圆周角定理练习题A.docx
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圆周角定理练习题A.docx
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圆周角定理练习题A
《圆周角定理》练习题
一.选择题(共16小题)
1.如图,A、B、C三点在⊙O上,假设∠BOC=76°,那么∠BAC的度数是( )
A.152°B.76°C.38°D.14°
2.如图,⊙O是△ABC的外接圆,∠ACO=45°,那么∠B的度数为( )
A.30°B.35°C.40°D.45°
第1题图第2题图第3题图
3.如图,在图中标出的4个角中,圆周角有( )个.
A.1B.2C.3D.4
4.如图,在⊙O中,直径CD垂直于弦AB,假设∠C=25°,那么∠BOD的度数是( )
A.25°B.30°C.40°D.50°
5.如图,已知在⊙O中,点A,B,C均在圆上,∠AOB=80°,那么∠ACB等于( )A.130°B.140°C.145°D.150°
第4题图第5题图第6题图
6.如图,MN是⊙O的直径,∠PBN=50°,那么∠MAP等于( )
A.50°B.40°C.30°D.20°
7.如图,CD是⊙O的直径,A、B是⊙O上的两点,假设∠ABD=20°,那么∠ADC的度数为)A.40°B.50°C.60°D.70°
8.如图,AB是半圆的直径,点D是
的中点,∠ABC=50°,那么∠DAB等于( )
A.55°B.60°C.65°D.70°
第7题图第8题图第9题图
9.如图,AB是⊙O的直径,C,D为圆上两点,∠AOC=130°,那么∠D等于( )
A.25°B.30°C.35°D.50°
10.如图,∠一、∠二、∠3、∠4的大小关系是( )
A.∠4<∠1<∠2<∠3B.∠4<∠1=∠3<∠2
C.∠4<∠1<∠3∠2D.∠4<∠1<∠3=∠2
11.如图,AB是半圆O的直径,∠BAC=60°,D是半圆上任意一点,那么∠D的度数是( )
A.30°B.45°C.60°D.90°
第10题图第11题图第12题图
12.如图,在⊙O中,OA⊥BC,∠AOC=50°,那么∠ADB的度数为( )
A.15°B.20°C.25°D.50°
13.在⊙O中,点A、B在⊙O上,且∠AOB=84°,那么弦AB所对的圆周角是( )
A.42°B.84°C.42°或138°D.84°或96°
14.如下图,在⊙O中,AB是⊙O的直径,∠ACB的角平分线CD交⊙O于D,那么∠ABD的度数等于( )
A.90°B.60°C.45°D.30°
15.已知如图,AB是⊙O的直径,CD是⊙O的弦,∠CDB=40°,那么∠CBA的度数为( )
A.60°B.50°C.40°D.30°
第10题图第11题图第12题图
16.如图,AB是圆的直径,AB⊥CD,∠BAD=30°,那么∠AEC的度数等于( )
A.30°B.50°C.60°D.70°
二.填空题(共8小题)
17.如图,⊙O的直径CD通过弦EF的中点G,∠DCF=20°,那么∠EOD等于 .
第17题图第18题图第19题图
18.如图,点A、B在⊙O上,∠AOB=100°,点C是劣弧AB上不与A、B重合的任意一点,那么∠C= °.
19.在⊙O中,弦AB=2cm,∠ACB=30°,那么⊙O的直径为 cm.
20.如图,⊙O中弦AB等于半径R,那么这条弦所对的圆心角是 ,圆周角是 .
第20题图第21题图第22题图
21.如图,等腰△ABC的底边BC的长为4cm,以腰AB为直径的⊙O交BC于点D,交AC于点E,那么DE的长为 cm.
22.如图,在“世界杯”足球竞赛中,甲带球向对方球门PQ进攻,当他带球冲到A点时,一样乙已经助攻冲到B点,丙助攻到C点.有三种射门方式:
第一种是甲直接射门;第二种是甲将球传给乙,由乙射门.第三种是甲将球传给丙,由丙射门.仅从射门角度考虑,应选择 种射门方式.
