九年级数学上册第二章二次函数教案.docx
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九年级数学上册第二章二次函数教案
九年级上册
教学内容:
2.1二次函数
教学目标:
1、从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程,
体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系。
进一步
2、理解二次函数的概念,掌握二次函数的形式。
3、会建立简单的二次函数的模型,并能根据实际问题确定自变量的取值范围。
4、会用待定系数法求二次函数的解析式。
教学重点:
二次函数的概念和解析式
教学难点:
本节“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂,要求学生有较强的概括能力。
教学方法:
类比启发
教学辅助:
投影片
教学过程:
一、创设情境,导入新课
问题1、现有一根12m长的绳子,用它围成一个矩形,如何围法,才使举行的面积最大?
小
明同学认为当围成的矩形是正方形时,它的面积最大,他说的有道理吗?
问题2、很多同学都喜欢打篮球,你知道吗:
投篮时,篮球运动的路线是什么曲线?
怎样计算篮球达到最高点时的高度?
这些问题都可以通过学习俄二次函数的数学模型来解决,今天我们学习“二次函数”(板书课题)
二、合作学习,探索新知
请用适当的函数解析式表示下列问题中情景中的两个变量
y与x之间的关系:
(1)面积y(cm2)与圆的半径x(Cm)
(2)王先生存人银行2万元,先存一个一年定期,一年后银行将本息自动转存为又一个一年定
期,设一年定期的年存款利率为文x两年后王先生共得本息y元;
(3)拟建中的一个温室的平面图如图
尺寸如图,设一条边长为x(cm),
如果温室外围是一个矩形,周长为
种植面积为y(m2)
12Om,室内通道的
1
1
1
x3
(一)教师组织合作学习活动:
1、先个体探求,尝试写出y与x之间的函数解析式。
2、上述三个问题先易后难,在个体探求的基础上,小组进行合作交流,共同探讨。
(1)y=πx2
(2)y=2000(1+x)2=20000x2+40000x+20000
(3)y=(60-x-4)(x-2)=-x2+58x-112
(二)上述三个函数解析式具有哪些共同特征?
九年级上册
让学生充分发表意见,提出各自看法。
教师归纳总结:
上述三个函数解析式经化简后都具y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的形式.
板书:
我们把形如y=ax2+bx+c(其中a,b,C是常数,a≠0)的函数叫做二次函数(quadratic
funcion)
称a为二次项系数,b为一次项系数,c为常数项,
请讲出上述三个函数解析式中的二次项系数、一次项系数和常数项
(二)做一做
1、下列函数中,哪些是二次函数?
(1)y
x2
(2)y
1
(3)y
2x2
x1(4)y
x(1x)
x2
(5)y
(x
1)2
(x1)(x
1)
2、分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项:
(1)yx2
1
(2)y
3x2
7x12
(3)y2x(1x)
3、若函数y
(m2
1)xm2m为二次函数,则
m的值为
。
三、例题示范,了解规律
例2、已知二次函数
yx2
px
q当x=1时,函数值是
4;当x=2时,函数值是-5。
求
这个二次函数的解析式。
此题难度较小,但却反映了求二次函数解析式的一般方法,可让学生一边说,教师一边板书示范,强调书写格式和思考方法。
练习:
已知二次函数yax2
bxc
,当x=2时,函数值是3;当x=-2时,函数值是2。
求这个二次函数的解析式。
例1、如图,一张正方形纸板的边长为
2cm,将它剪去4个全等的直角三角形(图中阴影部
分)。
设AE=BF=CG=DH=x(cm),
2
四边形EFGH的面积为y(cm),求:
(1)
y关于x的函数解析式和自变量
x的取值范围。
(2)
当x分别为0.25,0.5,1.5,1.75时,对应的四边形EFGH的面积,并列表表示。
D
G
C
H
F
AEB
方法:
九年级上册
(1)学生独立分析思考,尝试写出y关于x的函数解析式,教师巡回辅导,适时点拨。
(2)对于第一个问题可以用多种方法解答,比如:
求差法:
四边形EFGH的面积=正方形ABCD的面积-直角三角形AEH的面积DE4倍。
直接法:
先证明四边形EFGH是正方形,再由勾股定理求出EH2
(3)对于自变量的取值范围,要求学生要根据实际问题中自变量的实际意义来确定。
(4)对于第
(2)小题,在求解并列表表示后,重点让学生看清x与y之间数值的对应关
系和内在的规律性:
随着x的取值的增大,y的值先减后增;y的值具有对称性。
四、归纳小结,反思提高
本节课你有什么收获?
