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微积分部分常微分方程
第七部分常微分方程
[填空题]
1微分方程y'l^ytanx-cosx=0的通解为y=(x・C)cosx.
1y
2.过点(一,0)且满足关系式yarcsinx1的曲线方程为
27^7
i
yarcsinx=x
2
3•微分方程xy;3y丄0的通解为y=g•Cf.
x
4•设y1(x),y2(x),y3(x)是线性微分方程ya(x)yb(x)y二f(x)的三个特解,且
y2(x)-ydx)=c,则该微分方程的通解为
y3(x)-y1(x)
y二G(y2(x)-屮(x))C2("(x)-%(x))%(x).
5.设y^3x2,y^3x2e"是某二阶线性非齐次微分方程的两个特解,且相应齐次方程的一个解为y3=x,则该微分方程的通解为y=3•x2•Gx•C2e».
6.设出微分方程y-2y-3y=x•xe*-excos2x的一个特解形式
y*AxBx(CxD)e*ex(Ecos2xFsin2x).
7•微分方程y"-2y、2y=e的通解为y=e(1•GcosxC2sinx).
f1、
&微分方程y“_4y=e2x的通解为C2+-x[e2x.
l4丿
9•函数y=5cos2xC2sin2x满足的二阶线性常系数齐次微分方程为y;4y=0.
2xtc
10.若连续函数f(x)满足关系式f(x)f(-)dtln2,则f(X)二eln2.
[选择题]
11•设曲线积分([f(x)-ex]sinydx-f(x)cosydy与路径无关,其中f(x)具有一阶连续
导数,且f(0)=0,则f(x)等于[]
y(0)=2的特解为[]
注:
根据解的结构,通解为y=Ccos2x,由y(0)=2得C=2•故选项(D)正确.
其他选项经验证不满足方程或定解条件
13.设函数yi(x),y2(x)是微分方程
-p(x)y=0的两个不同特解,则该方程的通解为
方程的一个非零特解.根据解的结构,其通解为y=C(y2-yj,即选项(D)正确.另:
根据
通解定义,选项(A)中有两个任意常数,故其不对•当y2三0时,选项(B)不对.当y2二-
时,选项(C)不对.
14.已知函数y=y(x)在任意点x处的增量y^-xroCx),丫⑼",贝yy
(1)等于
1+x
[]
(A)2二.(B)二.(C)e4.(D)二e4.
注:
根据微分定义及微分与导数的关系得、二——yy,解得Iny二arctanx•C,由
1+x
y(0)=二,得C=ln二,所以y
(1)=恵earctan1h^e4.因此选项(D)正确.
15•设函数y=f(x)是微分方程y”_2y:
4y=0的一个解•若f(xj.0,f(xj=0,则函数f(x)在点x0[]
(A)取到极大值•(B)取到极小值•
(C)某个邻域内单调增加•(D)某个邻域内单调减少•
答A
注:
因为f(x0)=0,f"(x0)--4f(x0):
:
:
0,所以选项(A)正确•
16・设y2是二阶常系数线性齐次方程y”•py'qy=0的两个特解,C1,C2是两个任
意常数,则下列命题中正确的是[]
(A)C1y1C2y2一定是微分方程的通解•
(B)C1y1C2y2不可能是微分方程的通解•
(C)C1y1C2y2是微分方程的解•
(D)C1y1C2y2不是微分方程的解.
答C
注:
根据叠加原理,选项(C)正确,选项(D)错误•当y2线性相关时,选项(A)
错误,当%,y2线性无关时,选项(B)错误•
17・微分方程讨_讨1的一个特解应具有形式[]
(A)aexb•(B)axexb•
(C)aexbx•(D)axexbx•
注:
相应齐次方程的特征根为1,-1,所以y_丫=e的一个特解形式为axex,
y-y=1的一个特解形式为b.根据叠加原理,原方程的一个特解形式为axexb,即选
项(B)正确.其他选项经检验不满足方程.
18.具有特解y1二e=y2=2xe:
y3=3ex的三阶线性常系数齐次微分方程是[]
(A)y';;:
-y":
-yy=0.(B)y"y“一y_y=0.
(C)y“_6y®:
;'11y':
_6y=0.(D)y‘y2y"」y2y=0.
