新人教版五四制八年级下册数学《实际问题与一元二次方程2.docx
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新人教版五四制八年级下册数学《实际问题与一元二次方程2
新人教版(五四制)八年级下册数学-《实际问题与一元二次方程
(2)》教案
27.3实际问题与一元二次方程
(2)
27.3.2航行问题、几何问题
一、教学目标
(一)核心素养
在几何问题中以学生熟悉的现实生活为背景,让学生从具体问题中抽象出数量关系.经历观察、思考、交流,归纳出变化规律,并用数学符号表示,进而解决实际问题.进一步提高逻辑思维和解决问题的能力,培养学生数学建模的能力.体现数学在生活中的应用.
(二)学习目标
1.在几何背景下,让学生通过画图独立理解并解决问题,培养学生对几何问题的分析能力,以及将数学知识和实际问题相结合的思维能力.
2.培养学生的阅读能力.
3.根据实际情况验证结果的合理性.
(三)学习重点
建立数学模型,找等量关系,列方程
(四)学习难点
找等量关系,列方程
二、教学设计
(一)课前设计
预习任务
长方形的长和宽分别是a和b,则其面积为ab,周长为2(a+b).
三角形一边及其这边上的高分别为a,h,则其面积为
圆的半径为r,其面积为
,周长为
.
预习自测
1.如图,矩形ABCD是由三个矩形拼接成的,如果AB=8cm,阴影部分的面积是24cm2,另外两个小矩形全等,那么小矩形的长为 cm.
【知识点】一元二次方程的应用.
【数学思想】数形结合
【解题过程】解:
设小矩形的长为xcm,则小矩形的宽为(8﹣x)cm,
根据题意得:
x[x﹣(8﹣x)]=24,
解得:
x=6或x=﹣2(舍去),
【思路点拨】设小矩形的长为xcm,则小矩形的宽为(8﹣x)cm,然后表示出阴影部分的宽,从而根据其面积列出方程求解即可.
【答案】6cm.
2.如图,圆环的形状如图所示,它的面积是200cm2,外沿大圆的半径是9cm,求内沿小圆的半径的长.若设小圆的半径长为xcm,可列方程为 .
【知识点】一元二次方程的应用.
【数学思想】数形结合
【解题过程】解:
设小圆的半径长为xcm,由题意,得
81π﹣πx2=200.
【思路点拨】根据圆环的面积公式:
圆环的面积=大圆的面积﹣小圆的面积,把数据代入公式即可列出方程.
【答案】81π﹣πx2=200.
3.如图,张叔叔计划利用一面墙(墙长为16m)、32m长的篱笆及一扇宽为1m的木门修建一个面积为130m2的矩形鸡场.若设AB=xm,则BC用含x的代数式可表示为 m,依题意列方程 .解之得:
.满足题意的x= .∴AB= m,BC= m.
【知识点】一元二次方程的应用
【数学思想】数形结合
【解题过程】解:
设AB=xm,则BC用含x的代数式可表示为(32+1﹣2x)=(33﹣2x)m,
依题意列方程:
x(33﹣2x)=130.
解之得:
x1=
,x2=10.
满足题意的x=10.
∴AB=10m,BC=13m.
【思路点拨】设AB=xm,则BC用含x的代数式可表示为(33﹣2x)m,根据鸡场是面积为130m2的矩形,列出方程求解即可.
【答案】(33﹣2x);x(33﹣2x)=130;x1=
,x2=10;10;13.
4.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点P以1cm/s的速度由点A向终点C运动,点Q以2cm/s的速度由点C向终点B运动,当其中一点到达自己的终点时,另一点随之停止运动.现已知AC=12cm,BC=9cm,设运动了t秒时,S△PQC=
S△ABC,则t的值为 .
【知识点】一元二次方程的应用.
【数学思想】数形结合
【解题过程】解:
由题意得:
PC=(12﹣t)cm,CQ=2t,
则
×2t(12﹣t)=
×
×9×12
解得:
t=3或t=9(舍去).