五、布置作业
课本作业题
板书设计:
概念:
例1
解:
例
解:
1
练习练习
教学反思:
本节课学生对有关概念都很好的落实,亮点在于练习设计有梯
度,本节例题学生掌握很好。
九年级上册
2.2二次函数的图像
(1)
教学目标:
1、经历描点法画函数图像的过程;
2、学会观察、归纳、概括函数图像的特征;
3、掌握yax2型二次函数图像的特征;
4、经历从特殊到一般的认识过程,学会合情推理。
教学重点:
yax2型二次函数图像的描绘和图像特征的归纳
教学难点:
选择适当的自变量的值和相应的函数值来画函数图像,该过程较为复杂。
教学方法:
演示法
教学辅助:
多媒体
教学过程:
一、回顾知识
前面我们在学习正比例函数、一次函数和反比例函数时时如何进一步研究这些函数的?
先
(用描点法画出函数的图像,再结合图像研究性质。
)
引入:
我们仿照前面研究函数的方法来研究二次函数,先从最特殊的形式即
yax2入手。
因此本节课要讨论二次函数
yax2(a0)的图像。
板书课题:
二次函数y
ax2
(a
0)图像
二、探索图像
1、用描点法画出二次函数
yx2
和y
x2
图像
(1)
列表
x
⋯-2
11
-1
1
0
1
1
2
2
2
y
x2
⋯
0
1
y
x2
⋯
0
-1
112⋯
2
⋯
⋯
引导学生观察上表,思考一下问题:
①无论x取何值,对于yx2来说,y的值有什么特征?
对于
yx2来说,又有什么特征?
②当x取
1,1
等互为相反数时,对应的
y的值有什么特征?
2
(2)
描点(边描点,边总结点的位置特征,与上表中观察的结果联系起来)
.
(3)
连线,用平滑曲线按照x由小到大的顺序连接起来,
从而分别得到y
x2
和yx2
的图像。
九年级上册
2、练习:
在同一直角坐标系中画出二次函数
y2x2
和y
2x2的图像。
学生画图像,教师巡视并辅导学困生。
(利用实物投影仪进行讲评)
3、二次函数
y
ax2(a
0)的图像
由上面的四个函数图像概括出:
(1)二次函数的yax2图像形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线,
(2)这条抛物线关于y轴对称,y轴就是抛物线的对称轴。
(3)
对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点。
注意:
顶点不是与
y轴的交点。
(4)
当ao时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线上的最低点,图像在
x轴的上方(除
顶点外);当ao时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线上的最高点图像在
x轴的
下方(除顶点外)。
(最好是用几何画板演示,让学生加深理解与记忆)
三、课堂练习
观察二次函数yx2和yx2的图像
(1)填空:
抛物线
yx2
yx2
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
(2)在同一坐标系内,抛物线
yx2和抛物线
y
x2的位置有什么关系?
如果在同一个坐
标系内画二次函数
y
ax2和
y
ax2的图像怎样画更简便?
(抛物线
x2与抛物线
x2关于
x轴对称,只要画出
ax2与
ax2中的一条抛
物线,另一条可利用关于x轴对称来画)
四、例题讲解
例题:
已知二次函数yax2(a0)的图像经过点(-2,-3)。
(1)求a的值,并写出这个二次函数的解析式。
(2)说出这个二次函数图像的顶点坐标、对称轴、开口方向和图像的位置。
练习:
(1)课本第31页课内练习第2题。
(2)已知抛物线y=ax2经过点A(-2,-8)。
(1)求此抛物线的函数解析式;
(2)判断点B(-1,-4)是否在此抛物线上。
(3)求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标。
五、谈收获
1.二次函数y=ax2(a≠0)的图像是一条抛物线.