答B
注:
根据题意,1,-1是特征方程的两个根,且-1是重根,所以特征方程为
(■")(••1)2血3•'2-■-1=0.故所求微分方程为yy-y-^0,即选项(B)正确.
19.设Y1=ex,x是三阶线性常系数齐次微分方程厂•ay;by:
cy=0的两个特
解,贝Ua,b,c的值为[]
(A)a=1,b=-1,c=0•(B)a=1,b=1,c=0.
(C)a--1,b=0,c=0.(D)a=1,b=0,c=0.
答C
注:
根据题意,1,0是特征方程的两个根,且0是重根,所以特征方程为
(扎一1)九2=A?
-扎2=0.故原微分方程应为y""-y"=0,所以a=—1,b=0,c=0即选项(C)正确.
20.设二阶线性常系数齐次微分方程y”•by:
y=0的每一个解y(x)都在区间(0「:
)上
有界,则实数b的取值范围是[]
(A)b_0.(B)b乞0.(C)b乞4.(D)b_4.
答A
bb2Yb-b2Y
xx
注:
因为当b=一2时,y(x)二®e2C2e2,所以,当b-40
时,要想使y(x)在区间(0,•:
:
)上有界,只需要b+Jb?
_4^0,b—Jb?
_4兰0,即b>2.当b2-4...0时,要想使y(x)在区间(0,=)上有界,只需要b•:
b2-4与b一,b2一4的实部大于等于零,即0乞b:
:
:
2.当b=2时,C2x^x在区间(0,•:
:
)上有界•当b=~2时,y(x)=C^exC2xex(C2•C:
=0)在区间(0「:
)上无界.综上所述,当
且仅当b_0时,方程y:
by「y=0的每一个解y(x)都在区间(0,•:
:
)上有界,即选项(A)
[解答题]
21.求微分方程x.1y2y^,1x^0的通解.
此方程是一个变量分离方程,其通解为
y21x2二C(C2).
得其通解为
C
Iny=In,即
x
令y二C■凶,代入原方程,得
x
sinx
xC(x)-C(x).C(x)
:
2~
x
解得
C(x)二-cosxC.
所以原方程的通解为
1
y=(-cosxC).
x
注:
本题也可直接利用一阶线性非齐次微分方程的通解公式,得
sinx1dx1dx1
y=(exdxdxc)首严=(-cosxc).
xx
23.求解微分方程xdy-ydx=y2eydy.
解:
将y看成自变量,
x看成是的y函数,则原方程是关于未知函数x二x(y)的一阶线性
微分方程
dxxy
ye,
dyy
此方程通解为
x」y
41
C-Jyeye、ydy=Cy-yey,
)
dy
其中C是任意常数.'
24.求微分方程x2y
-xy=y2满足初始条件y
(1)=1的特解•
解:
将原方程变形,得
这是一个齐次型方程•令y=xu,代入上式,得
xu二u2-2u,
分离变量,得
dudx
2
u-2ux
积分,得
因为y
(1)=1,所以C=-1•于是所求特解为
2x
八1x2.
特解.
解:
将y=ex代入原方程,得
解出
所以原方程为
xexp(x)ex=x,
p(x)=xe^-x.
xy(xe^-x)y=x,
解其对应的齐次方程,得
所以原方程的通解为
y=exCexe
由y(ln2)=0,得C=-e2.故所求特解为
26.求微分方程」_y•一4x、y=x的通解•
Vyx2+1
解:
将原方程化为
"4x厂
y2yy,x+1
这是一个伯努利方程•令y,则原方程化为
dz2xx
2z
dxx212
这是一个一阶线性微分方程,解得
122
z(x1)(Cln(x1)),
4
所以原微分方程的通解为
21222
y=z=z(x1)(CIn(x-1)).
16
xx
27•求微分方程(1ey)dxey(1_?
)dy=0的通解.
y
解:
将y看成自变量,则x=x(y)是y的函数•由于原方程是齐次型方程,令u(y^-,
y
原微分方程化为
u
yu
eu
u
e1
这是一个变量可分离的方程,解得
y(eu
所以原方程的通解为
x
yey
所以,在y.0时,原方程为全微分方程
x)dy,
y
(x,y)
u(x,y)二(叮)(1ey)dxey(1
的一个原
由于此曲线积分与路径无关,所以u(x,y)就是全微分式(1e')dx•e‘(1--)dy
y
函数,且
x
8/16
28•设」为实数,求微分方程y“一ly=0的通解.
