《菱形的性质》拓展训练.docx
- 文档编号:28308666
- 上传时间:2023-07-10
- 格式:DOCX
- 页数:23
- 大小:236.97KB
《菱形的性质》拓展训练.docx
《《菱形的性质》拓展训练.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《《菱形的性质》拓展训练.docx(23页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
《菱形的性质》拓展训练
《菱形的性质》拓展训练
一、选择题(本大题共10小题,共分)
1.(4分)若菱形的两条对角线分别长8、6,则菱形的面积为( )
A.48B.24C.14D.12
2.(4分)菱形的两条对角线长分别为6,8,则它的周长是( )
A.5B.10C.20D.24
3.(4分)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,DE⊥AB于点E,连接OE,若DE=,BE=1,则∠AOE的度数是( )
A.30°B.45°C.60°D.75°
4.(4分)如图,在菱形ABCD中,AC、BD相交于点O,E为AB的中点,且DE⊥AB,AC=6,则菱形ABCD的面积是( )
A.18B.18C.9D.6
5.(4分)如图,在菱形ABCD中,AB=5,对角线AC与BD相交于点O,且AC:
BD=3:
4,AE⊥CD于点E,则AE的长是( )
A.4B.C.5D.
6.(4分)如图,菱形中ABCD,∠BCD=50°,BC的垂直平分线交对角线AC于点F,垂足为E,连接BF、DF,则∠DFC的度数是( )
A.100°B.110°C.120°D.130°
7.(4分)菱形ABCD的面积为120,对角线BD=24,则这个菱形的周长是( )
A.64B.60C.52D.50
8.(4分)菱形的边长是2cm,一条对角线的长是2cm,则另一条对角线的长是( )
A.4cmB.cmC.2cmD.2Cm
9.(4分)如图,点O是AC的中点,将面积为4cm2的菱形ABCD沿对角线AC方向平移AO长度得到菱形OB′C′D′,则图中阴影部分的面积是( )
A.1cm2B.2cm2C.3cm2D.4cm2
10.(4分)如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD相交于点O,DH⊥AB于点H,连接OH,∠CAD=20°,则∠DHO的度数是( )
A.20°B.25°C.30°D.40°
二、填空题(本大题共5小题,共分)
11.(4分)如图,在菱形ABCD中,AE⊥BC于点E,若AB=5,AC=6.则AE的长为 .
12.(4分)菱形的两邻角之比为1:
2,一条较短的对角线长为6cm,则另一条对角线长为 ,这个菱形的面积为 .
13.(4分)如图,菱形ABCD中,∠BCD=50°,BC的垂直平分线交对角线AC于点F,垂足为E,连接BF、DF,则∠DFC的度数是 .
14.(4分)如图所示,菱形ABCD的对角线的长分别为3和6,P是对角线AC上任一点(点P不与点A.C重合),且PE∥BC交AB于E,PF∥CD交AD于F,则阴影部分的面积是 .
15.(4分)如图,平行四边形ABCD的周长是20cm,点E、F分别是平行四边形ABCD对边BC和AD上的点,连接BF和DE,若四边形BEDF是菱形,则△CDE的周长为 .
三、解答题(本大题共5小题,共分)
16.(8分)如图,点A,B,C,D依次在同一条直线上,点E,F分别在直线AD的两侧,已知BE∥CF,∠A=∠D,AE=DF.
(1)求证:
四边形BFCE是平行四边形.
(2)若AD=10,EC=3,∠EBD=60°,当四边形BFCE是菱形时,求AB的长.
17.(8分)如图,DB∥AC,且DB=AC,E是AC的中点.
(1)求证:
BC=DE;
(2)若四边形ADBE是菱形,求∠ABC的度数.
18.(8分)如图,四边形ABCD为菱形,E为对角线AC上的一个动点(不与A,C重合),连接DE并延长交射线AB于点F,连接BE.
(1)求证:
△DCE≌△BCE;
(2)求证:
∠AFD=∠EBC;
(3)若∠DAB=90°,当△BEF为等腰三角形时,求∠EFB的度数.
19.(8分)已知:
如图,在菱形ABCD中,点E、F分别为边CD、AD的中点,连接AE,CF,求证:
△ADE≌△CDF.
20.(8分)在▱ABCD中,点E,F分别在边BC,AD上,且AF=CE.
(Ⅰ)如图①,求证四边形AECF是平行四边形;
(Ⅱ)如图②,若∠BAC=90°,且四边形AECF是边长为6的菱形,求BE的长.
