版高考数学江苏版一轮配套讲义73基本不等式及其应用+含答案doc.docx
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§7.3基本不等式及其应用
考纲解读
要求
五年高考统计
常考题型
预测热度
考点
内容解读
2013
2014
2015
2016
2017
基本不等式及其应用
1•利用基本不等式求最值
2•基本不等式的实际运用
3•基本不等式的变形运用
C
1()题
5分
填空题解答题
★★★
分析解读基本不等式是求函数最值的重要工具,在实际应用题中也经常用到,是高考的热点,复习这部分内容要注意基本不等式
的灵活运用.
五年高考
考点基本不等式及其应用
1.(2017江苏、1(),5分)某公司一年购买某种货物600吨.每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元•要使一年的总运费与总存储费用之和最小.则x的值是.
答案30
答案8
+3xv]
3.(2017天津理改编&5分)已知函数f(x)=2设a*若关于x的不等式f(x)电+在R上恒成立■则a的取值范围
X+™«X>1.
x
是.
答案[磊2]
4.(2013山东理改编,12,5分)设正实数x,y・z满足x2-3xy+4y2-z=0,则当空取得最大值时许界的最大值为
zxy乙
答案1
5.(2016山东理,16,12分)1±^ABC中、角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知2(tanA+tan
(1)证明:
a+b=2c;
(2)求cosC的最小值.
解析
(1)证明:
由题意知2(芈+芈卜響sij
化简得2(sinAcosB+sinBcosA)=sinA+sinB,
即2sin(A+B).=sinA+sinB.
因为A+B+C=n,
所以sin(A+B)=sin(7i-C)=sinC.
从而sinA+sinB=2sinC.
由正弦定理得a+b=2c.
⑵由⑴知c=甞,
当且仅当沪b时.等号成立.故cosC的最小值为》
1.
(2018江苏盐城时杨中学高三月考)已知x>0,y>0,2x+y=2,则斗+詈的最大值为
2.(2017江苏南京漂水中学质检,10)已知x,y为正实数,且2x+y=l,则|+扌的最小值是.
答案9
3.(2017江苏南京师范大学附中期中,11)等比数列{如}的首项为2,公比为3,前n项和为S^,若log3||a7l(S4w+1)卜9,则捋的最小值
是.
答案2.5
4.(苏教必5,三,3、变式)若实数x、y满足x>y>0,且Iog9x4-log2y=1+y的最4、值为.
北-y
答案4
5.(2017江苏南通、扬州、泰州第三次模拟考试,11)若正实数x,y满足x+y=l•则乙』的放小值是
xy
答案8
6.
(2017江苏无锡期中,9)已知正实数a,b满足a+3b=7,则廿缶的最小值为.
7.(2016江苏苏州一模,13)已知&4%应(0,1),则右+占的最小值为答案
8.(2017江苏徐州沛县中学质检,19)已知函数f(x)=|x-2|.
⑴解不等式f(x)+f(2x+l)»6;
⑵已知a+b=l(a,b>0),且\/xwR,f(x・m)・f(・x)W+#i成立,求实数m的取值范围.
