 (6)(7)二式相除得 从这两式间可消去B,C,得到一个间的关系 解出,得 (8) 最后一式用E表示时,就是能量得量子化条件: (乙法)在0 现在和前一法相同写出边界条件: (在x=0处)(9) (10) (在x=a处)(11) (12) (9)(10)相除得 (13) (11)(12)相除得 (14) 写出(13)(14)的反正切关系式,得到: 或 前述两法的结果形式不同,作为一种检验,可以用下述方法来统一。 试将第二法所得的量子化条件,等号左右方取其正切: 左方 此结果与第一法相同。 # [3]设质量为m的粒子在下述势阱中运动: 求粒子的能级。 (解)本题是在半区中的一维谐振子,它的薛定谔方程式 在x>0的半区内与普通谐振子的相同,在负半区中。 一般谐振子的函数ψ(x)满足薛氏方程式: (1) 作自变量变换() 并将波函数变换: 得u的微分方程: (2) 但(3) 设 (2)的解是级数: (4) 将(4)代入 (2)知道,指标s的值是s=1或s=0。 此外又得到相同的二个未定系数之间的关系有二种: s=0时,(5) s=1时,(6) 为了使波函数ψ(x)满足标准条件,级数(4)必需中断。 此外由于本题情形中应满足边界条件(波函数连续性),x=0时ψ(x)=0,即u(0)=0。 因而必需取s=1,它的递推式是(6),因此如果级数(4)中断,而(4)的最高幂是n=2m,在(4)式中取s=1,,,则在(6)式中取n为最高幂时: 由(3)得 (7) 式中的m=0,1,2,3,4,…… (7)式即我们需求的粒子的能级。 本题的波函数是 但 是归一化常数,是奇阶数厄米多项式。 # [4]考虑粒子在下列势阱壁(x=0)处的反射系数。 (解)本题中设想粒子从左侧入射。 在(x〈0〉区中有入射反射波 (1) 在(x>0区)中仅有透射波 (2) 但 考虑在原点0(x=0)处波函数(x)和一阶倒数(x)的连接性,有: 即(3) 即(4) 因按题意要计算反射系数R, 同理(5) ,若求比值,可从(3)(4)消去C,得到: # [5]试证明对于任意势垒,粒子的反射系数T满足R+T=1。 (解)任意的势垒是曲线形的,如果V(x)没有给定,则(x)不能决定,因而无法计算各种几率流密度。 但如果附图所示V(x)满足二点特性: (1) (2) 我们近似地认为当时波函数的解是 时波函数的解是 但由于粒子几率流的守恒(V(x)是实数函数): 在数量上入射几率流密度应等于反射的和透射的的和,即: (1) 仿前题的算法,不必重复就可以写出: (2) 这里的 (1) (2)是等效的,将 (1)遍除得: 即得证 将 (2)式遍除得另一种形式: # [6]设在一维无限深势阱中运动的粒子的状态用: 描述,求粒子能量的可能植及相应的几率。 (解)(甲法)一维无限深势阱的本征态波函数是 (1) 题给波函数可用本征函数展开: 因此是非本征态,它可以有二种本征态,处在 态上的几率是。 这时能量是,处在 态上的几率是,这时能量是。 (乙法)可以运用叠加原理的展开式的系数的决定法来求C,其余同。 按一般原理,将已知函数展开成算符的分立本数谱时,有 在本题中,有 按罗比达法则最后一式只有有贡献相当于m=1,或3。 ,其余与甲法同。 # [7]设一谐振子处于基态,求它的并验证测不准关系: (解)由对称性知道,同理也由对称性知道对谐振子而言,应先写出归一化波函数: 但 (1) 于是 (2) 为了计算这个积分,利用厄米多项式不同阶间的递推式: (3) 此式作为已知的,不证。 将前式遍乘ξ,重复用公式 (4) 将此式代入 (2) 此式最后一式第一项。 第三项都和的正交化积分式成比例,都等于零。 第二项和归一化积分成比例;可以简化 再计算,这可以利用波函数满足的微分方程式: (是振子质量) 将此遍乘对积分 测不准关系中的不准度是: 测不准关系中的不准度是: = 因m=0,而 # [8]设粒子处于无限深势阱中,状态用波函数描述,是归一化常数,求 (1)粒子取不同能量几率分布。 (2)能量平均值及涨落。 (解)在物理意义上,这是一种能量的非本征态,就是说体系在这种态上时,它的能量是不确定的,薛定谔方程是能量的本征方程,波函数不会满足薛氏方程式。 但我们知道势阱中的粒子满足边界条件的解是: (n=1,2,3,……) 这种解是能量本征态,相应的能量 按叠加原理非本征态可用本征函数谱展开: (1) (1) (2) 利用积分公式: 于 (2)式,可求得: (3) 此式只有为奇数时才不为0,故只有量子数奇数的态 (4) 仍是归一化的,故粒子具有能级: 的几率是 (5) (2)能量的平均值可以按照已知几率分布的公式计算: (n奇数)(6) 根据福利衰级数可计算(n奇)有几种方法,例如: () 上式中令x=0立刻得 (7) 代(6)式得 另一方法是直接依据题给的能量非本征态用积分法求平均值: 能够这样的原因是是厄米算符. (3)能量的涨落指能量的不准度现需求能量平方的平均值,这可利用前半题结果,既的值来计算. 