【思路点拨】分别表示出线段PC和线段CQ的长后利用S△PQC=
S△ABC列出方程求解.
【答案】3s.
(二)课堂设计
1.知识回顾
(1)列方程解应用题的一般步骤:
审,找,设,列,解,检验,答
(2)列方程解决应用问题的关键在于找到等量关系,从而建立方程求解.
(3)正方形,长方形,三角形,圆等几何图形的周长及面积计算公式;
长方体,正方体的体积及表面积计算公式.
2.问题探究
探究一面积体积问题★
活动1面积问题
例.如图所示,在一幅长80cm,宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边,制成一幅矩形挂图,如果要使整个挂图的面积是5400cm2,设金色纸边的宽为xcm,求满足x的方程.
师问:
(1)挂图长为cm,宽为cm.
(2)等量关系是:
___________.
生答:
(1)80+2x;50+2x
(2)挂图面积为5400cm2.
师问:
如何列方程?
生答:
解:
挂图长为(80+2x)cm,宽为(50+2x)cm;
所以(80+2x)(50+2x)=5400,
即4x2+160x+4000+100x=5400,
所以4x2+260x﹣1400=0.
即x2+65x﹣350=0.
【思路点拨】找出挂图的长和宽,根据其积为5400,即长×宽=5400,列方程进行化简即可.
【设计意图】掌握在几何问题中找长方形的长和宽.
活动2体积问题
如图,张大叔从市场上买回一块矩形铁皮,他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后,剩下的部分刚好能围成一个容积为15m3的无盖长方体箱子,且此长方体箱子的底面长比宽多2米,求该长方体的底面宽,若该长方体的底面宽为x米:
(1)用含x的代数式分别表示出该长方体的底面长和容积.
(2)请列出关于x的方程.
师问:
(1)长方体运输箱底面的宽为xm,则长为_______m,进而得到容积为_______.
(2)等量关系是:
_________.
生答:
(1)x+2;x(x+2);
(2)容积是15m3.
师问:
如何列方程?
解:
(1)长方体运输箱底面的宽为xm,则长为(x+2)m.
容积为x(x+2)×1=x2+2x;
(2)x2+2x=15.
教师点拨:
(1)表示出长方体运输箱底面的宽为xm,则长为(x+2)m,进而得到容积为x(x+2)即可.
(2)由围成一个容积为15m3的无盖长方体箱子,根据
(1)列方程即可.
【设计意图】考查列代数式以及由实际问题列一元二次方程,利用长方体的体积计算公式来解决问题.
探究二勾股定理中的一元二次方程★
活动1勾股定理的应用
例.直角三角形的三边长是3个连续偶数,求这个三角形的三边长.
师问:
(1)设最短边为2x,另外两边长为:
________,_________.
(2)等量关系是:
__________.
生答
(1)2x+2,2x+4,
(2)直角三角形两直角边的平方和=斜边的平方.
师问:
如何列方程求解
生答:
解:
设最短边为2x,则另外两边的长为2x+2,2x+4,
根据题意得:
(2x)2+(2x+2)2=(2x+4)2;
化为一般形式为:
x2﹣2x﹣3=0.
故x1=3,x2=-1(舍)
所以三边长为6,8,10.
教师点拨:
根据一边长表示出另外两边的长,然后利用勾股定理列出方程即可;
【设计意图】学会用字母表示直角三角形的三边,继而通过勾股定理寻找等量关系.
活动2航行问题中的勾股定理
例.如图所示,一艘轮船以20海里/时的速度由西向东航行,途中接到台风警报,台风中心正以40海里/时的速度由南向北移动,台风中心
海里的圆形区域(包括边界)都属台风区.当轮船到A处时,测得台风中心移到位于点A正南方向B处,且AB=100海里.若这艘轮船自A处按原速度继续航行,在途中会不会遇到台风?
若会,试求轮船最初遇到台风的时间;若不会,请说明理由.
