《高等数学》知识点总结上册.docx
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《高等数学》知识点总结上册
《高等数学》知识点总结(上册)
函数:
绝对值得性质:
a|a|
(b0)
(3)|ab|=|a||b|(4)|
|=
|b|
(1)|a+b||a|+|b|
(2)|a‐b||a|‐|b|
b
函数的表示方法:
(1)表格法
(2)图示法
(3)公式法(解析法)
函数的几种性质:
(1)函数的有界性
(2)函数的单调性
(3)函数的奇偶性
(4)函数的周期性
反函数:
定理:
如果函数yf(x)在区间[a,b]上是单调的,则它的反函数yf1(x)存在,且是单值、单调的。
基本初等函数:
(1)幂函数(3)对数函数(5)反三角函数复合函数的应用极限与连续性:
(2)指数函数
(4)三角函数
数列的极限:
定义:
设xn是一个数列,a是一个定数。
如果对于任意给定的正数(不管它多么小),总存在正整数N,使得对于n>N的一切xn,不等式xna都成立,则称数a是数列xn的极限,或称数列xn收敛于a,记做limxna,或xna(n)
n
收敛数列的有界性:
定理:
如果数列xn收敛,则数列xn一定有界
推论:
(1)无界一定发散
(2)收敛一定有界(3)有界命题不一定收敛
函数的极限:
定义及几何定义
函数极限的性质:
limf(x)A
A<0),则必存在x0的某一邻域,当x
(1)同号性定理:
如果xx0
,而且A>0(或
在该邻域内(点x0可除外),有f(x)0(或f(x)0)。
(2)如果
limf(x)A
x0
xx0
f(x)0
f(x)0
xx0
,且在
的某一邻域内(
),恒有
(或
),
则A0(A0)。
limf(x)
(3)如果xx0存在,则极限值是唯一的
(4)如果
limf(x)
f(x)
x0
xx0
xx0
存在,则在
在点
的某一邻域内(
)是有界的。
无穷小与无穷大:
注意:
无穷小不是一个很小的数,而是一个以零位极限的变量。
但是零是可作为无穷小
的唯一的常数,因为如果f(x)0则对任给的0,总有f(x),即常数零满足无穷小的定义。
除此之外,任何无论多么小的数,都不满足无穷小的定义,都不是无穷小。
无穷小与无穷大之间的关系:
1
(1)如果函数f(x)为无穷大,则f(x)为无穷小
1
(2)如果函数f(x)为无穷小,且f(x)0,则f(x)为无穷大具有极限的函数与无穷小的关系:
(1)具有极限的函数等于极限值与一个无穷小的和
(2)如果函数可表为常数与无穷小的和,则该常数就是函数的极限
关于无穷小的几个性质:
定理:
(1)有限个无穷小的代数和也是无穷小
(2)有界函数f(x)与无穷小a的乘积是无穷小
推论:
(1)常数与无穷小的乘积是无穷小
(2)有限个无穷小的乘积是无穷小
极限的四则运算法则:
定理:
两个函数f(x)、g(x)的代数和的极限等于它们的极限的代数和
两个函数f(x)、g(x)乘积的极限等于它们的极限的乘积
极限存在准则与两个重要极限:
准则一(夹挤定理)
设函数f(x)、g(x)、h(x)在xx0的某个邻域内(点x0可除外)满足条件:
(1)g(x)f(x)h(x)
limg(x)A
limh(x)A
(2)xx0
,xx0
limf(x)A
则xx0
准则二
单调有界数列必有极限
定理:
如果单调数列有界,则它的极限必存在
重要极限:
lim
sinx
1
lim
1cosx
1
x2
2
(1)x0x
(2)x0
lim(1
1
)xe
1
lim(1x)
e
x
(3)x
x
或x0
无穷小阶的定义:
设、为同一过程的两个无穷小。
(1)如果lim
0
,则称是比高阶的无穷小,记做o()
(2)如果lim
,则称是比低阶的无穷小
(3)如果lim
c(c0,c1)
,则称与是同阶无穷小
(4)如果lim