《菱形的性质》拓展训练
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共10小题,共分)
1.(4分)若菱形的两条对角线分别长8、6,则菱形的面积为( )
A.48B.24C.14D.12
【分析】由菱形的面积公式可求解.
【解答】解:
∵菱形的两条对角线分别长8、6,
∴S=×8×6=24
故选:
B.
【点评】本题考查了菱形的性质,熟练掌握菱形面积=ab(a、b是两条对角线的长度)是本题的关键.
2.(4分)菱形的两条对角线长分别为6,8,则它的周长是( )
A.5B.10C.20D.24
【分析】根据菱形的性质即可求出答案.
【解答】解:
由于菱形的两条对角线的长为6和8,
∴菱形的边长为:
=5,
∴菱形的周长为:
4×5=20,
故选:
C.
【点评】本题考查菱形的性质,解题的关键是熟练运用菱形的性质,本题属于基础题型.
3.(4分)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,DE⊥AB于点E,连接OE,若DE=,BE=1,则∠AOE的度数是( )
A.30°B.45°C.60°D.75°
【分析】由菱形的性质可得AC⊥BD,DO=BO,由勾股定理可得BD=2,由直角三角形的性质可得EO=DO=BO=1,可证△BEO是等边三角形,可得∠BOE=60°,即可求∠AOE的度数.
【解答】解:
∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD,DO=BO,
∵DE⊥AB,DE=,BE=1,
∴BD=
=2
∴DO=BO=1
∵DE⊥BA,DO=BO,
∴EO=DO=BO=1,
∴BE=BO=EO=1,
∴△BEO是等边三角形
∴∠BOE=60°
∴∠AOE=∠AOB﹣∠BOE=90°﹣60°=30°
故选:
A.
【点评】本题考查了菱形的性质,直角三角形的性质,等边三角形的判定,熟练运用菱形的性质是本题的关键.
4.(4分)如图,在菱形ABCD中,AC、BD相交于点O,E为AB的中点,且DE⊥AB,AC=6,则菱形ABCD的面积是( )
A.18B.18C.9D.6
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=BD,再根据菱形的四条边都相等可得AB=AD,然后求出AB=AD=BD,从而得到△ABD是等边三角形,再根据菱形的对角线互相平分求出AO,再根据直角三角形30度角的性质得OB的长,则得对角线BD的长,根据菱形面积公式:
两条对角线乘积一半可得结论.
【解答】解:
∵E为AB的中点,DE⊥AB,
∴AD=DB,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=AD,
∴AD=DB=AB,
∴△ABD为等边三角形.
∵四边形ABCD是菱形,
∴BD⊥AC于O,AO=AC=×6=3,
Rt△AOB中,∠OAB=30°,
∴OB=,
∴BD=2OB=2,
∴菱形ABCD的面积=
=
=6,
故选:
D.
【点评】本题考查了菱形的性质,线段垂直平分线的性质,等边三角形的判定与性质,熟记各性质是解题的关键.
5.(4分)如图,在菱形ABCD中,AB=5,对角线AC与BD相交于点O,且AC:
BD=3:
4,AE⊥CD于点E,则AE的长是( )
A.4B.C.5D.
【分析】根据AC:
BD=3:
4和菱形对角线的性质得:
AO:
OB=3:
4,设AO=3x,OB=4x,则AB=5x,由S菱形ABCD=
,可得AE的长.
【解答】解:
∵四边形ABCD是菱形,
∴AO=AC,OB=BD,AC⊥BD,
∵AC:
BD=3:
4,
∴AO:
OB=3:
4,
设AO=3x,OB=4x,则AB=5x,
∵AB=5,
∴5x=5,x=1,
∴AC=6,BD=8,
S菱形ABCD=
,
∴
,
AE=,
故选:
B.
【点评】此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理,正确利用菱形的面积求出AE的长是解题关键.
6.(4分)如图,菱形中ABCD,∠BCD=50°,BC的垂直平分线交对角线AC于点F,垂足为E,连接BF、DF,则∠DFC的度数是( )
A.100°B.110°C.120°D.130°
【分析】首先求出∠CFB=130°,再根据对称性可知∠CFD=∠CFB即可解决问题;
【解答】解:
∵四边形ABCD是菱形,
∴
∠BCD=25°,
∵EF垂直平分线段BC,
∴FB=FC,
∴∠FBC=∠FCB=25°,
∴∠CFB=180°﹣25°﹣25°=130°,
根据对称性可知:
∠CFD=∠CFB=130°,
故选:
D.
