极坐标与参数方程知识点及题型归纳总结.docx

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极坐标与参数方程知识点及题型归纳总结

极坐标与参数方程知识点及题型归纳总结

知识点精讲

一、极坐标系在平面上取一个定点O，由点O出发的一条射线Ox、一个长度单位及计算角度的正方向（通常取逆时针方向），合称为一个极坐标系.点O称为极点，Ox称为极轴.平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度和从Ox到OM的角度（弧度制）来刻画（如图16-31和图16-32所示）.

二、极坐标与直角坐标的互化

面的关系式成立

极坐标的几何意义

0——表示过原点（极点）倾斜角为0的直线，0（0）为射线；

2acos表示以（a,0）为圆心过O点的圆.

四、直线的参数方程

直线的参数方程可以从其普通方程转化而来，设直线的点斜式方程为

yy0k（xx0），其中ktan（为直线的倾斜角），代人点斜式方程

xx0tcosuuuuuur

0（t为参数，为倾斜角，直线上定点M0（x0,y0），动点M（x,y），t为M0M的数量，

yy0tsin

向上向右为正（如图16-33所示）.

五、圆的参数方程

六、椭圆的参数方程

七、双曲线的参数方程

八、抛物线的参数方程

连线的斜率的倒数）

题型归纳即思路提示

题型1极坐标方程化直角坐标方程思路提示

对于极坐标方程给出的问题解答一般都是通过化为直角坐标方程，利用直角坐标方程求解.这里需注意的是极坐标系与直角坐标系建立的对应关系及其坐标间的关系

xcos

ysin

例16.7在极坐标系中，圆4sin的圆心到直线（R）的距离是.

6

分析将极坐标方程转化为平面直角坐标系中的一般方程求解.

解析极坐标系中的圆4sin转化为平面直角坐标系中的一般方程为

2222

x2y24y，即x2（y2）24，其圆心为（0,2），直线转化为平面直角坐标系中的方程

6

为：

y3x，即x3y0.圆心（0,2）到直线x3y0的距离为|023|3.

312（3）2

变式1已知曲线C1,C2的极坐标方程分别为cos3，4cos，

（0,0），则曲线C1与C2交点的极坐标为.

2

变式2⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为4cos,4sin

（1）把⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别化为直角坐方程

（2）求经过⊙O1和⊙O2交点的直线的直角坐标方程

变式3已知一个圆的极坐标方程是53cos5sin，求此圆的圆心和半径例16.8极坐标方程

（1）（）0（0）表示的图形是（）

A.两个圆B.两条直线C.一个圆和一条射线D.一条直线和一条射线分析将极坐标方程化为直角坐标方程.

解析

因为

（1）（

）0（

0），所以1或

（0）.

1x2y2

1，得x2

y21，表示圆心在原点的单位圆；

（0）表示

x轴的负半轴，

是一

条射线.故选C.

变式

1极坐标方程

cos

x1t

和参数方程

（t参数）所表示的图形分别是（

）

y23t

A.

圆、直线B.

直线、圆

C.圆、圆D.直线、

直线

变式2

在极坐标系中，

点P（2,

）到直线l:

sin（

）1的距离是

6

6

变式3

直线2cos

1与圆

2cos相交的弦长为

题型2直角坐标方程化为极坐标方程思路提示

如果题目中已知的曲线为直角坐标方程，而解答的问题是极坐标系下的有关问题，这里要利用直角

xcos

坐标与极坐标关系式，将直角坐标方程化为极坐标方程.

ysin

例16.9在直角坐标系xOy中，圆C1：

x2y24，圆C2：

（x2）2y24.

（1）在以O为极点，x轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1,C2的极坐标方程，并求出圆C1,C2的交点坐标（用极坐标表示）;

2）求出C1与C2的公共弦的参数方程

4cos

注：

极坐标系下点的表示不唯一

xcos

2）解法一：

由，得圆C1与圆C2的交点的坐标分别为

ysin

（1,3）,（1,3）.故圆C1与C2的公共弦的参数方程为x1（3t3）.

C的极坐标方程为参数方程化普通方程

yt

解法二

：

将x1代入

xy

cos

得cos1，从而sin

1cos

于是圆C1与C2的公共弦的参数方

程为

x1

（

ytan3

3）.

曲线C的直角坐标方程为

变式1

2x

y22x0，以原点为极点，x轴的正半轴为极抽建立极坐标系，

则曲线题型3思路提示

性质问题一般要通过消参（代入法、加减法，三角法

已知直线或曲线的参数方程讨论其位置关系、转化为普通方程解答.