师问:
(1)设t时刻,轮船行驶到C点,此时AC=;
台风中心运动到E点,此时AE=;
(2)等量关系是:
_________.
生答:
(1)AC=20t;AE=100-40t;
(2)EC2=AC2+AE2.
师问:
如何列方程求解?
生答:
解:
若这艘轮船自A处按原速继续航行,在途中会遇到台风.
设t时刻,轮船行驶到C点,台风中心运动到E点,如图所示:
则可知AC=20t,AE=100-40t,
根据勾股定理得:
EC2=AC2+AE2,
当EC=
时,
整理得出:
t2-4t+3=0
解得:
t1=1,t2=3,
∵求最初遇台风时间,∴t=1.
答:
点C在台风影响的范围内,会受到影响,轮船最初遇到台风的时间是行驶1小时.
教师点拨:
根据勾股定理可得出此时轮船到台风中心的距离,进而可列方程.
【设计意图】训练在方向角背景下用字母表示相关边长,再利用勾股定理找等量关系.
探究三动点问题★▲
活动1三角形背景下的三角形面积
例.已知:
如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=5cm,BC=7cm.点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.
(1)如果P,Q分别从A,B同时出发,那么几秒后,△PBQ的面积等于6cm2?
(2)如果P,Q分别从A,B同时出发,那么几秒后,PQ的长度等于5cm?
(3)在
(1)中,△PQB的面积能否等于8cm2?
说明理由.
师问:
(1)设经过x秒钟,BQ=_______,BP=________.
(2)等量关系是:
__________.
生答:
(1)2x,5-x;
(2)BP2+BQ2=PQ2
师问:
如何列方程求解?
生答:
解:
(1)设:
经过x秒以后△PBQ面积为6
×(5﹣x)×2x=6
整理得:
x2﹣5x+6=0
解得:
x=2或x=3
答:
2或3秒后△PBQ的面积等于6cm2
(2)当PQ=5时,在Rt△PBQ中,∵BP2+BQ2=PQ2,
∴(5﹣x)2+(2x)2=52,
5x2﹣10x=0,
x(5x﹣10)=0,
x1=0,x2=2,
∴当x=0或2时,PQ的长度等于5cm.
(3)设经过x秒以后△PBQ面积为8,
×(5﹣x)×2x=8
整理得:
x2﹣5x+8=0
△=25﹣32=﹣7<0
∴△PQB的面积不能等于8cm2.
教师点拨:
(1)设经过x秒钟,△PBQ的面积等于6平方厘米,根据点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动,点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动,表示出BP和BQ的长可列方程求解.
(2)根据PQ=5,利用勾股定理BP2+BQ2=PQ2,求出即可;(3)
(1)中面积=8cm2,求解方程.
【设计意图】训练在几何背景下用字母表示变化的边长,根据面积列方程式解决问题.
活动2四边形背景下的三角形面积
如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=6cm,AB=8cm,BC=14cm.动点P、Q都从点C同时出发,点P沿C→B方向做匀速运动,点Q沿C→D→A方向做匀速运动,当P、Q其中一点到达终点时,另一点也随之停止运动.若点P以1cm/s速度运动,点Q以2
cm/s的速度运动,连接BQ、PQ.当时间t为秒时,△BQP的面积为24cm2.
师问:
整个运动过程中有几种情况?
生答:
分两种情况讨论:
①点Q在CD上;②点Q在DA上.
师问:
两种情况的时间的分界点是多少?
生答:
4s.
师问:
当Q在CD上,要表示△BPQ的面积,需要知道它的底和高.若以BP为底,则需要做什么辅助线?
生答:
过Q点作QG⊥BC于G.
师问:
此时,BP=_________,QG=_____________.
生答:
14-t,2t.
师问:
当Q在AD上,要表示△BPQ的面积,需要知道它的底和高.若以BP为底,则需要做什么辅助线?
生答:
过Q点作QG⊥BC于G.
师问:
此时,BP=_________,QG=_____________.
生答:
14-t,8.
师问:
如何列方程求解
生答:
解:
如图1,过D点作DH⊥BC,垂足为点H,
则有DH=AB=8cm,BH=AD=6cm.