解:
此方程的特征方程为,•」=0,所以,
(1)当J0时,特征方程有一对复根,二_i,jl,方程有两个线性无关解cos」x,sin...」x因此微分方程的通解为
y=GcosjxC2sin.(G,C2:
=R)•
(2)当亠=0时,特征方程有一个二重根■=0.方程有两个线性无关解1,x,于是微分
方程的通解为
y=CiC2x.
■--■'•方程有两个线性无关解
(3)当J:
:
:
0时,特征方程有两个单重实根
所以微分方程的通解为
y=Ge_丄C2e_(C1,C2R)•29.求微分方程y二y丄2x2•1的通解•
解将方程写作y”•yl(2x2•1)e0x.因为,=°是特征方程'川冬=0的单根,所以原方
程一个特解形式为
y*(x)二ax3bx2cx,
将此解代入原方程,得
3ax2(2b6a)x(c2b)=2x21,
比较两端同次项的系数,有
3a=2,2b6a=0,c2b"
解上述方程组,得
2
a,b一-2,c=5.
3
从而得到原方程的一个特解
*232
y(x)x-2x5x.
3
9/16
y=GC2e^.
所以原方程的通解为
x232
y=C1C2ex2x5x.
123
另解:
方程y>2x2•1两端积分,得
yy=2x3xC1,
3
这是一个一阶线性微分方程,其通解为
2
y=e」(C2(x3xC1)exdx)
2
二GC2e」x3-2x25x-5
3
2
=C1C2e»x3-2x25x。
3
30.求解微分方程y—2y「y二4xex.
解:
因为怎-1是特征方程,2-2■•1=0的重根,所以原方程的一个待定特解为
y*=x2(axb)ex,
将此解代入原方程,得
(6ax2b)ex二4xex.
2
比较两端系数,得a,b=0.于是得到原方程的一个特解
3
*23x
yxe.
3
又因为相应齐次方程的通解是
y=(CiC2X)ex.
因此原方程的通解为
y=(GC2X)ex-x3ex.
3
31.求微分方程y=y=x•cosx的通解.
ycosxC2sinx.
设非齐次方程y”•y二x的一个特解为
y^i=AxB,
代入次方程,得A",B=0.所以
设非齐次方程y”•y=cosx的一个特解为
y2=ExcosxDxsinx,
11
代入方程,得E=0,D.所以yxsinx.
22
因为yiy2为原方程的一个特解,所以原方程的通解为
1
y=GcosxC2sinxxxsinx.
2
32.求解微分方程yy”-(y)2=y2lny.
解:
因为原微分方程不显含自变量x,所以这是一个可降阶微分方程
令u(y)二y(x),则y”(x)二u(y)y(x)二uu.原方程变为
yuu-u2=y21ny.
再令P(y)=u2(y),则有
P=2ylny,
这是一个一阶线性微分方程,求得
22
p=y(CIny).
所以
u=.y2(Cln2y),
故
y「y2(Cln2y).
这是个变量可分离微分方程,解得
lnlny.CTn2y=xC1,
这就是原微分方程的通解
注:
方程yuu•—u?
=y21ny是一个伯努利方程,可用伯努利方程的一般解法求解
33.求解微分方程些33y=e」(x-5).
解:
微分方程y3y3y的特征方程为
■=-1是其三重特征根.所以该齐次方程的通解为
x2
y=eQC2xC3x).
令原微分方程的一个特解形式为
y=x3(axb)e」,
代入原微分方程,并整理得
24ax6b=x-5,
15
24
所以a,b.因此原微分方程的一个特解为
--6
八刍(十_右,
64
故所求通解为
y=e^(C!
C2xC3x2)--5)e」・
64
34.求解微分方程
xy‘_y二x2
解:
令u(x)二y(x),则原方程化为
这是个一阶线性微分方程,解得
u=x(C「x).