三.解答题(共16小题)
25.28.如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上的点,AC=6cm,BC=8cm,∠ACB的平分线交⊙O于点D,求AB和BD的长.
26.如图,已知CD是⊙O的直径,弦AB⊥CD,垂足为点M,点P是
上一点,且∠BPC=60°.试判定△ABC的形状,并说明你的理由.
27、如图,△ABC的高AD、BE相交于点H,延长AD交ABC的外接圆于点G,连接BG.
求证:
HD=GD.
28.已知:
如图,AB为⊙O的直径,AB=AC,BC交⊙O于点D,AC交⊙O于点E.∠BAC=40°
(1)求∠EBC的度数;
(2)求证:
BD=CD.
29.如图,△ABC是⊙O的内接三角形,∠A=30°,BC=3cm.求⊙O的半径.
30.如图,AB是⊙O的直径,过圆上一点C作CD⊥AB于点D,点C是弧AF的中点,连接AF交CD于点E,连接BC交AF于点G.
(1)求证:
AE=CE;.
31.如图,△ABC中,AB>AC,∠BAC的平分线交外接圆于D,DE⊥AB于E,DM⊥AC于M.
(1)求证:
BE=CM.
(2)求证:
AB﹣AC=2BE.
32.如图,OA是⊙0的半径,以OA为直径的⊙C与⊙0的弦AB相交于点D.求证:
AD=BD.
33.如图,已知:
AB是⊙O的弦,D为⊙O上一点,DC⊥AB于C,DM平分∠CDO.求证:
M是弧AB的中点.
34.如图,△ABC的三个极点都在⊙O上,CD是高,D是垂足,CE是直径,求证:
∠ACD=∠BCE.
35.已知:
如图,AE是⊙O的直径,AF⊥BC于D,证明:
BE=CF.
36.已知AB为⊙O的直径,弦BE=DE,AD,BE的延长线交于点C,求证:
AC=AB.
37.如图,AB是圆O的直径,OC⊥AB,交⊙O于点C,D是弧AC上一点,E是AB上一点,EC⊥CD,交BD于点F.问:
AD与BF相等吗?
什么缘故?
38.如图,AB是⊙O的直径,AC、DE是⊙O的两条弦,且DE⊥AB,延长AC、DE相交于点F,求证:
∠FCD=∠ACE.
39.如图,已知⊙O是△ABC的外接圆,AD是⊙O的直径,作CE⊥AD,垂足为E,CE的延长线与AB交于F.试分析∠ACF与∠ABC是不是相等,并说明理由.
40.如图,△ABC内接于⊙O,AD为△ABC的外角平分线,交⊙O于点D,连接BD,CD,判定△DBC的形状,并说明理由.
41.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为点E,G是
上的任意一点,AG、DC的延长线相交于点F,∠FGC与∠AGD的大小有什么关系?
什么缘故?
42.如图,AB是圆O的直径,C是圆O上一点,D是弧AC中点,DE⊥AB垂足为E,AC别离与DE、DB相交于点F、G,那么AF与FG是不是相等?
什么缘故?
43.如图,OA是⊙O的半径,以OA为直径的⊙C与⊙O的弦AB交于点D,求证:
D是AB的中点.
44.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中点,以DC为直径的⊙O交△ABC的边于G,F,E点.
求证:
(1)F是BC的中点;
(2)∠A=∠GEF.
45.如图,圆内接四边形ABCD的外角∠DCH=∠DCA,DP⊥AC垂足为P,DH⊥BH垂足为H,求证:
CH=CP,AP=BH.
《圆周角定理》2222222222
参考答案与试题解析
一.选择题(共16小题)
1.(2021•呼伦贝尔)如图,A、B、C三点在⊙O上,假设∠BOC=76°,那么∠BAC的度数是( )
A.152°B.76°C.38°D.14°
【解答】解:
∵
所对的圆心角是∠BOC,圆周角是∠BAC,
又∵∠BOC=76°,
∴∠A=76°×
=38°.
