学年北师大版必修4 211位移速度和力12向量的概念 教案.docx
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学年北师大版必修4211位移速度和力12向量的概念教案
教学设计
1.1位移、速度和力
1.2向量的概念
整体设计
教学分析
1.本节是本章的入门课,概念较多,但难度不大.位移、速度、力等物理量学生都学过,这里仅是列出这些物理量让学生感知矢量,为进一步学习向量的概念作铺垫.由于向量来源于物理,并且兼具“数”和“形”的特点,所以它在物理和几何中具有广泛的应用.可通过几个具体的例子说明它的应用.位移、速度、力等是物理中的基本量,也是几何研究的重要对象.几何中常用点表示位置,研究如何由一点的位置确定另外一点的位置.位移简明地表示了点的位置之间的相对关系,它是向量的重要的物理模型.力是常见的物理量.重力、浮力、弹力等都是既有大小又有方向的量.物理中还有其他力,让学生举出物理学中力的其他一些实例,目的是要建立物理课中学过的位移、力及矢量等概念与向量之间的联系,以此更加自然地引入向量概念,并建立学习向量的认知基础.
2.在类比数量的抽象过程而引出向量的概念后,为了使学生更好地理解向量概念,可采用与数量概念比较的方法,引导学生认识年龄、身高、长度、面积、体积、质量等量是“只有大小,没有方向的量”,同时给出“时间、路程、功是向量吗?
速度、加速度是向量吗?
”的思考题.通过这样的比较,可以使学生在区分相似概念的过程中更深刻地把握向量概念.实数与数轴上的点是一一对应的,数量常常用数轴上的一个点表示.教科书通过类比实数在数轴上的表示,给出了向量的几何表示——用有向线段表示向量.用有向线段表示向量,赋予了向量一定的几何意义.有向线段使向量的“方向”得到了表示,那么向量的大小又该如何表示呢?
一个自然的想法是用有向线段的长度来表示.从而引出向量的模、零向量及单位向量等概念,为学习向量作了很好的铺垫.
3.数学中,引进一个新的量后,首先要考虑的是如何规定它的“相等”,这是讨论这个量的基础.如何规定“相等向量”呢?
由于向量涉及大小和方向,因此把“长度相等且方向相同的向量”规定为相等向量是非常自然的.由向量相等的定义可以知道,对于一个向量,只要不改变它的方向和大小,就可以任意平行移动.因此,用有向线段表示向量时,可以任意选取有向线段的起点,这为用向量处理几何问题带来方便,并使平面上的向量与向量的坐标得以一一对应.教学时可结合例题、习题说明这种思想.
4.共线向量和平行向量是研究向量的基础,由此可以将一组平行向量平移(不改变大小和方向)到一条直线上,这给问题的研究带来方便.教学中,要使学生体会两个共线向量并不一定要在一条直线上,只要两个向量平行就是共线向量,当然,在同一直线上的向量也是平行向量.要避免向量的平行、共线与平面几何中直线、线段的平行和共线相混淆,教学中可以通过对具体例子的辨析来正确掌握概念.
三维目标
1.通过物理中的位移、速度、力等矢量,利用平面向量的实际背景以及研究平面向量的必要性,理解平面向量的概念以及确定平面向量的两个要素,搞清数量与向量的区别.
2.理解自由向量、相等向量、相反向量、平行向量、零向量等概念,并能判断向量之间的关系.并会辨认图形中的相等向量或作出与某一已知向量相等的向量.
3.在教学过程中,应充分根据平面向量的两个要素加以研究向量的关系,揭示向量可以平移这一特性.并通过本节学习,培养学生从数学的角度思考生活中实际问题的习惯.加强数学的应用意识,切实做到学以致用.用联系、发展的观点观察世界.
重点难点
教学重点:
理解并掌握向量、零向量、单位向量、向量的模、相等向量、共线向量的概念,会表示向量.
教学难点:
平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
图1
思路1.先引导学生阅读本章引言并观察思考章头图,然后提出问题:
在同一时刻,老鼠由A向西北方向的C处逃窜,猫在B处向正东方向的D处追去,猫能否追到老鼠呢(如图1)?