2.图象关于y轴对称,顶点是坐标原点
九年级上册
3.当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线上的最低点;当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点
六、作业:
见作业本。
板书设计:
yx2
例
1
解:
解:
练习
练习
教学反思:
本节课学生对性质都能很好的理解,亮点在于学生跟着操作,学生掌
握很好。
学生对画图细节掌握不是很好,有待于今后教学多给
九年级上册
2.2二次函数的图像
(2)
教学目标:
1、经历二次函数图像平移的过程;理解函数图像平移的意义。
2、了解yax2,ya(xm)2,y
a(x
m)2
k三类二次函数图像之间的关系。
3、会从图像的平移变换的角度认识y
a(x
m)2
k型二次函数的图像特征。
教学重点:
从图像的平移变换的角度认识
y
a(x
m)2
k型二次函数的图像特征。
教学难点:
对于平移变换的理解和确定,学生较难理解。
教学方法:
类比启发
教学辅助:
多媒体
教学过程:
一、知识回顾
二次函数y
ax2的图像和特征:
1、名称
;2、顶点坐标
;3、对称轴
;
4、当ao时,抛物线的开口向
,顶点是抛物线上的最
点,图像在x轴的
(除
顶点外);当a
o时,抛物线的开口向
,顶点是抛物线上的最
点图像在x轴的
(除
顶点外)。
二、合作学习
在同一坐标系中画出函数图像y
1
x2,y
1
(x2)2,y
1
(x2)2的图像。
2
2
2
(1)请比较这三个函数图像有什么共同特征?
(2)顶点和对称轴有什么关系?
(3)图像之间的位置能否通过适当的变换得到?
(4)由此,你发现了什么?
三、探究二次函数y
ax2和ya(x
m)2图像之间的关系
1、结合学生所画图像,引导学生观察y
1(x
2)2,与y
1x2
的图像位置关系,直观得
2
2
出y
1
x2的图像
向左平移两个单位
y
1
(x2)2,的图像。
2
2
教师可以采取以下措施:
①借助几何画板演示几个对应点的位置关系,如:
向左平移两个单位
(0,0)(-2,0)
向左平移两个单位
(2,2)(0,2);
向左平移两个单位
(-2,2)(-4,2)②也可以把这些对应点在图像上用彩色粉笔标出,并用带箭头的线段表示平移过程。
2、用同样的方法得出y
1x2的图像
向右平移两个单位
y
1
(x2)2的图像。
2
2
九年级上册
3、请你总结二次函数y=a(x+m)2
的图象和性质.
当m
0时
yax2(a
0)的图像
向左平移m个单位
1(x
2)2的图像。
y
当
m
时向右平移
m
个单位
2
0
函数ya(x
m)2的图像的顶点坐标是(
-m,0),对称轴是直线x=-m
4、做一做
(1)、
抛物线
开口方向
对称轴
顶点坐标
y=2(x+3)2
2
y=-3(x-1)
2
y=-4(x-3)
(2)、填空:
①、由抛物线y=2x2向
平移
个单位可得到y=2(x+1)2
②、函数y=-5(x-4)2的图象。
可以由抛物线
向
平移4个单位而得到的。
3、例2、对于二次函数
y
1(x
4)2,请回答下列问题:
1x2
3
①把函数y
的图像作怎样的平移变换,就能得到函数
y
1(x
4)2的图像?
3
3
②说出函数y
1(x
4)2的图像的顶点坐标和对称轴。
3
1x2的
第3题的解答作如下启发:
这里的
m是什么数?
大于零还是小于零?
应当把
y
1
3
图像向左平移还是向右平移?
