第15章光的衍射.docx
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第15章光的衍射
第15章光的衍射
基本要求
1、了解惠更斯--菲涅尔原理。
2、掌握单缝夫琅和费衍射,能计算单缝衍射的暗纹条纹分布,能分析缝宽及波长对条纹分布的影响。
3、了解圆孔夫琅和费衍射的一般特性和光学仪器的分辨本领。
4、理解光栅衍射,能确定光栅衍射谱线的分布,会分析光栅常数及波长对光栅衍射谱线分布的影响。
5、了解X射线衍射。
内容提要
1.惠更斯-菲涅尔原理
从同一波阵面上各点发出的子波,在传播过程中相遇时,也能相互叠加而产生干涉现
象,空间各点波的强度,由各子波在该点的相干叠加所决定。
利用这一原理可以计算出衍射图样中的光强分布,但计算过程复杂,在大学物理教材
中通常采用菲涅尔提出的半波带法来解释衍射现象。
2.单缝夫琅禾费衍射
(1)单缝衍射条纹的主要特点
1中央明条纹(零级明纹)最亮,同时也最宽(约为其它明条纹宽度的两倍)
2各级明条纹的光强随级数增大而减小;
3当白光入射时,中央明条纹仍为白色,其两侧的各级明纹呈现彩色,并按波长排列
最靠近中央的为紫色,最远离的为红色,各单色光会产生重叠交错。
4条纹级数有限。
(2)屏单色光垂直入射时,屏幕干涉条纹位置
暗纹中心位置asin=k-k=1,2,3,
明纹中心位置asin「二_(2k1)—k=1,2,3,…
2
中央明纹范围-■:
:
:
asin:
:
:
:
■
(3)条纹间距
中央明纹线宽度1。
=2—f
a
其它各级明纹线宽度(相邻两暗纹中心间距)I。
=一f
a
式中a为单缝宽度,f为缝屏间所置透镜的焦距。
应该注意,屏上条纹位置与衍射角之间有对应关系
x=ftan^。
当二比较小时,有
sinv:
'tanv,此时x=fsin:
ftan;当较大时,则要先求出值,再代入
若用圆孔代替狭缝,则为圆孔夫琅禾费衍射,其衍射图样为明暗相间的同心圆环状条
纹,中央明纹是圆形亮斑(爱里斑),它集中了入射光束中光强大约84%,其对透镜光心的
张角
Ak
2)-2.44
D
其中D为圆孔直径。
3.光学仪器的分辨率
两发光点刚好能被圆孔光学仪器分辨,则它们对透镜光心所张的角叫最小分辨角。
由
瑞利判据知,它等于爱里斑的半角度“=1.22—。
光学仪器的最小分辨角的倒数,称为该
D
D,如大型天文望远
仪器的分辨率。
所以提高光学仪器分辨率的途径之一是增大透光孔径镜;二是减小入射光波的波长■。
如用电子显微镜等。
4•光栅衍射
光栅衍射图样的特点是明条纹细且亮,两明纹之间存在很宽的暗区,这种衍射图样是单
缝衍射和多缝干涉的综合结果。
(1)光栅方程
当平行光束垂直入射到光栅上,屏幕上主极大条纹的位置为
(ab)sin二kk=0,1,2,
式中(ab)为光栅常数,k称为条纹级数。
上式表明,相邻两单缝衍射的光波列到达屏上
某点(衍射角「处)时,若光程差恰好是波长的整数倍,则叠加后相互加强,形成明条纹。
(2)缺级现象:
当「角同时满足单缝衍射的暗纹公式和光栅方程时,将出现所谓缺级
现象。
缺级条件为
abk
a-k
式中k为光栅明纹主极大级次,k单缝衍射的暗条纹级次。
(3)光栅光谱
当白光入射光栅上时,与单缝衍射类似,除中央主极大仍为白色,其它为各级主极大
都将呈现彩色。
形成由紫到红的彩色光带,这些光带的整体称为衍射光谱。
由sin二上一
a+b
对于同一级k,衍射角’的大小正比于入射光的波长,,所以光谱中紫光靠近中央主级大,
而红光则远离中央主极大。
当级数较高时,第k级光谱中的长波明纹将与第k1级短波明
纹位置重合,光谱发生了重叠,级数愈高,重叠愈多,愈难分辨。
5.X射线衍射
利用天然晶体的空间点阵为三维衍射光栅,观察到X射线的衍射图样一劳厄斑点。
设
晶体中各原子层间的距离为d(晶格常数),平行相干的X射线以掠射角「投射到晶体表面上,满足
2dsin
k=1,2,
时,反射光波加强形成亮点,上式称为布喇格公式。