应选C.
2.(2021•眉山)如图,⊙O是△ABC的外接圆,∠ACO=45°,那么∠B的度数为( )
A.30°B.35°C.40°D.45°
【解答】解:
∵OA=OC,∠ACO=45°,
∴∠OAC=45°,
∴∠AOC=180°﹣45°﹣45°=90°,
∴∠B=
∠AOC=45°.
应选D.
3.(2020秋•海淀区校级期末)如图,在图中标出的4个角中,圆周角有( )个.
A.1B.2C.3D.4
【解答】解:
∠1和∠3符合圆周角的概念,
∠2极点不在圆周上,
∠4的一边不和圆相交,
故图中圆周角有∠1和∠3两个.
应选B.
4.(2021•珠海)如图,在⊙O中,直径CD垂直于弦AB,假设∠C=25°,那么∠BOD的度数是( )
A.25°B.30°C.40°D.50°
【解答】解:
∵在⊙O中,直径CD垂直于弦AB,
∴
=
,
∴∠DOB=2∠C=50°.
应选:
D.
5.(1997•陕西)如图,已知在⊙O中,点A,B,C均在圆上,∠AOB=80°,那么∠ACB等于( )
A.130°B.140°C.145°D.150°
【解答】解:
设点E是优弧AB上的一点,连接EA,EB
∵∠AOB=80°
∴∠E=
∠AOB=40°
∴∠ACB=180°﹣∠E=140°.
应选:
B.
6.如图,MN是⊙O的直径,∠PBN=50°,那么∠MAP等于( )
A.50°B.40°C.30°D.20°
【解答】解:
连接OP,
可得∠MAP=
∠MOP,∠NBP=
∠NOP,
∵MN为直径,
∴∠MOP+∠NBP=180°,
∴∠MAP+∠NBP=90°,
∵∠PBN=50°,
∴∠MAP=90°﹣∠PBN=40°.
应选B.
7.(2007•太原)如图,CD是⊙O的直径,A、B是⊙O上的两点,假设∠ABD=20°,那么∠ADC的度数为( )
A.40°B.50°C.60°D.70°
【解答】解:
∵∠ABD=20°
∴∠C=∠ABD=20°
∵CD是⊙O的直径
∴∠CAD=90°
∴∠ADC=90°﹣20°=70°.
应选D.
8.(2021•苏州)如图,AB是半圆的直径,点D是
的中点,∠ABC=50°,那么∠DAB等于( )
A.55°B.60°C.65°D.70°
【解答】解:
连结BD,如图,
∵点D是
的中点,即弧CD=弧AD,
∴∠ABD=∠CBD,
而∠ABC=50°,
∴∠ABD=
×50°=25°,
∵AB是半圆的直径,
∴∠ADB=90°,
∴∠DAB=90°﹣25°=65°.
应选C.
9.(2020•枣庄)如图,AB是⊙O的直径,C,D为圆上两点,∠AOC=130°,那么∠D等于( )
A.25°B.30°C.35°D.50°
【解答】解:
∵∠AOC=130°,
∴∠BOC=50°,
∴∠D=
∠BOC=25°.应选A.
10.(2021秋•沙洋县校级月考)如图,∠一、∠二、∠3、∠4的大小关系是( )
A.∠4<∠1<∠2<∠3B.∠4<∠1=∠3<∠2C.∠4<∠1<∠3∠2D.∠4<∠1<∠3=∠2
【解答】解:
如图,利用圆周角定理可得:
∠1=∠3=∠5=∠6,
依照三角形的外角的性质得:
∠5>∠4,∠2>∠6,
∴∠4<∠1=∠3<∠2,
应选B.
11.(2021秋•天津期末)如图,AB是半圆O的直径,∠BAC=60°,D是半圆上任意一点,那么∠D的度数是( )
A.30°B.45°C.60°D.90°
【解答】解:
连接BC,
∵AB是半圆的直径
∴∠ACB=90°
∵∠BAC=60°,
∴∠ABC=90°﹣∠BAC=30°,
∴∠D=∠ABC=30°.