学生马上得出结论:
追不上,猫的速度再快也没用,因为方向错了.教师适时设问:
如何从数学的角度来揭示这个问题的本质?
由此展开新课的探究.
思路2.创设实物情境,回忆物理相关知识,让学生思考:
两列火车先后从同一站台沿相反方向开出,各走了相同的路程,怎样用数学式子表示这两列火车的位移?
中国象棋中规定马走“日”,象走“田”,让学生在图上画出马、象走过的路线,从物理知识位移的视角观察思考,并由此展开新课,这也是一个不错的导入选择.
推进新课
新知探究
提出问题
①回忆初中物理课中,我们学过的“位移”“速度”“力”等物理概念,让学生举出我们日常生活中有关“位移”“速度”“力”的实例.
②“位移”“速度”“力”这些量的共同特征是什么?
③“位移”“速度”“力”等量与长度、面积、质量等量有哪些不同?
即数量与矢量的本质区别在哪里?
活动:
教师指导学生阅读课本,思考讨论课本中的实例所反映的物理量的特征.实例
(1)反映的是物理量——位移:
民航每天都有从北京飞往上海、广州、重庆、哈尔滨等地的航班,每次飞行都是民航客机的一次位移.由于飞行的距离和方向各不相同,因此,它们是不同的位移;实例
(2)反映的也是物理量——位移:
假如学校位于你家东偏北30°方向,距离你家2000m,从家到学校,可能有长短不同的几条路.无论走哪条路,你的位移都是向东偏北30°方向移动了2000m;实例(3)反映的是物理量——速度:
飞机向东北方向飞行了150km,飞行时间为半小时,飞行速度的大小是300km/h,方向是东北;实例(4)反映的也是物理量——速度:
某著名运动员投掷标枪时,标枪的初速度的记录资料是:
平均出手角度θ=43.242°,平均出手速度大小为v=28.35m/s;最后两个实例反映的是物理量——力:
起重机吊装物体时,物体既受到竖直向下的重力作用,同时又受到竖直向上的起重机拉力的作用.当拉力的大小超过重力的大小时,物体即被吊起;汽车爬倾斜角为θ的坡路时,汽车的牵引力大小为F(N),方向倾斜向上,与水平方向成θ角.
我们身边这样的实例很多,可让学生充分思考讨论再举出一些位移、速度、力的实例来,如果学生举出的是一些有关长度、面积、质量的例子,效果会更好,这样就有了比较,教师因势利导,学生更能明了这些量的本质.例如:
物体在液体中受到的浮力是竖直向上的,物体浸在液体中的体积越大它受到的浮力越大;被拉长的弹簧的弹力是沿着反拉方向的,被压缩的弹簧的弹力是沿着反压方向的,并且在弹性限度内,弹簧拉长或压缩的长度越大,弹力越大;物理中的速度与加速度,物理中的动量与冲量等,这些量的共同特征是既有大小又有方向.如有学生举出我们的身高、运动会上的百米赛跑的跑道长度及场地面积、铅球体积、铅球质量等实例,教师适时地让学生讨论:
这些量显然与以上那些量不同,因为长度、面积等这些量只有大小而无方向.
教师与学生一起归纳总结以上实例:
位移、速度和力等这些物理量都是既有大小,又有方向的量,在物理中称为“矢量”.只有大小,没有方向的量,如年龄、身高、长度、面积、体积、质量等称为数量,物理学上称为标量.显然数量和向量的区别就在于方向问题,矢量与标量是完全不同的两个量.
铺垫已经完成,至此时机成熟,教师恰时恰点地引导学生思考:
在现实世界中,像位移、速度、力等既有大小,又有方向的量是很多的,我们能否在数学学科中对这些量加以抽象,形成一种新的量?
由此引入本章重要概念——向量.在数学中,我们把这种既有大小,又有方向的量统称为向量.
讨论结果:
①—③略.
提出问题
①在数学中,怎样表示向量呢?
②什么叫有向线段?
有向线段和线段有何区别和联系?
分别可以表示向量的什么?
③怎样定义零向量?
怎样定义单位向量?