【点评】本题考查菱形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.
7.(4分)菱形ABCD的面积为120,对角线BD=24,则这个菱形的周长是( )
A.64B.60C.52D.50
【分析】菱形的面积可以根据对角线的长计算,已知菱形的面积,对角线BD的长即可计算AC的长,进而利用勾股定理解答即可.
【解答】解:
菱形ABCD的面积S=AC•BD=120,
∵BD=24,
∴AC==10,
∴AB=
,
∴这个菱形的周长=13×4=52,
故选:
C.
【点评】本题考查了根据对角线长计算菱形的面积的方法,本题中正确计算是解题的关键.
8.(4分)菱形的边长是2cm,一条对角线的长是2cm,则另一条对角线的长是( )
A.4cmB.cmC.2cmD.2Cm
【分析】根据菱形对角线互相平分,可得BO=OD=cm,且AB2=AO2+BO2,已知AB,BO即可求AO的值,即可解题.
【解答】解:
已知AB=2cm,
∵菱形对角线互相平分,
∴BO=OD=cm
在Rt△ABO中,AB2=AO2+BO2
AB=2cm,BO=cm,
∴AO=1cm,
故菱形的另一条对角线AC长为2AO=2cm,
故选:
C.
【点评】本题考查了菱形对角线互相垂直平分的性质,考查了勾股定理在直角三角形中的运用,本题中根据勾股定理求AO的长是解题的关键.
9.(4分)如图,点O是AC的中点,将面积为4cm2的菱形ABCD沿对角线AC方向平移AO长度得到菱形OB′C′D′,则图中阴影部分的面积是( )
A.1cm2B.2cm2C.3cm2D.4cm2
【分析】根据题意得,▱ABCD∽▱OECF,且AO=OC=AC,故四边形OECF的面积是▱ABCD面积的.
【解答】解:
由平移的性质得,▱ABCD∽▱OECF,且AO=OC=AC,
故四边形OECF的面积是▱ABCD面积的.,
即图中阴影部分的面积为lcm2.
故选:
A.
【点评】此题主要考查学生对菱形的性质及平移的性质的综合运用.关键是得出四边形OECF的面积是▱ABCD面积的.
10.(4分)如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD相交于点O,DH⊥AB于点H,连接OH,∠CAD=20°,则∠DHO的度数是( )
A.20°B.25°C.30°D.40°
【分析】先根据菱形的性质得OD=OB,AB∥CD,BD⊥AC,则利用DH⊥AB得到DH⊥CD,∠DHB=90°,所以OH为Rt△DHB的斜边DB上的中线,得到OH=OD=OB,利用等腰三角形的性质得∠1=∠DHO,然后利用等角的余角相等即可求出∠DHO的度数
【解答】解:
∵四边形ABCD是菱形,
∴OD=OB,AB∥CD,BD⊥AC,
∵DH⊥AB,
∴DH⊥CD,∠DHB=90°,
∴OH为Rt△DHB的斜边DB上的中线,
∴OH=OD=OB,
∴∠1=∠DHO,
∵DH⊥CD,
∴∠1+∠2=90°,
∵BD⊥AC,
∴∠2+∠DCO=90°,
∴∠1=∠DCO,
∴∠DHO=∠DCA,
∵四边形ABCD是菱形,
∴DA=DC,
∴∠CAD=∠DCA=20°,
∴∠DHO=20°,
故选:
A.
【点评】本题考查菱形的性质,直角三角形斜边中线定理等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.
二、填空题(本大题共5小题,共分)
11.(4分)如图,在菱形ABCD中,AE⊥BC于点E,若AB=5,AC=6.则AE的长为 .
【分析】连接BD,根据菱形的性质可得AC⊥BD,AO=AC,然后根据勾股定理计算出BO长,再算出菱形的面积,然后再根据面积公式BC•AE=AC•BD可得答案.
【解答】解:
连接BD,交AC于点O.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=5,OA=OC=3,OB=OD,AC⊥BD.
在Rt△AOB中,由勾股定理得:
OB=
=
=4,
∴BD=2OB=8.
∵S菱形ABCD=BC•AE=AC•BD=24,
∴5AE=24,
∴AE=.
故答案为:
.
【点评】此题主要考查了菱形的性质,以及菱形的性质面积,关键是掌握菱形的对角线互相垂直且平分.