∴CH=BC﹣BH=14﹣6=8cm.
在Rt△DCH中,∠DHC=90°,
∴CD=
=8
cm.
当点P、Q运动的时间为t(s),则PC=t.
①如图1,当点Q在CD上时,过Q点作QG⊥BC,垂足为点G,则QC=2
t.
又∵DH=HC,DH⊥BC,
∴∠C=45°.
∴在Rt△QCG中,由勾股定理可得QG=2t(QG=QC•sin∠C=2
t×sin45°=2t.)
又∵BP=BC﹣PC=14﹣t,
∴S△BPQ=
BP×QG=
(14﹣t)×2t=14t﹣t2.
当Q运动到D点时所需要的时间t=
=
=4.
∴S=14t﹣t2(0<t≤4),
当S=24时,14t﹣t2=24,
解得:
t1=2,t2=12(舍).
②如图2,当点Q在DA上时,过Q点作QG⊥BC,垂足为点G,
则:
QG=AB=8cm,BP=BC﹣PC=14﹣t,
∴S△BPQ=
BP×QG=
(14﹣t)×8=56﹣4t.
当Q运动到A点时所需要的时间t=
.
∴S=56﹣4t(4<t≤4+
),
当S=24时,56﹣4t=24,
解得:
t=8>4+
,舍去,
综上,当t=2时,S=24.
教师点拨:
由于点P在线段CB上运动,而点Q沿C→D→A方向做匀速运动,所以分两种情况讨论:
①点Q在CD上;②点Q在DA上.针对每一种情况,都可以过Q点作QG⊥BC于G.由于点P、Q运动的时间为t(s),可用含t的代数式分别表示BP、QG的长度,然后根据三角形的面积公式列出S与t的函数关系式,并写出t的取值范围,根据面积为24cm2,列出方程,解方程并结合t的范围取舍.
【设计意图】考查了动点与图形面积问题,需要根据题目的条件,分类讨论是关键.
探究四几何问题训练★▲
活动1基础型例题
例.在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路,余下部分作为耕地.若耕地面积需要551米2,则修建的路宽应为多少?
(只列方程)
【知识点】一元二次方程的应用.
【数学思想】数形结合
【解题过程】解:
设修建的路宽为x米.余下的面积表示为:
20×30﹣(30x+20x﹣x2)米2,根据题意可知:
矩形地面﹣所修路面积=耕地面积,依此列出等量关系:
余下的面积表示为 20×30﹣(30x+20x﹣x2) 米2,则根据题意得:
20×30﹣(30x+20x﹣x2)=551 .
【思路点拨】要求修建的路宽,就要设修建的路宽应为x米.
练习:
如图,矩形ABCD的周长是20cm,以AB,AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH,若正方形ABEF和ADGH的面积之和68cm2,那么矩形ABCD的面积是( )
A.21cm2B.16cm2C.24cm2D.9cm2
【知识点】一元二次方程的应用
【数学思想】数形结合
【解题过程】解:
设AB=xcm,AD=(10﹣x)cm,则正方形ABEF的面积为x2cm2,正方形ADGH的面积为(10﹣x)2cm2,
根据题意得x2+(10﹣x)2=68
整理得x2﹣10x+16=0
解之得x1=2,x2=8
所以AB=2cm,AD=8cm或AB=8cm,AD=2cm,
综上可求矩形ABCD的面积是16cm2.
【思路点拨】本题可设AB=xcm,AD=(10﹣x)cm,则正方形ABEF的面积为x2cm2,正方形ADGH的面积为(10﹣x)2cm2,进而结合题意,可列出方程,求得答案.
【答案】B
【设计意图】进一步练习一元二次方程在几何问题中的应用,在利用一元二次方程解决实际问题时,要根据实际问题对解进行取舍
活动2提升型例题
例.已知△ABC中,∠A=30°,∠B=45°,△ABC的面积为
,若AC=m,则m的值为( )
A.1B.2C.
D.