但 关于此求和式也用福利衰级数 (展开区间)此式中可取, 代入得 (补白): 本题若直接用积分求要利用厄米性: # [9]一维无限深势阱中求处于态的粒子的动量分布几率密度。 (解)因为是已知的,所以要求动量分布的几率密度,先要求动量波函数,这可利用福利衰变换的一维公式: 利用不定积分公式 用于前一式: (n奇数) ,(n偶数) 动量几率密度分别是 ,(n奇数) ,(n偶数) # [10]写出动量表象中谐振子的薛定谔方程式,并求出动量几率分布。 (解) (一)主要方法是利用一维动量波函数的变换式: (1) 先写出座标表象的薛定谔方程式: (2) 遍乘,再对坐标求积分,的到一种关系式: 利用分部积分,并使用的边界条件,分别计算(3) 各项: (4) (5) 将(4)(5)代入(3)再加整理后,得到动量表象的薛定谔方程式: (6) 最后一式已将偏导数改成导数,(6)和 (2)的形式相似,因此如果在 (2)式中作以下替代,就得到(6)式: (二)动量波函数的计算 根据动量表象的薛定谔方程式(6),先设法将(6)变形,形成为和坐标衰象薛定谔方程式形式一样,首先使二阶导数形式相同,将(6)遍除m22得: (7) 和 (2)比较系数,发现若将动量表象式(3)中换成,(7)式变成: (8) 但,这样(8)和 (2)形式全同,它们的解的形式也同,但 (2)的解是: (9) 因此(8)或(7)的解是: (10) 但 动量的分布,即动量几率密度是: (11) 本题是第一章第15题的特例,又因为势能的形式很特殊,所以能用类似方法求解。 假使换了别种形式的势能。 常要用积分方程求解。 [11]设粒子处在对称的双方势阱中 0 (1)在情况下求粒子能级,并证明能级是双重简并。 (2)证明取有限值情况下,简并将消失。 (解)本题的势场相对于原点0来说是对称的,因此波函数具有字称。 设总能量是E,又设在区间(,)(-a,a)(b,)之中波函数都是零,在区间(a,b),设波函数是: (1) 考虑x=a,x=b二连续条件: (势阱外面) (2) 从这里得到,因而得,,因而得,n,是整数,满足边界条件的解是: 再考虑区间,设波函数: (5) 代入在二点的连续条件得 得: ,但整数,因此区间的波函数: (6) (7) 和之间要满足奇或偶宇称的要求,才能成为一组合理的解,若令,得A=B,相应的一组偶宇称解是: 同理令,得到一组奇宇称解是 (9) 和是线性不相关的解,但却有相同的波数,因而也有相同的能级.能级是分立的,这可以从边界条件式同时满足的要求看到,这两式推得 相减得 是整数,可作为能级编号. 因此能级是 是二度简并的 注: 在本题中因为左右两个势阱对称,粒子在两者中都能出现,和实际上是同一个函数,只是的取值范围不同. 考察为有限值情形的解,先设E<设区间中的解是 代入边界条件,的得 因而 或 在的对称区中的解设是 代入边界条件,得 因而 或 (2) 和情形相同,C=A,偶宇称解是 (3) 奇宇称解是 (4) 在区间内的解满足薛定谔方程 但,令,知道这方程式的解可用实指数函数或双曲函数,计算法相类似.为计算方便直接设定 区间偶宇称解(5) 奇宇称解(6) 这两者都满足此区间的薛氏方程式.为确定能量量子化条件,可以建立在边界点处,波函数及其一阶导数的连续条件.使用(3)和(5)有: 即: (7) 即: (8) (7)和(8)相除得: 将此式改用能量E的项来表示,得到偶宇称态的能量量子化条件: (9) 注意若使用边界点x=-a上的连续条件,由于对称性得不到新解. 其次求奇宇称的能量量子化条件,为此先写出x=a处连续条件,所用方程式是(4)和(6) 即: (11) 即: (12) 相除得: 改写成能量式子: (13) (9)和(13)是不同的方程式,它们所决定的能级是不相同的,因此偶宇称波函数(3)和(5)与奇宇称波函数(4)和(6)不具有相同的能量E,它们是非简并的.(9)(13)中E的分立解要用图解法,与有限深势阱类似. 第二种情形是,这种情形可不必作重复计算.因为 令,则 代入(5)(6)得区间的波函数: 偶宇称解(14) 奇宇称解(15) (a,b)区间的解同于 (1)式的,区间解同于 (2)
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