1
,则称与是等阶无穷小,记做~
几种等价无穷小:
对数函数中常用的等价无穷小:
x0时,ln(1x)~x(x0)
loga
(1x)~
1
x(x0)
lna
三角函数及反三角函数中常用的等价无穷小:
1cosx~
1
x2
x0时,sinx~x
tanx~x
2
arcsinx~xarctanx~x
指数函数中常用的等价无穷小:
x0时,ex1~xax1exlna1~lna
二项式中常用的等价无穷小:
x0时,(1x)a1~axn1x1~
x
n
函数在某一点处连续的条件:
limf(x)f(x
)
由连续定义xx0
0
可知,函数f(x)在点x0处连续必须同时满足下列三个条件:
(1)
f(x)
在点
x0
处有定义
(2)当
xx0
f(x)
limf(x)
时,
的极限
xx0
存在
(3)极限值等于函数f(x)在点x0处的函数值f(x0)
极限与连续的关系:
如果函数f(x)在点x0处连续,由连续定义可知,当xx0时,f(x)的极限一定存在,反之,则不一定成立
函数的间断点:
分类:
第一类间断点(左右极限都存在)第二类间断点(有一个极限不存在)
连续函数的和、差、积、商的连续性:
定理:
如果函数f(x)、g(x)在点x0处连续,则他们的和、差、积、商(分母不为零)在
点x0也连续
反函数的连续性:
定理:
如果函数yf(x)在某区间上是单调增(或单调减)的连续函数,则它的反函数
x(y)也在对应的区间上是单调增(或单调减)的连续函数
最大值与最小值定理:
定理:
设函数f(x)在闭区间a,b上连续,则函数f(x)在闭区间a,b上必有最大值和最小
值
推论:
如果函数f(x)在闭区间a,b上连续,则f(x)在a,b上有界介值定理:
定理:
设函数f(x)在闭区间a,b上连续,两端点处的函数值分别为
f(a)A,f(b)B(AB),而是介于A与B之间的任一值,则在开区间(a,b)内至少有一点,使得
f()(ab)
推论
(1):
在闭区间上连续函数必能取得介于最大值与最小值之间的任何值
推论
(2):
设函数f(x)在闭区间a,b上连续,且f(a)f(b)0(两端点的函数值异号),
则在(a,b)的内部,至少存在一点,使f()0
导数与微分
导数:
y'limf(xx)f(x)
定义:
x0x
导数的几何定义:
函数在图形上表示为切线的斜率函数可导性与连续性之间的表示:
如果函数在x处可导,则在点x处连续,也即函数在点x处连续一个数在某一点连续,它却不一定在该点可导
据导数的定义求导:
y'|xx0
lim
y
lim
f
(x0x)f(x0)
(1)
x
x
x0
x0
y'|xx0
lim
f(x)f(x0)
(2)
x
x0
xx0
y'|xx
lim
f(xx)f(x)
(3)
x
0
x0
基本初等函数的导数公式:
(1)常数导数为零
(c)'0
(2)幂函数的导数公式
(xn)'nxn1
(3)三角函数的导数公式
1
(sinx)'cosx
(cosx)'sinx
(tanx)'
sec2
x
cos2
x
(cotx)'
1
csc2
x
(secx)'secxtanx
sin2
x
(cscx)'cscxcotx
(logax)'
1
logae
1
(4)对数函数的导数公式:
xlna
x
(5)指数函数的导数公式:
(ax)'axlna
(6)(ex)'ex
(7)反三角函数的导数公式:
(arcsinx)'
1
(arccosx)'
1
1x2
1x2
(arctanx)'
1
(arccotx)'
1
1x2
1x2
函数和、差、积、商的求导法则:
法则一(具体内容见书106)
(uv)'u'v'(uv)'u'v'
函数乘积的求导法则:
法则二(具体内容见书108)
(uv)'u'vuv'
函数商的求导法则:
(
u
)'
u'vuv'
法则三(具体内容见书109)
v
v2
