高考理科数学大一轮提分讲义第3章第2节利用导数解决函数的单调性问题.docx
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高考理科数学大一轮提分讲义第3章第2节利用导数解决函数的单调性问题
第二节利用导数解决函数的单调性问题
最新考纲]1.了解函数的单调性和导数的关系.2.能利用导数研究函数的
单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不会超过三次)
函数的单调性与导数的关系
条件
结论
函数y=(fx)在区间(a,b)上可导
f′(x)>0
f(x)在(a,b)内单调递增
f′(x)<0
f(x)在(a,b)内单调递减
f′(x)=0
f(x)在(a,b)内是常数函数
常用结论]
1.在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件
2.可导函数f(x)在(a,b)上是增(减)函数的充要条件是对?
x∈(a,
恒为零.
一、思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若函数f(x)在(a,b)内单调递增,那么一定有f′(x)>0.()
(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)=0,则f(x)在此区间内没有单调性.()
(3)在(a,b)内f′(x)≤0且f′(x)=0的根有有限个,则f(x)在(a,b)内是减函数.()
[答案]
(1)×
(2)√(3)√
二、教材改编
1.
如图是函数y=(fx)的导函数y=f(′x)的图象,则下面判断正确的是()
B.在区间(1,3)上f(x)是减函数
C.在区间(4,5)上f(x)是增函数
D.在区间(3,5)上f(x)是增函数
C[由图象可知,当x∈(4,5)时,f′(x)>0,故f(x)在(4,5)上是增函数.]
2.函数f(x)=cosx-x在(0,π)上的单调性是()
A.先增后减B.先减后增
C.增函数D.减函数
D[因为f′(x)=-sinx-1<0在(0,π)上恒成立,
所以f(x)在(0,π)上是减函数,故选D.]
3.函数f(x)=x-lnx的单调递减区间为.
1
(0,1][函数f(x)的定义域为{x|x>0},由f(′x)=1-x≤0,得0 x 所以函数f(x)的单调递减区间为(0,1].] 4.已知(fx)=x3-ax在[1,+∞)上是增函数,则实数a的最大值是. 3[f′(x)=3x2-a≥0,即a≤3x2, 又因为x∈[1,+∞),所以a≤3,即a的最大值是3.] 考点1不含参数函数的单调性 求函数单调区间的步骤 1)确定函数f(x)的定义域. 2)求f′(x) 3)在定义域内解不等式f′(x)>0,得单调递增区间4)在定义域内解不等式f′(x)<0,得单调递减区间 1.函数f(x)=1+x-sinx在(0,2π)上是( A.单调递增 B.单调递减 C.在(0,π)上增,在(π,2π)上减 D.在(0,π)上减,在(π,2π)上增 A[f′(x)=1-cosx>0在(0,2π)上恒成立,所以在(0,2π)上单调递 增.] 1 2.函数y=21x2-lnx的单调递减区间为() 由y′≤0可解得0 12 ∴y=2x2-lnx的单调递减区间为(0,1],故选B.] 3.已知定义在区间(-π,π)上的函数f(x)=xsinx+cosx,则f(x)的单调递增区间是. ππ -π,-2和0,2[f′(x)=sinx+xcosx-sinx=xcosx, 令f′(x)=xcosx>0, ππ 则其在区间(-π,π)上的解集为-π,-2和0,2, ππ 即f(x)的单调递增区间为-π,-2和0,2.] 求函数的单调区间时,一定要先确定函数的定义域,否则极易出错. 如T2. 考点2含参数函数的单调性 研究含参数的函数的单调性,要依据参数对不等式解集的影响进行 分类讨论. 已知函数f(x)=12x2-2alnx+(a-2)x,当a<0时,讨论函数f x)的单调性. 上单调递增. ②当0<-a<2,即-22时,f′(x)>0;-a ∴f(x)在(0,-a),(2,+∞)上单调递增,在(-a,2)上单调递减.③当-a>2,即a<-2时,∵0 时,f(x)在(0,-a),(2,+∞)上单调递增,在(-a,2)上单调递减;当a<-2时,f(x)在(0,2),(-a,+∞)上单调递增,在(2,-a)上单调递减. 含参数的问题,应就参数范围讨论导数大于(或小于)零的不等式 的解,在划分函数的单调区间时,要在函数定义域内确定导数为零的点和函数的间断点. 已知函数f(x)=ln(ex+1)-ax(a>0),讨论函数y=f(x)的单调区间. [解] f′(x)=xe-a=1-x1-a. ex+1ex+1 ①当a≥1时,f′(x)<0恒成立, ∴当a∈[1,+∞)时,函数y=f(x)在R上单调递减.
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