【知识点】一元二次方程的应用;含30度角的直角三角形;勾股定理.
【数学思想】数形结合
【解题过程】解:
如图:
作CD⊥AB于点D,
∵∠A=30°,∠B=45°,AC=m,
∴CD=BD=
=
,
∴由勾股定理得:
AD=
m,
∴AB=AD+BD=
m
∵△ABC的面积为
,
∴
AB•CD=
,
即:
m•
=
,
解得:
m=2,或m=-2(舍去),∴m=2.
【思路点拨】作CD⊥AB于点D,利用AC的长表示出CD和AB的长,利用三角形的面积公式得到有关m的方程求解即可.
【答案】B.
练习.甲、乙两船同时从A港出航,甲船以30千米/时的速度正北航行,乙船以比甲船快10千米/时的速度向东航行,几小时后两船相距150千米?
可列方程__________.
【知识点】一元二次方程的应用
【数学思想】数形结合
【解题过程】解:
设x小时后两船相距150千米,则AC=30x,AB=40x,
列方程得(30x)2+(40x)2=1502.
【思路点拨】画出相应图形后,易得两船相距的路程,甲航线路程,乙航行路程组成以两船相距的路程为斜边的直角三角形,利用勾股定理求解即可.
【答案】(30x)2+(40x)2=1502.
【设计意图】进一步练习一元二次方程在几何中的应用,勾股定理是此类问题的关键等量关系.
活动3探究型例题
例.等腰△ABC的直角边AB=BC=10cm,点P、Q分别从A、C两点同时出发,均以1cm/秒的相同速度作直线运动,已知P沿射线AB运动,Q沿边BC的延长线运动,PQ与直线AC相交于点D.设P点运动时间为t,△PCQ的面积为S.
(1)求出S关于t的函数关系式;
(2)当点P运动几秒时,S△PCQ=S△ABC?
(3)作PE⊥AC于点E,当点P、Q运动时,线段DE的长度是否改变?
证明你的结论.
【知识点】一元二次方程的应用;全等三角形的应用.
【数学思想】数形结合,分类讨论
【思路点拨】由题可以看出P沿AB向右运动,Q沿BC向上运动,且速度都为1cm/s,S=
QC×PB,所以求出QC、PB与t的关系式就可得出S与t的关系,另外应注意P点的运动轨迹,它不仅在B点左侧运动,达到一定时间后会运动到右侧,所以一些问题可能会有两种可能出现的情况,这时我们应分条回答.
【解题过程】解:
(1)当t<10秒时,P在线段AB上,此时CQ=t,PB=10﹣t
∴
当t>10秒时,P在线段AB的延长线上,此时CQ=t,PB=t﹣10
∴
(2)∵S△ABC=
∴当t<10秒时,S△PCQ=
整理得t2﹣10t+100=0无解
当t>10秒时,S△PCQ=
整理得t2﹣10t﹣100=0解得t=5±5
(舍去负值)
∴当点P运动
秒时,S△PCQ=S△ABC
(3)当点P、Q运动时,线段DE的长度不会改变.
证明:
过Q作QM⊥AC,交直线AC于点M
易证△APE≌△QCM,
∴AE=PE=CM=QM=
t,
∴四边形PEQM是平行四边形,且DE是对角线EM的一半.
又∵EM=AC=10
∴DE=5
∴当点P、Q运动时,线段DE的长度不会改变.
同理,当点P在点B右侧时,DE=5
综上所述,当点P、Q运动时,线段DE的长度不会改变.
【答案】
(1)t<10时,
;t>10时,
.
(2)
秒;
(3)不会改变.
练习:
如图所示,在矩形ABCD中,AB=5cm,AD=3cm,G为边AB上一点,GB=1cm,动点E、F同时从点D出发,点F沿射线DG﹣GB﹣BC运动到点C时停止,点E沿DC运动到点C时停止,它们运动的速度都是1cm/s,若E、F同时运动ts时,△DEF的面积为5cm2,则t的值为 .
【知识点】一元二次方程的应用,动点问题.