重点、难点分析
1.半波带法
如前所述,用半波带解释单缝衍射条纹的分布,可避免复杂的计算,单缝AB上各点发
出的子波在「方向的最大光程差AC=asin「,作k个平行于BC的平面,把AC分割为半波长—的k个相等部分。
同时,这些平面将把单缝处的波阵面AB分割成k个半波带。
这样,
2
相邻两半波带上对应点向:
方向发出的子波其光程差总是,到达P点时则相互干涉抵消。
2
所以当单缝处的波阵面恰好分成偶数个半波带时,所有波带上各点发出的光振动都将在P
点一一抵消,使P点形成暗条纹;当缝AB波阵面正好分成奇数个半波带,则成对的半波带
抵消后,还剩下一个半波带未被抵消,将使P点成为明条纹。
若「角不同,单缝处的波阵面分割成的半波带数目也不同,「角愈大,半波带数目也
愈多,每个半波带透过的光通量(或能量)愈小,对应的明条纹亮度愈弱。
若单缝处的波阵面AB不能分成整数个半波带时,光屏上P点总会有一些光线到达,
但其亮度比明条纹要小,这就使得单缝衍射的明条纹有一定宽度。
所以在用单缝衍射测量光
波波长时,一般测量暗条纹的位置。
这里应该注意:
图15-1中引入的BC平面与AC线(及沿「方向的各衍射线)垂直,
是借用了光线在各向同性介质中波线与波面垂直,且平行光经透镜后不产生附加光程差的原
理,使单缝处波阵面上各点向「方向发出的光波从BC面开始一直到P点,走过的光程都
一样,相互间均没有附加光程差。
因此,这些沿「方向的衍射光线之间若有光程差就应该是在AB面之后与BC之前的这一段,其最大光程差AC二asin「。
但这里的BC平面上各点
之间已有位相差,从
干涉条纹。
不然,若
B到C位相依次落后,所以它们在到达屏幕时才会形成明(或暗)的
BC平面是「方向衍射线的波面,之后又没有附加光程差,那么屏幕上
将永远只能是明的。
2•光栅衍射的缺级现象
若屏幕上某处满足光栅公式主极大条件:
(ab)sin二k■
同时也满足单缝衍射的暗纹条件:
asin=k■
则因从每个单缝射出的衍射光已各自满足暗条纹条件,也就不会出现缝与缝之间的干涉加强作用了,这种现象称为缺级。
将上述两式相比可知缺级条件为
k=123,
般只要为整数比时,则对应的k级明条纹位置一定出现缺级现象。
3•光栅衍射时屏上最多见到的条纹级数分析
当平行光垂直入射到光栅上,由
(ab)sin二k
二(a+b)sin®k_
式中取'=90,计算出对应的k值,若k为非整数,则不大于k的最大整数值就是所能看到的该光栅的最高衍射级数kmax;若k为整数,则kmax二k-1,因为=90时条纹在光栅的延长线上,实际观察不到。
此外,还要考虑到有无缺级的问题。
解题示例
例15-1单缝宽0.50mm,透镜焦距为f=1cm,用,-500nm的绿光垂直照射单缝.求:
⑴位于透镜焦平面处的屏幕上中央明条纹的角宽度;
(2)中央明条纹的线宽度;(3)第
级与第二级暗纹之间的距离;(4)如果在屏幕上离中央亮纹中心为3.5mm处的P点为一亮纹,试求P处亮纹的级数;(5)从P处看,对该光波而言,狭缝处的波面可分割成几个半波带?
_6
解
(1)中央明纹的角宽度为T0=2—=2°5103m=210‘rad
a0.5x10m
(2)中央明纹的线宽度为
:
x0:
f:
r0=210"m
(3)第一级暗纹与第二级暗纹之间的距离
:
X2if(2—-一)=1(210‘-10—110;m
aa
(4)由明纹公式
asinv-(2k1)—
2
以及明纹坐标
x二ftan二:
fsin-
求得该条纹级次
ax
(5)当k=3时,衍射光中的最大光程差为
asin…(2k•1)7'
22
因此,狭缝处波阵面可分成七个半波带。
例15-2用橙黄色的平行光垂直照射一宽为a=0.60mm的单缝,缝后凸透镜的焦距
f=40.0cm,观察屏幕上形成的衍射条纹.若屏上离中央明条纹中心1.40mm处的P点为一
明条纹;求:
(1)入射光的波长;
(2)P点处条纹的级数;⑶从P点看,对该光波而言,狭缝处的波面可分成几个半波带?