因此/-x(C,x),所以原微分方程的通解为
y=1x3丄。
低2C2=1x3C1x2C2,
323
其中C「C2是任意常数•
.由y=xp二x(xC1)
另解:
令p(x)=y(x),则原方程化为P—1,所以p^xCi
x
得
-x3Cix2C2.
3
35.求解微分方程x2y”_2xy:
:
・2y=x31nx.
解:
原方称为二阶欧拉方程.令x二d,得
鱼,x2
dt
d2y
dt2
dy
dt
所以原微分方程化为
=e3t
d2y
dt2
其中t是自变量这是一个二阶线性常系数非齐次方程,解得
t2t133t
y=C-eC2e(t一)e.
22
所以原微分方程的通解为
2133
y=GxC2xx(lnx),
其中Ci,C2是任意常数.
36.求解定解问题
y"+2x(y)2=0
$(0)=1,y(0)=0
解:
令u(x)=y(x),则原方程化为
u2xu2=0,
这是个变量可分离微分方程,解得
1
u=_x2C
根据u(0)=y(0)=0,得u三0.
由y(x)=u(x)=0,得y=G.因为
y(0)=1,所以G=1,
故原定解问题的解为
2
注:
在求解变量可分离微分方程u:
2xu=0时,容易丢掉解U三0,从而得不到原定解
问题的解.
37•已知函数f(x)在[0,•:
:
)上可导,f(0)=1,且满足等式
1X
f(x)f(x)0f(t)dt=0,
x+1i0
求f(x),并证明e」乞f(x)<1(x-0).
解:
根据条件,得
x
(x1)(f(x)f(x))-0f(t)dt=0,
因为f(x)在[0,r)上可导,由上式,知f(x)在[0,r)上二阶导数存在,所以
f”(x)+(1+l)「(x)=0,
X+1
这是f(X)满足的一个一阶线性齐次方程,解得
f(x)二
Ce»
由于f(0)=-f(0)二_1,所以c=—1,故
f(xH-ee」
当x_0时,因为f(X)0,所以f(x)空f(0)=1•又X_0时,
x+1
.X.X
f(x)-e"=--e"=4-0,所以f(x)一f(0)-e0=0.
x+1x+1
故
e" 注: 证明不等式时,只需要知道导数的符号及函数在某点上的值,并不要求一定知道函 数的表达式. 38•设p(x),q(x)为连续函数,证明方程月p(x)y二q(x)的所有积分曲线上横坐标相同的 点的切线交于一点• 证: 记y=y1(x)为方程y'p(x)y=q(x)的一条积分曲线,贝U方程y'p(x)y=q(x)的 任一条积分曲线可记为y=Cm(x).曲线讨二y1(x)在点(x0,y1(x0))的切线方程为 y-yi(xo)=yi(xo)(x-xo), 曲线y二Cy〔(x)在点(xo’Cy^Xo))的切线方程为 y-Cy1(Xo)=Cyi(xo)(x-Xo). 求解方程组 'y-yi(x°)=y;(x°)(x—xo)y-Cyi(Xo)=Cyl(Xo)(x-Xo) yi(xo) yi(xo)' 所以,任一条积分曲线y二Cy^x)与积分曲线yny^x)在横坐标为xo的点处的切线 相交于与C无关的点(勺一yi(Xo),o),即方程申p(x)y=q(x)的所有积分曲线上横坐yi(xo) 标相同的点的切线交于一点. 39.设p(x)在[。 ,•: : )上连续非负,证明微分方程\p(x)y=o的任意非零解满足 limy(x)=o的充要条件是广义积分p(x)dx发散. 证: 设y(x)是方程yp(x)y=o的任一解,则 y(x)=Co^°p(t)dt 其中Co是非零常数.所以 即limy(x)=o的充要条件是广义积分p(X)dX发散. xo 40.设ao,函数f(x)在[o,r)上连续有界,证明微分方程y'ay二f(x)的解在 [。 ,: : )上有界. 证: 因为原方程的通解为 y(x)二ejc0f(t)eatdt), 满足定解条件y(x°)=yo的解为 y(x)二e」x(yo0f(t)eatdt). 记f(x)在[0,•: : )上的界为M,则当x_0时,有 y(x)=e』x(yo+0f(t)eatdt)乞yoMe®: eatdt =yo a 即y(x)在[o厂: : )上有界•
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