应选A.
12.(2020•塘沽区二模)如图,在⊙O中,OA⊥BC,∠AOC=50°,那么∠ADB的度数为( )
A.15°B.20°C.25°D.50°
【解答】解:
∵OA⊥BC,∠AOC=50°,
∴
,
∴∠ADB=
∠AOC=25°.
应选C.
13.(2021秋•宜兴市校级期中)在⊙O中,点A、B在⊙O上,且∠AOB=84°,那么弦AB所对的圆周角是( )
A.42°B.84°C.42°或138°D.84°或96°
【解答】解:
如图,∵∠AOB=84°,
∴∠ACB=
∠AOB=
×84°=42°,
∴∠ADB=180°﹣∠ACB=138°.
∴弦AB所对的圆周角是:
42°或138°.
应选C.
14.(2020•南岸区一模)如下图,在⊙O中,AB是⊙O的直径,∠ACB的角平分线CD交⊙O于D,那么∠ABD的度数等于( )
A.90°B.60°C.45°D.30°
【解答】解:
连接AD,
∵在⊙O中,AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
∵CD是∠ACB的角平分线,
∴
=
,
∴AD=BD,
∴△ABD是等腰直角三角形,
∴∠ABD=45°.
应选C.
15.(2021秋•合肥校级期末)已知如图,AB是⊙O的直径,CD是⊙O的弦,∠CDB=40°,那么∠CBA的度数为( )
A.60°B.50°C.40°D.30°
【解答】解:
连接AC,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∵∠A=∠CDB=40°,
∴∠CBA=90°﹣∠A=50°.
应选B.
16.(2021•万州区校级模拟)如图,AB是圆的直径,AB⊥CD,∠BAD=30°,那么∠AEC的度数等于( )
A.30°B.50°C.60°D.70°
【解答】解:
∵∠BAD=30°,
∴
=60°,
∵AB是圆的直径,AB⊥CD,
∴
=
=60°,
∴
=180°﹣60°=120°,
∴∠AEC=
=
×120°=60°.
应选C.
二.填空题(共8小题)
17.(2016•大冶市模拟)如图,⊙O的直径CD通过弦EF的中点G,∠DCF=20°,那么∠EOD等于 40° .
【解答】解:
∵⊙O的直径CD过弦EF的中点G,∠DCF=20°,
∴弧DF=弧DE,且弧的度数是40°,
∴∠DOE=40°,
答案为40°.
18.(2021•历城区二模)如图,AB是半圆的直径,点D是弧AC的中点,∠ABC=50°,那么∠DAB的度数是 65° .
【解答】解:
连结BD,如图,
∵点D是
的中点,即弧CD=弧AD,
∴∠ABD=∠CBD,
而∠ABC=50°,
∴∠ABD=
×50°=25°,
∵AB是半圆的直径,
∴∠ADB=90°,
∴∠DAB=90°﹣25°=65°.
故答案为65°.
19.(2021秋•滨湖区校级期末)如图,点A、B在⊙O上,∠AOB=100°,点C是劣弧AB上不与A、B重合的任意一点,那么∠C= 130 °.
【解答】解:
在优弧AB上取点D,连结AD、BD,如图,
∴∠D=
∠AOB=
×100°=50°,
∵∠D+∠C=180°,
∴∠C=180°﹣50°=130°.
故答案为130.
20.(2020秋•苏州校级期中)球员甲带球冲到A点时,同伴乙已经助攻冲到B点.有两种射门方式:
第一种是甲直接射门;第二种是甲将球传给乙,由乙射门.仅从射门角度考虑,应选择 第二种 种射门方式较为合理.
【解答】解:
连接OC.
依照圆周角定理,得∠PCQ=∠B,
依照三角形的外角的性质,得∠PCQ>∠A,
则∠B>∠A.
故答案为第二种.
21.(2021•黄岛区校级模拟)在⊙O中,弦AB=2cm,∠ACB=30°,那么⊙O的直径为 4 cm.