解
(1)由于P点是明纹,故有
asin=(2k1)',k=1,2,3
2
由△=3.510,=tan—sin:
f400
,,2asin®2=<0.6」1二
故3.5104.210mm
2k+12k+12k+1
当k=3,得■3=600nm
k=4,得,4=470nm
(2)若-600nm,则P点是第3级明纹;
“=470nm,贝UP点是第4级明纹.
(3)由asin=(2k1)可知,
2
当k=3时,单缝处的波面可分成2kT二7个半波带;
当k=4时,单缝处的波面可分成2k1-9个半波带.
例15-3波长为500nm的平行单色光垂直照射到每毫米有200条刻痕的光栅上,光栅后的透镜焦距为60cm.求:
(1)屏幕上中央明条纹与第一级明条纹的间距;
(2)当光线与光栅
法线成30°斜入射时,中央明条纹的位移为多少?
1
解光栅常数ab5.010‘mm=5.010“m
200
(1)由光栅衍射明纹公式
(ab)sin二k',
x
因k=1,又sin=tan,所以有
(ab)^='
102
扎f5000"0—x60x10一cc“二c
x166.010_m=6cm
ab5.0108
⑵对应中央明纹,有k=0
正入射时
(ab)sin=0,
所以
sin':
;;':
;:
0
斜入射时
(ab)(sin二sinn)=0,
即
sin二sinj-0
因v-30
x1
•••sin「:
tan
f2
1122
故x=f=沖6010=3010m=30cm
22
这就是中央明条纹的位移值.
例15-4波长’=600nm的单色光垂直入射到一光栅上,第二、第三级明条纹分别出
现在sin=0.20与sin=0.30处,第四级缺级•求:
(1)光栅常数;
(2)光栅上狭缝的宽
度;(3)在90°>:
〉-90°范围内,实际呈现的全部级数.解
(1)由光栅常数方程
(ab)sin二k'
对应于sin\=0.20与sin\=0.30处满足
0.20(ab)=2600010」°
0.30(ab)=360001040
得ab=6.010》m
(2)因第四级缺级,故此须同时满足光栅方程以及单缝衍射暗纹的条件,有
(ab)sin=k'
asin二k'
解得abk=1.510^k
4
取k"=1,得光栅狭缝的最小宽度为1.510-6m
(1)由光栅常数方程
(ab)sin=k1
(ab)sin
—,对应k=kmax,则有
ab6.010^
max一
10
600010
=10
_4,-8缺级,所以在-90:
:
:
「;:
:
90范围内实际呈现的全部级数为
k=0,_1,_2,_3,_5,_6,_7,_9共15条明条纹(k二_10在k二90处看不到).
例15-5一双缝,两缝间距为0.1mm,每缝宽为0.02mm,用波长为480nm的平行单色光垂直入射双缝,双缝后放一焦距为50cm的透镜.试求:
(1)透镜焦平面上单缝衍射中央明条
纹的宽度;
(2)单缝衍射的中央明条纹包迹内有多少条双缝衍射明条纹?
解
(1)中央明纹宽度为
詔480说5010mm
0.02
=2.4cm
(2)由于缺级,故此须同时满足光栅方程以及单缝衍射暗纹的条件,有
asin=k■
(a-b)sin=k'
0.1
0.02
即k=5,10,15,…缺级•中央明纹的边缘对应k、1,所以单缝衍射的中央明纹包迹内有
k=0,_1,一2,一3,一4共9条双缝衍射明条纹.
例15-6用%=590nm的钠黄光垂直入射到每毫米有500条刻痕的光栅上,问最多能看
到第几级明条纹?
1
解由光栅常数方程abmm=2.010’mm
500
由光栅常数方程知
(ab)sin=k1
最多见到的条纹级数kmax对应的二三
所以有
max
4
2.010
5900
:
3.39
即实际见到的最高级次为kmax=3
例15-7在夫琅禾费圆孔衍射中,设圆孔半径为0.10mm,透镜焦距为50cm,所用单色光波长为5000A,求在透镜焦平面处屏幕上呈现的爱里斑半径.
解由爱里斑的半角宽度
九5000X04
v-1.22=1.2230.510'
D0.2
爱里斑半径g=ftanr:
f「50030.5101.5mm
2
例15-8已知天空中两颗星相对于一望远镜的角距离为4.84x10-6rad,它们都发出波
o
长为5500A的光,试问望远镜的口径至少要多大,才能分辨出这两颗星?
解由最小分辨角公式
v-1.22
D
分辨出这两颗星望远镜的口径至少为D=1.22—=1.225.5106=13.86cm
94.84"0
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