复合函数的求导法则:
(定理见书113页)
反函数的求导法则:
反函数的导数等于直接函数导数的倒数
基本初等函数的导数公式:
(见书121页)
高阶导数:
二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数求n阶导数:
(不完全归纳法)
d2y
d
(
dy
)
dx2
dx
dx
(sinx)(n)sin(xn
)
(cosx)(n)cos(xn
)
2
2
隐函数的导数:
(见书126页)
对隐函数求导时,首先将方程两端同时对自变量求导,但方程中的y是x的函数,它的导
dy
数用记号dx(或y'表示)
对数求导法:
先取对数,后求导(幂指函数)
x
y
dydydtdy1'(t)
dxdtdxdtdx'(t)
dt
(t)(t)(t)
微分概念:
函数可微的条件
如果函数f(x)在点x0可微,则f(x)在点x0一定可导
函数f(x)在点x0可微的必要充分条件是函数f(x)在点x0可导
dyf'(x0)x
函数的微分dy是函数的增量y的线性主部(当x0),从而,当x很小时,有ydy
通常把自变量x的增量x称为自变量的微分,记做dx。
即于是函数的微分可记为
dy
'
(x)
dyf'(x)dx,从而有
f
dx
基本初等函数的微分公式:
几个常用的近似公式:
1
f(x)f(0)f'(0)x
n1x1
x
n
sinxx(x用弧度)
tanxx(x用弧度)
e21x
ln(1x)x
中值定理与导数应用
罗尔定理:
如果函数f(x)满足下列条件
(1)在闭区间a,b上连续
(2)在开区间a,b内具有导数
(3)在端点处函数值相等,即f(a)f(b),则在a,b内至少有一点,使f'()0
拉格朗日中值定理:
如果函数f(x)满足下列条件
(1)在闭区间a,b上连续
(2)在开区间a,b内具有导数,则在a,b内至少有一点,使得f(b)f(a)f'()(ba)
定理几何意义是:
如果连续曲线yf(x)上的弧AB除端点处外处处具有不垂直于x轴的
切线,那么,在这弧上至少有一点c,使曲线在点c的切线平行于弧AB
推论:
如果函数f(x)在区间a,b内的导数恒为零,那么f(x)在a,b内是一个常数
柯西中值定理:
如果函数f(x)与F(x)满足下列条件
(1)在闭区间a,b上连续
(2)在开区间a,b内具有导数
(3)F‘(x)在a,b内的每一点处均不为零,则在a,b内至少有一点使得
f(b)f(a)
f'()
F(b)F(a)
F'()
罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例,柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广洛必达法则:
(理论根据是柯西中值定理)
0
0未定式
1、xa情形
定理:
如果
(1)当xa时,f(x)与(x)都趋于零
(2)在点a的某领域(点a可除外)内,f'(x)与'(x)都存在且'(x)0
lim
f'(x)
lim
f(x)
lim
f(x)
'(x)
(x)
(x)
(3)xa
存在(或为),则极限xa
存在(或为),且xa
limf''(x)
=xa(x)
在一定条件下通过分子、分母分别求导数再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必
达法则
2、x情形
推论:
如果
(1)当x时,f(x)与(x)都趋于零
(2)当|x|>N时,f'(x)与'(x)都存在且'(x)0
lim
f'(x)
lim
f(x)
lim
f(x)
'(x)
(3)x
存在(或为),则极限x(x)
存在(或为),且x(x)
limf''(x)
=x(x)
未定式
1、xa情形
如果
(1)xa时,f(x)与(x)都趋于无穷大
(2)在点a的某领域(点a可除外)内,f'(x)与'(x)都存在且'(x)0