【解答】解:
连接OA,OB,
∵∠ACB=30°,
∴∠AOB=60°,
∴△AOB是等边三角形,
∴OA=OB=AB=2cm,
∴⊙O的直径=4cm.
故答案为:
4.
22.(2021春•海盐县校级期末)如图,⊙O中弦AB等于半径R,那么这条弦所对的圆心角是 60° ,圆周角是 30°或150° .
【解答】解:
连结OA、OB,∠APB和∠AP′B为弦AB所对的圆周角,如图,
∵弦AB等于半径R,
∴△OAB为等边三角形,
∴∠AOB=60°,
∴∠APB=
∠AOB=30°,
∴∠AP′B=180°﹣∠APB=150°,
即这条弦所对的圆心角是60°,圆周角是30°或150°.
故答案为60°;是30°或150°.
23.(2021•义乌市模拟)如图,等腰△ABC的底边BC的长为4cm,以腰AB为直径的⊙O交BC于点D,交AC于点E,那么DE的长为 2 cm.
【解答】
解:
连接AD,
∵∠DEC为圆内接四边形ABDE的外角,
∴∠DEC=∠B,
又等腰△ABC,BC为底边,
∴AB=AC,
∴∠B=∠C,
∴∠DEC=∠C,
∴DE=DC,
∵AB为圆O的直径,
∴∠ADB=90°,即AD⊥BC,
∴BD=CD=
BC,又BC=4cm,
∴DE=2cm.
故答案为:
2
24.(2021秋•哈密地域校级月考)如图,在“世界杯”足球竞赛中,甲带球向对方球门PQ进攻,当他带球冲到A点时,一样乙已经助攻冲到B点,丙助攻到C点.有三种射门方式:
第一种是甲直接射门;第二种是甲将球传给乙,由乙射门.第三种是甲将球传给丙,由丙射门.仅从射门角度考虑,应选择 第二 种射门方式.
【解答】解:
设AP与圆的交点是C,连接CQ;
则∠PCQ>∠A;
由圆周角定理知:
∠PCQ=∠B;
因此∠B>∠A;
因此选择第二种射门方式更好.
故答案为:
第二.
三.解答题(共16小题)
25.(2020•沈阳模拟)如图,△ABC的高AD、BE相交于点H,延长AD交ABC的外接圆于点G,连接BG.
求证:
HD=GD.
【解答】证明:
∵∠C=∠G,△ABC的高AD、BE,
∴∠C+∠DAC=90°,∠AHE+∠DAC=90°,
∴∠C=∠AHE,
∵∠AHE=∠BHG=∠C,
∴∠G=∠BHG,
∴BH=BG,
又∵AD⊥BC,
∴HD=DG.
26.(2021秋•虞城县校级期末)如图,已知CD是⊙O的直径,弦AB⊥CD,垂足为点M,点P是
上一点,且∠BPC=60°.试判定△ABC的形状,并说明你的理由.
【解答】解:
△ABC为等边三角形.理由如下:
∵AB⊥CD,CD为⊙O的直径,
∴弧AC=弧BC,
∴AC=BC,
又∵∠BPC=∠A=60°,
∴△ABC为等边三角形.
27.(2021秋•耒阳市校级期末)已知:
如图,AB为⊙O的直径,AB=AC,BC交⊙O于点D,AC交⊙O于点E.∠BAC=40°
(1)求∠EBC的度数;
(2)求证:
BD=CD.
【解答】
(1)解:
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C,
∵∠BAC=40°,
∴∠C=
(180°﹣40°)=70°,
∵AB为⊙O的直径,
∴∠AEB=90°,
∴∠EBC=90°﹣∠C=20°;
证明:
连结AD,如图,
∵AB为⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
∴AD⊥BC,
而AB=AC,
∴BD=DC.
28.(2021秋•高密市期中)如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上的点,AC=6cm,BC=8cm,∠ACB的平分线交⊙O于点D,求AB和BD的长.