④满足什么条件的两个向量叫作相等向量?
⑤有一组向量,它们的方向相同或相反,这组向量有什么关系?
怎样定义平行向量?
⑥如果把一组平行向量的起点全部移到一点O,它们是不是平行向量?
这时各向量的终点之间有什么关系?
⑦什么是向量的模?
活动:
教师指导学生阅读教材,并思考讨论以上问题,特别是有向线段,这是学习向量的关键.我们知道,在物理学中,表示位移最简单的方法,是用一条带箭头的线段,箭头的方向表示位移的方向,线段的长度表示位移的大小.速度和力也是用这种方法表示的,箭头的方向分别表示速度和力的方向,线段长度分别表示速度和力的大小.
图2
这种带箭头的线段,在数学中叫作“有向线段”.一般地,若规定线段AB的端点A为起点,端点B为终点,则线段AB就具有了从起点A到终点B的方向和长度.这种具有方向和长度的线段叫作有向线段(如图2),记作,线段AB的长度也叫作有向线段的长度,记作||.有向线段包含三个要素:
起点、方向、长度.知道了有向线段的起点、方向和长度,它的终点就唯一确定.
向量可以用有向线段来表示,有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指的方向表示向量的方向.向量也可以用黑体小写字母如a,b,c表示.一定要学生规范:
印刷用黑体a,手写一定要在小写字母上加箭头.要注意不能说“向量就是有向线段,有向线段就是向量”,有向线段只是向量的一种几何表示,二者有本质的区别.向量只由方向和大小决定,而与向量的起点的位置无关,但有向线段不仅与方向、长度有关,也与起点的位置有关.如图2,在线段AB的两个端点中,规定一个顺序,假设A为起点,B为终点,我们就说线段AB具有方向,具有方向的线段叫作有向线段,通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以A为起点、B为终点的有向线段记作.起点要写在终点的前面,即是说的方向是由点A指向点B,点A是向量的起点.
图3
如图3,关于向量的长度,这是向量的一个重要概念;向量(或a)的大小,就是向量(或a)的长度(或称模),记作||(或|a|).
教师应注意引导学生将数量与向量的模进行比较,以明确向量的意义.数量有大小而没有方向,其大小有正、负和0之分,可进行运算,并可比较大小;向量的模是正数或0,也可以比较大小.但向量具有方向,由于方向不能比较大小,向量也就不能比较大小,像a>b就没有意义,而|a|>|b|就有意义.
理解了以上向量概念,那么关于向量相等和向量平行就很容易理解了,教师引导学生阅读教材即可.
讨论结果:
①用字母a,b,c,…表示向量(印刷用粗黑体表示),手写用字母加箭头来表示,或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示,如,.
注意:
手写体上面的箭头一定不能漏写.
②有向线段:
具有方向的线段就叫作有向线段,三个要素:
起点、方向、长度.
向量与有向线段的区别:
向量只有大小和方向两个要素,与起点无关,只要大小和方向相同,则这两个向量就是相同的向量;有向线段有起点、大小和方向三个要素,起点不同,尽管大小和方向相同,也是不同的有向线段.
图4
③长度为0的向量叫零向量,记作0,规定零向量的方向是任意的.长度为单位1的向量,叫单位向量.但要注意,零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.
④长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
⑤关于平行向量的定义:
第一,方向相同或相反的非零向量叫平行向量;第二我们规定0与任一向量平行,即0∥a.综合第一、第二才是平行向量的完整定义.向量a,b,c平行,记作a∥b∥c.如图4.
图5
又如图5,a,b,c是一组平行向量,任作一条与a所在直线平行的直线l,在l上任取一点O,则可在l上分别作出=a,=b,=c.这就是说,任一组平行向量都可以移动到同一直线上,因此,平行向量也叫作共线向量.这里教师要提醒学生注意:
平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系.
⑥是共线向量,也就是平行向量.但要注意,平行向量就是共线向量,这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段的起点无关).平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系;共线向量可以相互平行,要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
⑦||〔或|a|表示向量(或a)的大小,即长度(也称为模)〕.
应用示例
例1如图6,D,E,F依次是等边△ABC的边AB,BC,
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