lim
f'(x)
lim
f(x)
lim
f(x)
'(x)
(x)
(x)
(3)xa
存在(或为),则则极限xa
存在(或为),且xa
limf''(x)
=xa(x)
2、x情形
推论:
如果
(1)x时,f(x)与(x)都趋于无穷大
(2)当|x|>N时,f'(x)与'(x)都存在且'(x)0
lim
f'(x)
lim
f(x)
'(x)
(x)存在(或为),
(3)xa
存在(或为),则则极限xa
limf(x)limf''(x)
且xa(x)=xa(x)
0
注意:
1、洛必达法则仅适用于0型及型未定式
lim
f'(x)
lim
f(x)
'(x)
(x)
xa
xa
不存在,此时不能应用洛必达法则
2、当(x)
不存在时,不能断定(x)
泰勒公式(略)
迈克劳林公式(略)
函数单调性的判别法:
必要条件:
设函数f(x)在a,b上连续,在a,b内具有导数,如果f(x)在a,b上单调增加(减少),则在a,b内,f'(x)0(f'(x)0)
充分条件:
设函数f(x)在a,b上连续,在a,b内具有导数,
(1)如果在a,b内,f'(x)0,则f(x)在a,b上单调增加
(2)如果在a,b内,f'(x)0,则f(x)在a,b上单调减少
函数的极值及其求法
极值定义(见书176页)
极值存在的充分必要条件
必要条件:
设函数f(x)在点x0处具有导数,且在点x0处取得极值,则f'(x)0
函数的极值点一定是驻点
导数不存在也可能成为极值点
驻点:
使f'(x)0的点,称为函数f(x)的驻点
充分条件(第一):
设连续函数f(x)在点x0的一个邻域(x0点可除外)内具有导数,当x
由小增大经过x0时,如果
(1)f'(x)由正变负,则x0是极大点
(2)f'(x)由负变正,则x0是极小点
(3)f'(x)不变号,则x0不是极值点
充分条件(第二):
设函数f(x)在点x0处具有二阶导数,且f'(x0)0,f;;(x0)0
(1)如果f;;(x0)0,则f(x)在x0点处取得极大值
(2)如果f;;(x0)0,则f(x)在x0点处取得极小值
函数的最大值和最小值(略)
曲线的凹凸性与拐点:
定义:
设f(x)在a,b上连续,如果对于a,b上的任意两点x1、x2恒有
f(
x1x2
)
f(x1f(x2)
2,则称f(x)在a,b上的图形是(向上)凹的,反之,图形是(向上)
2
凸的。
判别法:
定理:
设函数f(x)在a,b上连续,在(a,b)内具有二阶导数
(1)如果在
(a,b)
内
f;;
(x0)0
,那么
f(x)
的图形在
a,b
上是凹的
(2)如果在
(a,b)
内
f;;
(x0)0
,那么
f(x)
的图形在
a,b
上是凸的
拐点:
凸弧与凹弧的分界点称为该曲线的拐点。
不定积分
原函数:
如果在某一区间上,函数F(x)与f(x)满足关系式:
F'(x)f(x)或dF(x)f(x)dx,则称在这个区间上,函数F(x)是函数f(x)的一个原
函数
结论:
如果函数f(x)在某区间上连续,则在这个区间上f(x)必有原函数
定理:
如果函数F(x)是f(x)的原函数,则F(x)C(C为任意常数)也是f(x)的原函数,且f(x)
的任一个原函数与F(x)相差为一个常数
不定积分的定义:
定义:
函数f(x)的全体原函数称为f(x)的不定积分,记做f(x)dx不定积分的性质:
性质一:
(f(x)dx)'f(x)或d(f(x)dx)f(x)dx
及f'(x)dxf(x)C或df(x)f(x)C
性质二:
有限个函数的和的不定积分等于各个函数的不定积分的和。
即
[f1(x)f2(x)fn(x)]dxf1(x)dxf2(x)dxfn(x)dx
性质三:
被积函数中不
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