【解答】解:
如图,∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,∠ADB=90°.
∴AB=
=
=10(cm).
∵AC=6cm,BC=8cm,
∵CD是∠ACB的平分线,
∴∠ACD=∠BCD,那么
=
,
∴AD=BD,
∴BD=
AB=5
cm.
综上所述,AB和BD的长别离是10cm,5
cm.
29.(2021秋•宜兴市校级期中)如图,△ABC是⊙O的内接三角形,∠A=30°,BC=3cm.求⊙O的半径.
【解答】解:
作直径CD,连结BD,如图,
∵CD为直径,
∴∠CBD=90°,
∵∠D=∠A=30°,
∴CD=2BC=2×3=6,
∴⊙O的半径为3cm.
30.(2020秋•瑞安市校级月考)如图,AB是⊙O的直径,过圆上一点C作CD⊥AB于点D,点C是弧AF的中点,连接AF交CD于点E,连接BC交AF于点G.
(1)求证:
AE=CE;
(2)已知AG=10,ED:
AD=3:
4,求AC的长.
【解答】
(1)证明:
∵点C是弧AF的中点,
∴∠B=∠CAE,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
即∠ACE+∠BCD=90°,
∵CD⊥AB,
∴∠B+∠BCD=90°,
∴∠B=∠CAE=∠ACE,
∴AE=CE…(6分)
(2)解:
∵∠ACB=90°,
∴∠CAE+∠CGA=90°,
又∵∠ACE+∠BCD=90°,
∴∠CGA=∠BCD,
∵AG=10,
∴CE=EG=AE=5,
∵ED:
AD=3:
4,
∴AD=4,DE=3,
∴AC=
…(10分).
31.(2021秋•扬中市期中)如图,△ABC中,AB>AC,∠BAC的平分线交外接圆于D,DE⊥AB于E,DM⊥AC于M.
(1)求证:
BE=CM.
(2)求证:
AB﹣AC=2BE.
【解答】证明:
(1)连接BD,DC,
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD,
∴弧BD=弧CD,
∴BD=CD,
∵∠BAD=∠CAD,DE⊥AB,DM⊥AC,
∵∠M=∠DEB=90°,DE=DM,
在Rt△DEB和Rt△DMC中,
,
∴Rt△DEB≌Rt△DMC(HL),
∴BE=CM.
(2)∵DE⊥AB,DM⊥AC,
∵∠M=∠DEA=90°,
在Rt△DEA和Rt△DMA中
∴Rt△DEA≌Rt△DMA(HL),
∴AE=AM,
∴AB﹣AC,
=AE+BE﹣AC,
=AM+BE﹣AC,
=AC+CM+BE﹣AC,
=BE+CM,
=2BE.
32.(2021•宁夏模拟)如图,OA是⊙0的半径,以OA为直径的⊙C与⊙0的弦AB相交于点D.求证:
AD=BD.
【解答】证明:
连结OD,如图,
∵OA为⊙C的直径,
∴∠ADO=90°,
∴OD⊥AB,
∴AD=BD.
33.(2020秋•宁波期中)如图,已知:
AB是⊙O的弦,D为⊙O上一点,DC⊥AB于C,DM平分∠CDO.求证:
M是弧AB的中点.
【解答】解:
连接OM
∵OD=OM,
∴∠ODM=∠OMD,
∵DM平分∠ODC,
∴∠ODM=∠CDM,
∴∠CDM=∠OMD,
∴CD∥OM,
∵CD⊥AB,
∴OM⊥AB,
∴弧AM=弧BM,
即点M为劣弧AB的中点.
34.(2020秋•哈尔滨校级期中)如图,△ABC的三个极点都在⊙O上,CD是高,D是垂足,CE是直径,求证:
∠ACD=∠BCE.
【解答】解:
连接AE,
∵CE为直径,
∴∠EAC=90°,
∴∠ACE=90°﹣∠AEC,
∵CD是高,D是垂足,
∴∠BCD=90°﹣∠B,
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