12.(4分)菱形的两邻角之比为1:
2,一条较短的对角线长为6cm,则另一条对角线长为 6cm ,这个菱形的面积为 18cm2 .
【分析】作出图形,根据菱形的邻角互补求出较小的内角为60°,从而判断出△ABC是等边三角形,再根据等边三角形的性质求出OB,然后根据菱形对角线互相平分可得BD=2OB,菱形的面积=×两对角线的乘积.
【解答】解:
如图,∵菱形的两邻角之比为1:
2,
∴较小的内角∠ABC=180°×=60°,
∴△ABC是等边三角形,
∴OB=×6=3cm,
∴较长的对角线BD=2OB=2×3=6cm.
∴菱形的面积=AC•BD=×6×6=18(cm2).
故答案是:
6cm;18cm2.
【点评】本题考查了菱形的性质,等边三角形的判定与性质,熟记性质并求出△ABC是等边三角形是解题的关键,作出图形更形象直观.
13.(4分)如图,菱形ABCD中,∠BCD=50°,BC的垂直平分线交对角线AC于点F,垂足为E,连接BF、DF,则∠DFC的度数是 130° .
【分析】首先求出∠CFB=130°,再根据对称性可知∠CFD=∠CFB即可解决问题;
【解答】解:
∵四边形ABCD是菱形,
∴∠ACD=∠ACB=∠BCD=25°,
∵EF垂直平分线段BC,
∴FB=FC,
∴∠FBC=∠FCB=25°,
∴∠CFB=180°﹣25°﹣25°=130°,
根据对称性可知:
∠CFD=∠CFB=130°,
故答案为:
130°.
【点评】本题考查菱形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.
14.(4分)如图所示,菱形ABCD的对角线的长分别为3和6,P是对角线AC上任一点(点P不与点A.C重合),且PE∥BC交AB于E,PF∥CD交AD于F,则阴影部分的面积是 .
【分析】由题意可得:
S△ABC=,四边形AEPF是平行四边形,可得S△AEP=S▱ABCD=S△EFP,即可得S阴影=S△ABC.
【解答】解:
∵菱形ABCD的对角线的长分别为3和6,
∴S菱形ABCD=×3×6=9
∴S△ABC=
∵PE∥BC∥AD,PF∥CD∥AB
∴四边形AEPF平行四边形
∴S△AEP=S▱ABCD,S△EFP=S▱ABCD
∴S△EFP=S△AEP
∵S阴影=S四边形BCPE+S△EFP=S四边形BCPE+S△AEP=S△ABC
∴S阴影=
故答案为:
【点评】本题考查了菱形的性质,平行四边形的判定和性质,熟练运用平行四边形的性质解决问题是本题的关键.
15.(4分)如图,平行四边形ABCD的周长是20cm,点E、F分别是平行四边形ABCD对边BC和AD上的点,连接BF和DE,若四边形BEDF是菱形,则△CDE的周长为 10cm .
【分析】根据平行四边形的性质和周长是20cm,得邻边的和BC+CD=10cm,由菱形的四边相等可知:
BE=DE,所以三角形周长得BC+CD,可得结论.
【解答】解:
∵平行四边形ABCD的周长是20cm,
∴BC+CD=10cm,
∵四边形BEDF是菱形,
∴BE=DE,
∴△CDE的周长=DE+EC+DC=BE+EC+DC=BC+CD=10cm,
故答案为:
10cm.
【点评】此题考查的知识点是平行四边形的性质与菱形的性质,关键是由菱形的性质得BE=DE是本题的关键.
三、解答题(本大题共5小题,共分)
16.(8分)如图,点A,B,C,D依次在同一条直线上,点E,F分别在直线AD的两侧,已知BE∥CF,∠A=∠D,AE=DF.
(1)求证:
四边形BFCE是平行四边形.
(2)若AD=10,EC=3,∠EBD=60°,当四边形BFCE是菱形时,求AB的长.
【分析】
(1)想办法证明BE=CF即可解决问题.
(2)利用全等三角形的性质证明AB=CD即可解决问题.
【解答】
(1)证明:
∵BE∥CF,
∴∠EBC=∠FCB,
∴∠EBA=∠FCD,
∵∠A=∠D,AE=DF,
∴△ABE≌△DCF(AAS),
∴BE=CF,AB=CD,
∴四边形BFCE是平行四边形.
(2)解:
∵四边形BFCE是菱形,∠EBD=60°,
∴△CBE是等边三角形,
∴BC=EC=3,
∵AD=10,AB=DC,
∴AB=(10﹣3)=.