解析
(1)f(x)+f(2x+1)=|x-2|+|2x-l|
(3-3x,x
=j%+l,| 13x-3,x>2, 当X弓时,由3-3x>6,M得x<1; 当务xS2时,x+126无解; 当x>2时,由3x・326,解得x>3. 所以不等式f(x)+f(2x+l)A6的解集为(・oo,・l]U[3,+oo). (2)Va+b=l(a,b>-0), 0xwR,f(x・m)・f(・x)S十+恒成立等价于VxcR,|x-2-m|-|-x-2|^9恒成立, 即(|x-2-m|-|-x-2|)ma^9, |x-2-m|-|-x-2|^|(x-2-m)-(x+2)|=|-4-m|t A-9 9.(2017江苏苏州期中,18)如图.有一块平行四边形绿地ABCD、经测虽BO2百米,CD=1百米./BCDF20。 拟过线段BC上一点E设计一条直路EF(点F在四边形ABCD的边上,不计路的宽度),将绿地分为面积之比为1: 3的左、右两部分,分别种植不同的花卉,设EC=x百米,EF=y百米. (1)当点F与点D重合时、试确定点E的位置; (2)试求x的值.使路EF的长度锻短. 解析 (1)S平行四边形ABCD=2x|xlx2sin120°=V3, 当点! ■与点I.)車合时,S&(: de冷S早行四边影ab(: d=¥> 又;Scde气CE・CD・sin12O°=yx;/.x=L即E是BC的中点. (2)①当点F在CD上时、易知CFAl^x<2, 再由余弦定理可得y=$2+士+「仮当且仅当匚1时取等号. ②当点F在DA上(不包含点D)时,易知DF=l-x,0^x (i)当CE (ii)当CE>DF时.过E作EG||CD交DA于G,在“EGF中,EG=1,GF=2x-1.zEGF=120°,利用余弦定理得y=j4x2-2x+1, 由(i)、(ii)可得y=4x2-2x+l,O^x V0 由①②可知当x冷时,路EF的长度锻短. 10.(2016江苏扬州中学期中,18)有一块三角形边角地,如图中/BC,其中AB=8百米,AC=6百米,zA=60。 .某市为迎接250年城庆,欲利用这块地修一个三角形形状的草坪(图中“AEF)供市民休闲、其中点E在边AB上,点F在边AC上•规划部门要求《AEF的面积占△ABC的面积的一半,设AE=x百米,AAEF的周长为1(百米). (1)如果要对草坪进行灌溉•需沿MEF的三边安装水管,求水管总长度的放小值: (2)如果沿0AEF的三边修建休闲长廊.求长廊总长度的放大值.并确定此时E、F的位置. 解析 (1)•: S^ae亡S^ABC,/•|AE-AF-sinA=|x斗ABAC・sinA. 24 •••AB=&AC=6「AF一. f0<%<8, •・•0V%6,・*xS& TAAEF中,EF2=x2+(y)2-2x-ycos60°=x2+^-24,・'4x卑+J"2+¥・24,xw[4、8]. *.•1=x+y+Jx24--24>2V24+^2x24-24=6^6,S且仅当x=2\/6时取 lmin~6V6・ 故水管总长度的放小值为6后百米. (2)由⑴知: l=x+^+Jx2+甞・24,xw[4,8]. 令t=x+—,xg[4,8]. 列表得: X (4,2V6) 2^/6 (276,8) f ■ 0. + t 极4'值4用 / 且x=4时,t=10;x=8时)=11,故te[4V6Jl]. •'•当t=l1时」max=l&此时X=8? —=3・ •Y 故当点E在B处,点F是线段AC的中点时.长廊总长度的锻大值为18百米. B组2016—2018年模拟•提升题组 (满分: 60分时间: 30分钟) 一、填空题(每小题5分,共45分) 答案2V2 数p,q满足p+q・=6,贝ij料丄的最小值为・ 答案寿 3.(2018江苏淮安、宿迁期中)在锐角三角形ABC中,9tanAtanB+tanBtanC+tanCtanA的最小值为. 答案25 4.(2017江苏秦州中学模拟、12)已知|AB|=3,C是线段AB上异于A,B的一点,^ADC,^BCE均为等边三角形,则YDE的外接圆的半径 的最小值是• 答案y 5.(2017江苏苏州暑期调研.14)已知a+b=2,b>0,当盒+弓取放小值时,实数a的值是. 答案・2 6.(2017江苏海头高级中学质检,13)已知关于x的一元二次不等式ax2+2x+b>0的解集为{x|x*c},则欝尹(其中a+c*0)的取值范围 为. 答案(-oo,-6]U[6,十oo) 7.(苏教必5,三,3.变式)函数厂巴_的最大值为. x+3+Jx-l 答案I 8.(2017江苏苏北四市联考,11)若实数x,y满足xy+3x=3(0 答案8 9.(2017江苏仪征中学第二学期期初检测,13)已知正数x,y满足5^=4xy,那么y的最大值为. 答案5 二、解答题(共15分) 10.(2016江苏宿迁三校调研J9)如图,公路AM,AN®成的是一块顶角为c(的角形耕地,其中tana=-2.在该块土地中P处有一小型建 筑,经测鼠它到公路AM,AN的距离分别为3km,V5km.