【数学思想】数形结合,分类讨论
【思路点拨】分三种情况:
①点F在DG上;②点F在BG上;③点F在BC上;根据等量关系:
△DEF的面积为5cm2,列出方程求解即可.
【解题过程】解:
在Rt△ADG中,DG=
=5,
①点F在DG上,依题意有
t×
t=5,
解得t=
(负值舍去);
②点F在BG上,依题意有
×5×3=7.5>5,
因此,当F在BG上时,△DEF的面积不可能等于5;
③点F在BC上,依题意有
×5×[3﹣(t﹣6)]=5,
解得t=7.
【答案】t的值为
或7.
3.课堂总结
知识梳理
(1)在实际生活中有许多几何图形的问题原型,可以用一元二次方程的方法来解决,体现数学建模的思想.
(2)根据实际情况验证结果的合理性.
重难点归纳(本节课的中心知识点在此进行回顾,对课堂上的典型方法、特殊例题进行归纳点拨)
(1)几何问题转化为方程来解决,体会数形结合的思想.
(2)动点问题中常用动点运动路径来表示边长,进而通过几何关系寻找等量关系.
(三)课后作业
基础型自主突破
1.如图,在一幅长80cm,宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条金色的纸边制成矩形挂图,如果要使整个挂图的面积为5400cm2,设金色纸边的宽为xcm,则可列方程( )
A.(80+2x)(50+2x)=5400B.(80﹣2x)(50﹣2x)=5400
C.(80+x)(50+x)=5400D.(80﹣x)(50﹣x)=5400
【知识点】一元二次方程的应用.
【数学思想】数形结合
【解题过程】解:
依题意,设金色纸边的宽为xcm,
(80+2x)(50+2x)=5400.
【思路点拨】根据矩形的面积=长×宽,我们可得出本题的等量关系应该是:
(风景画的长+2个纸边的宽度)×(风景画的宽+2个纸边的宽度)=整个挂图的面积,由此可得出方程.
【答案】A.
2.长方形的周长等于62cm,若面积等于210cm2,则它的长和宽分别是( )
A.21cm,5cmB.5cm,4cmC.21cm,10cmD.21cm,4cm
【知识点】一元二次方程的应用.
【解题过程】解:
设长方形的长是xcm,
•x=210
x=21或x=10(舍去).
(62﹣21﹣21)÷2=10.
长是21cm,宽是10cm.
【思路点拨】设长方形的长是xcm,根据长方形的周长等于62cm,若面积等于210cm2,可列方程求解.
【答案】C.
3.一个长方形的长比宽多1cm,面积是132cm2,长方形的长和宽分别是_________.
【知识点】一元二次方程的应用.
【解题过程】设长方形的长为xcm,则宽为(x﹣1)cm,
∴x(x﹣1)=132,
即:
x2﹣x﹣132=0;解得x1=12,x2=-11(不合题意,舍去)
【思路点拨】根据长比宽多1cm,面积是132cm2,表示出长和宽,列出等式即可;
【答案】12cm,11cm.
3.如图,用一根长为22cm的铁丝分段围成一个面积为10cm2的“田”字形的长方形铁丝框.设宽为x,请列出关于x的方程并化成一般形式_______________.
【知识点】一元二次方程的应用.
【数学思想】数形结合
【解题过程】解:
设矩形的宽为xcm,则长为:
cm,
根据题意得到:
x
=10,
化为一般形式为:
3x2﹣22x+30=0.
【思路点拨】分别表示出矩形的长和宽,利用面积计算方法列出方程即可.
【答案】3x2﹣22x+30=0.
4.一桌面的长为6米,宽为3米,铺在桌子上的台布的面积是桌面面积的三倍,并且各边垂下的长度相同,设台布垂下的长度xm,可列方程__________.
【知识点】一元二次方程的应用.
【解题过程】解:
设垂下的长度为x,由题意得
(6+2x)×(3+2x)=3×6×3;
【思路点拨】
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- 新人 五四 年级 下册 数学 实际问题 一元 二次方程