在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l

与圆O的极坐标方程分别为sin（）

4

22m（m为非零数）与

b.若直线l经过椭圆C的焦点，

且与圆O相切，则椭圆C的离心率为

的轨迹是

解析由动圆C:

x2

2axcos2bysin0得

（xacos）2

（y

bsin

）2

a2cos2b2sin2

圆心坐标为（acos,bsin）（为参数），设

xacos，y

bsin

22

by1，即ax22

2yb2

1为所求轨迹方程，所以圆心的轨迹是椭圆

变式1

方程

x3t2yt21

2（0

5）表示的曲线是（

A.

线段B.

双曲线的一支C.圆弧

D.

射线

变式2

x

已知直线C1:

y

1tcos

tsin

t为参数），C2

cos

sin

为参数）.

（1）当

3时，求C1与C2的交点坐标；

（2）过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点.当

变化时，求点P轨迹的参数方程，并

指出它是什么曲线.

题型4普通方程化参数方程

思路提示

对于直线与圆锥曲线方程化为参数方程问题实质是引入第三个变量的换元法，这里有代数换元（如抛

x

物线y22px的参数方程

y

2pt2x2y2x

）或三角换元（如椭圆221的参数方程

2pta2b2y

acos

）.

bsin

例16.12在平面直角坐标系

2

xOy中，设P（x,y）是椭圆y21上的一个动点，求

3

xy的最大

值.

分析

利用椭圆的参数方程，

建立x,y与参数的关系，运用三角函数最值的求法，求解x

y的最大值.

解析

2

点P（x,y）是椭圆y21上的一个动点，则

3ysin

x3cos（为参数），

[0,2]，则

xy3cossin2sin（），[0,2]，故

3

（xy）max2.

变式1已知点P（x,y）是圆x2y22y0上的动点.

（1）求2xy的取值范围；

（2）若xya0恒成立，求实数a的取值范围.

变式2直线l过P（1,1），倾斜角.

6

（1）写出l的参数方程；

（2）l与圆x2y24相交于A,B两点，求P到A,B两点的距离之积.

变式3已知抛物线C:

y24x，点M（m,0）在x轴的正半轴上，过M的直线l与C相交于A,B两点，O为坐标原点.

（1）若m1时，l的斜率为1，求以AB为直径的圆的方程；

（2）若存在直线l使得|AM|,|OM|,|MB|成等比数列，求实数m的取值范围.

题型5参数方程与极坐标方程的互化思路提示

参数方程与极坐标方程的互化问题，需要通过普通方程这一中间桥梁来实现，先将参数方程（极坐标方程）化为普通方程，再将普通方程化为极坐标方程（参数方程）.

点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l的极坐标方程为.

分析把曲线C的参数方程化为普通方程，求出切线l的普通方程，然后把求出的直线l的普通方程化为极坐标方程.

代入直线l的方程可得cossin20，即2sin（）20，化简得sin（）2.

44xt

变式1设曲线C的参数方程为2（t为参数），若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极

yt2

轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为.

有效训练题

A.一条射线和一个圆B.两条直线C.一条直线和一个圆D.一个圆

A.（2,2）

3

B.（2,）C.（2,3）

44

D.

（2,74）

3.在极坐标系中，若等边△

ABC的两个顶点是A（2,），B（2,

5

）.那么顶点

C的坐标可能是（

）

4

4

3

A.（4,）

4

B

3

（23,）C.（23,

4

）

D.

（3,）

x

tsin50o1

4.直线的参数方程为

（t为参数），则直线的倾斜角为（）

y

tcos50o

A.40o

B.

50oC.140o

D.

130o

2.圆

22（sincos）的圆心的一个极坐标是（

）

则|AB|=（）

直线l的距离为71010的点的个数为（）

则圆M上的点到直线l的最短距离为

2

1t

，则曲线C1与C2的交点坐标为

2（t为参数）

2t

2t

2

x2pt

9.已知抛物线的参数方程为（t为参数），其中p0，焦点为F，准线为l，过抛物线上一

y2pt

2cos2

（为参数），曲线C2:

223sin

1）若P,Q分别是曲线C1和曲线C2上的两个动点，求线段PQ长度的最小值；

（2）若曲线C1上与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B点，P是曲线C1上第一象限内的动点，O是坐标原点，试求四边形OAPB面积的最大值.