在此同时用平移的方法画出函数
y
(x
4)2的大致图像
1x2的图像),借助图像有学生回答问题。
3
(事先画好函数
y
3
五、探究二次函数y
a
x
m2
k
和y
ax
2
(
)
图像之间的关系
1、在上面的平面直角坐标系中画出二次函数
y
1(x
2)2
3的图像。
2
首先引导学生观察比较
y
1(x
2)2,与y
1(x
2)2
3的图像关系,直观得出:
1
2
1
2
y
(x2)2,的图像
向上平移3个单位
y
(x2)2
3
的图像。
(结合多媒体演示)
2
2
再引导学生刚才得到的
y
1x2的图像与y
1(x2)2,的图像之间的位置关系,由此得
2
2
出:
只要把抛物线y
1x2先向左平移
2
个单位,在向上平移
3个单位,就可得到函数
1(x2)2
2
y
3的图像。
2
2、做一做:
请填写下表:
(例3)
函数解析式
图像的对称轴
图像的顶点坐标
九年级上册
y1x2
2
y1(x2)2,
2
y
1(x
2)2
3
2
3、总结ya(x
m)2
k的图像和y
ax2图像的关系
当m
0时
yax2(a
0)的图像
向左平移m个单位
1(x2)2的图像
y
当
m
时向右平移
m
个单位
2
0
当k0时
向上平移m个单位
ya(xm)2k的图像。
当k0时向下平移m个单位
ya(x
m)2
k的图像的对称轴是直线
x=-m,顶点坐标是(-m,k)。
口诀:
(m、k)正负左右上下移
(m左加右减,k上加下减)
4、练习:
课本第
34页课内练习地
1、2
题
六、谈收获:
1、函数y
a(x
m)2
k的图像和函数
yax2图像之间的关系。
2、函数y
a(x
m)2
k的图像在开口方向、顶点坐标和对称轴等方面的性质。
七、布置作业
课本第35页作业题
思考题:
对于函数yx22x1,请回答下列问题:
2
(1)对于函数yx2x1的图像可以由什么抛物线,经怎样平移得到的?
板书设计:
例2例3
解:
解:
练习练习
教学反思:
本节课学生对画图都能掌握很好,对平移都能很好的理解,教学时间有些匆促。
九年级上册
2.2二次函数的图像(3)
教学目标:
1、了解二次函数图像的特点。
22
2、掌握一般二次函数yaxbxc的图像与yax的图像之间的关系。
教学重点:
二次函数的图像特征
教学难点:
例2的解题思路与解题技巧。
教学方法:
类比启发
教学辅助:
多媒体
教学过程:
一、回顾知识
1、二次函数ya(xm)2
k的图像和y
ax2
的图像之间的关系。
2、讲评上节课的选作题
对于函数y
x2
2x
1,请回答下列问题:
(1)对于函数y
x2
2x
1的图像可以由什么抛物线,经怎样平移得到的?
(2)函数图像的对称轴、顶点坐标各是什么?
思路:
把y
x2
2x
1化为y
a(xm)2
k的形式。
y
x2
2x1=(x2
2x1)
(x2
2x1)2(x1)2
2(x1)2
2
在y
(x
1)2
2中,m、k分别是什么?
从而可以确定由什么函数的图像经怎样的平移
得到的?
二、探索二次函数
yax2
bx
c的图像特征
1、问题:
对于二次函数
y=ax2+bx+c(a≠0)的图象及图象的形状、开口方向、位置又
是怎样的?
学生有难度时可启发:
通过变形能否将
y=ax2+bx+c转化为y=a(x+m)2+k
的形
式?
y
ax2
bxc
=a(x2bx
c)
ax2
bx
(b)2
(b)2
c
a(x
b)2
4acb2
a
a
a
2a
2a
a
2a
4a
由此可见函数
y
ax2
bx
c的图像与函数y
ax2的图像的形状、开口方向均相同,只
是位置不同,可以通过平移得到。
九年级上册
练习:
课本第37
页课内练习第2题
2、二次函数y
ax
2
bx
c的图像特征
(1)二次函数
y
ax2
bxc(a≠0)的图象是一条抛物线;
(2)对称轴是直线
x=
b
,顶点坐标是为(
b
,4ac
b2
)
2a
2a
4a
(3)当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线上的最低点。
当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线上的最高点。
三、巩固知识
1、例4、求抛物线y1x23x5的对称轴和顶点坐标。
22
有由学生自己完成。
师生点评后指出:
求抛物线的对称轴和顶点坐标可以采用配方法或者是用顶点坐标公式。
2、做一做课本第
36页的做一做和第
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