现要过点P修建一条公路BC,将三条公路围成的区域ABC建成一个工业 园•为尽虽减少耕地占用•试确定B点的位置•使得该工业园区的面积最小,并求故小面积. a 解析如图,过点P作PE丄AMfF丄AN、垂足分别为E、F,连结PA•设AB=x,AC=y贝ijx>0,y>0・ 因为P到AM,AN的距离分别为3乐所以PE=3,PF=V5・ Saabc=Siabp+Saapc冷xxx3+|xyxV^=|: (3x+苗y).① 因为tana=2所以sina=^=・ 所以Swc弓XxXyX召.② 由①②可得*xyx售=*3x+>/5y). 即3V5x+5y=2xy.③ 解得xy^l5V5. 当且仅当3V5x=5y时取7,结合③解得x=5,y=3\/5・ 此时S.ABc=|Xxxyx4取得最小值15・ /V5 答: 当AB=5km时,该工业园区的面积最小,最小面积为15kin2. C组2016—2018年模拟•方法题组 方法1利用基本不等式求最值问题 1.(2017盐城第三次模拟考试,12)若a,b均为非负实数、且a+b=l,则爲右缶的最小值为• 答案3 2.(2017苏锡常镇四市高三教学情况调研 (二))己知a,b均为正数,且ab-a-2b=0,则字违的最小值为• 答案7. 3.(2017江苏无锡期末,14)已知a>0,b>0,c>2但a+b=2,则尹•京导晳的最小值为. 答案 方法2基本不等式的实际应用 4.(2016江苏三校联考,18)北京、张家口2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会,某公司为了竞标配套活动的相关代言,决定对旗下的某商品进行一次评估•该商品原来每件售价为25元,年销舊8万件. (1)据市场调查,若价格每提高1元,销售虽将相应减少2000件,要使销售的总收入不低于原收入,该商品每件書价最高为多少元? (2)为了抓住申奥契机.扩大该商品的影响力,提高年销售量•公司决定立即对该商品进行技术革新和莒销策略改革.并提高售价到x元•公司拟投入kx2-600)万元作为技改费用.投入50万元作为固定宣传费用,投入右万元作为浮动宣传费用•试问: 当该商品改革后的销售量a至少达到多少万件时、才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和? 并求出此时商品的每件售价. 解析⑴设每件售价为t(t>25)元•依题意得(8•竿x0.2)t>25x&整理得F・65t+1000<().解得25 所以要使销售的总收入不低于原收入、该商品每件售价最高为40元. (2)依题意知,x>25.且ax>25x84-50+^x2-600)4x, o5 由于xix=10,3且仅当型W,即x=30时等号成立,所以必102 当该商品改革后的销售虽a至少达到10.2万件时•才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和•此时该商品的每件售价为30元. 5.(2016江苏南通中学检测,18)如图,将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN.要求B在AM上,D在AN上,且对角线MN过C点,已知AB=3米,AD=2米•设AN=x米. ⑴要使矩形AMPN的面积大于32平方米,则x应在什么范围内? ⑵当x是多少时,矩形AMPN的面积锻小? 并求岀放小面积; ⑶若xg则当x是多少时•矩形AMPN的面积放小? 并求出最小面积. 解析⑴易知x>2,且ND=x2由题意得器 DCAM 3x AM』 x-2 •••三・x>32,•••3x2-32x+64>0,A(3x-8)(x-8)>0,/.2 2 (2)S矩形AMPN-芳—3%今+: (x・2)+12_3(x・2)€+12»2岳+]2=24(当且仅当x=4时取等号). 故当x=4时,矩形AMPN的面积最小保小面积为24平方米. (3)S矩形ampn=3(x・2)+马+12(xA6),令x-2=t(t>4)J(t)=3t-^+12, Vf(t)=3t-45+12在[4,+oo)上递增,・・.f⑴血冃(4)=27,此时x=6. 故当x=6时,矩形AMPN的面积最小、最小面积为27平方米. 方法3不等式恒成立问题 6.(2018江苏盐城高三(上)期中)设函数f(x)=|x-a|+^(aeR),若当xw(0汁co)时、不等式f(x)»4恒成立、则a的取值范围是 答案(-00,2] 7.(2018江苏金陵中学高三月考)己知当0 4 8.当xe(l,2)B4.不等式x2+mx+4<0恒成立,则m的取值范围是. 答案(-oo,-5] 9.设0 2ml・2m 答案8
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- 高考 数学 江苏 一轮 配套 讲义 73 基本 不等式 及其 应用 答案 doc
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