【点评】本题考查菱形的性质,全等三角形的判定和性质,平行四边形的判定等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.
17.(8分)如图,DB∥AC,且DB=AC,E是AC的中点.
(1)求证:
BC=DE;
(2)若四边形ADBE是菱形,求∠ABC的度数.
【分析】
(1)由题意可得四边形DBCE是平行四边形,则结论可得
(2)由四边形ADBE是菱形可得BA⊥DE,且DE∥BC可得AB⊥BC可求∠ABC的度数
【解答】证明:
(1)∵DB=AC,E是AC的中点
∴DE=CE,且DB∥AC
∴四边形DBCE是平行四边形
∴BC=DE
(2)∵四边形ADBE是菱形
∴AB⊥DE
∵DE∥BC
∴AB⊥BC
∴∠ABC=90°
【点评】本题考查了平行四边形的判定,菱形的性质,关键是灵活运用这些性质解决问题.
18.(8分)如图,四边形ABCD为菱形,E为对角线AC上的一个动点(不与A,C重合),连接DE并延长交射线AB于点F,连接BE.
(1)求证:
△DCE≌△BCE;
(2)求证:
∠AFD=∠EBC;
(3)若∠DAB=90°,当△BEF为等腰三角形时,求∠EFB的度数.
【分析】
(1)直接利用全等三角形的判定方法得出△DCE≌△BCE(SAS);
(2)利用全等三角形平行线的性质即可解决问题;
(3)利用正方形的性质结合等腰三角形的性质得出:
①当F在AB延长线上时;②当F在线段AB上时;分别求出即可.
【解答】解:
(1)证明:
∵四边形ABCD是菱形,
∴CD=AB,∠ACD=∠ACB,
在△DCE和△BCE中,
,
∴△DCE≌△BCE(SAS),
(2)∵△DCE≌△BCE,
∴∠CDE=∠CBE,
∵CD∥AB,
∴∠CDE=∠AFD,
∴∠EBC=∠AFD,即∠F=∠EBC;
(3)解:
分两种情况:
①如图1,当F在AB延长线上时,
∵∠EBF为钝角,
∴只能是BE=BF,
设∠BEF=∠BFE=x°,
可通过三角形内角形为180°得:
90+x+x+x=180,
解得:
x=30,
∴∠EFB=30°;
②如图2,当F在线段AB上时,
∵∠EFB为钝角,
∴只能是FE=FB,设∠BEF=∠EBF=x°,则有∠AFD=2x°,
可证得:
∠AFD=∠FDC=∠CBE,
得x+2x=90,
解得:
x=30,
∴∠EFB=120°.
综上:
∠F=30°或120°.
【点评】此题主要考查了菱形的性质以及正方形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识,利用分类讨论得出是解题关键.
19.(8分)已知:
如图,在菱形ABCD中,点E、F分别为边CD、AD的中点,连接AE,CF,求证:
△ADE≌△CDF.
【分析】利用SAS只要证明DE=DF,DA=DC即可解决问题;
【解答】证明:
∵四边形ABCD是菱形,
∴AD=CD,
∵点E、F分别为边CD、AD的中点,
∴AD=2DF,CD=2DE,
∴DE=DF,
在△ADE和△CDF中,
,
∴△ADE≌△CDF(SAS).
【点评】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.
20.(8分)在▱ABCD中,点E,F分别在边BC,AD上,且AF=CE.
(Ⅰ)如图①,求证四边形AECF是平行四边形;
(Ⅱ)如图②,若∠BAC=90°,且四边形AECF是边长为6的菱形,求BE的长.
【分析】(I)根据平行四边形的性质得出AD∥BC,根据平行四边形的判定推出即可;
(II)根据菱形的性质求出AE=6,AE=EC,求出AE=BE即可.
【解答】解:
(I)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,
∵AF=CE,
∴四边形AECF是平行四边形;
(II)如图:
∵四边形AECF是菱形,
∴AE=EC,
∴∠1=∠2,
∵∠BAC=90°,
∴∠2+∠3=90°∠1+∠B=90°,
∴∠3=∠B,
∴AE=BE,
∵AE=6,
∴BE=6.
【点评】本题考查了平行四边形的性质,等腰三角形的性质,菱形的性质和判定的应用,能灵活运用定理进行推理是解此题的关键.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 菱形的性质 菱形 性质 拓展 训练