尸Q
du
ep
=24cos0
尸Q
p>ci
所以
du、
ps=——=—2£°Acos(p
©p
2-11.两无限人平行板电极,距离为d,电位分别为0和S,两板间充满电荷密度为“x/d的介质,如图所示。
求两极板间的电位分布和极板上的电荷密度。
解由于两无限人平板间存在电荷密度分布,电位函数满足泊松方程。
又平板沿Y和Z方向无穷犬,电位分布与x和z无关,因此,有
d2u_pv_p0v
题2-11图
且满足边界条件
v=0=0>C2=°
U=
.Z="o,q=——
6qd
Pod
1
6勺
求解二阶常微分方程,得到
1pn3
U=A+C[X+C°
6咖
应用边界条件,有
所以
根据电位满足的边界条件
可得在卜极板上表面的电荷密度分布为
下极板导体中的电位为零,有
些=0dx
代入,得到
对于上极板,导体中的电位为常数
"1=
dx
上极板卜•表面电荷密度为
du2
d
Pod
3
2J5・空间某区域中的电荷密度在柱坐标系中为
Pv=20pL(C/m3),应用高斯定理求电通密度D。
解根据题意知,电荷密度分布与0、Z无关,因此
场分布具有柱对称性,电通密度矢量D仅有J分量,由高斯定理
^Dt/S=JjjpvJV
(S)(V)
取圆柱面为高斯面,有
In2兀p
jDppld(p=JJ2Qpe~ppld(pclp000
2/rp
2兀plDp=j、20pe-Ppldcpdp
oo
=40^/(2-[p2+2p+2]e_pj20(2一0+2°+2]厂)
QP
2-17.在真空中放置一无限长线电荷密度为0的细金属棒,证明在径向距离上的两点p\、p?
之间的电位差为
din空
2叭\Px)
解首先计算无限长带电金属棒在空间任一点产生的电场。
由于线电荷分布无限长,电通密度矢量仅有径向分量,且在同一圆柱面上电通密度矢量的人小相等,根据高斯定理,有幷)D・dS=D17rpl=p{l
由此得到电通密度矢量
D=de,
2応p卩
而电场强度为
根据电位的定义,在径向选择一点卩0为参考点,则有
氏氏耳
U=Wj—w?
=JE•f/l—JE•f/1=JE•^/l
pipipi
py
=f———e-eJp=—In—
'"22硯p、
2-25.如图所示,电荷0距离两无限人接地直角平面XY平面的垂直距离为d,距离XZ平面的垂直距离也是d。
利用镜像法求任一点P(0,y,z)的电位和电场。
解两个半无限人导体平面间的夹角(乂=90°,"=氓>=4,则所需镜像电荷数为90°
3。
首先,移去沿Z轴放置的导体平板,在y<0^>0的空间填充的介质,并在与放置
+Q对称的位置上放置等量异号电荷-Q,如图所示。
其次,移去Y轴放置的导体板,在z<0
题2-25图
的下半空间填充q的介质,并在与上半空间放置电荷的对称位置上放置等量异号电荷。
利用点电荷叠加原理,得到四个点电荷在P(0*二)点产生的电位为
(、0「111
u(o.yfz)=+
')4矶出R2&
=0JLIL1
4矶Jb_d『+(z_d)2J(y+d『+(z_d)2
'1,厂,,
J(y+d)2+(z+d『J(y_d)’+(z+d)2
验证可得
4-o=°
根据唯一性定理,边值问题的解为
11
J(y_d『+(z_d)2Jb+d)2+(z_d『
11
Jb+dr+G+d),Jb_d『+(7+d)2j
2・26・设一点电荷q与无限人接地导体平面的距离为小如图所示。
求:
(1)上半空间的电位分布和电场强度;
(2)导体平面上的感应电荷密度:
(3)点电荷所受的力。
Z-
q«一一
d
X
/////////}//////
题2-26图
解
(1)采用镜像法。
移去接地导体板,用切的介质填充,并在与+Q对称的位置S(0,0,-处放置一镜像电荷p,则上半空间任一点的电位为
「1_1、
q
(
1
1
、尽尺2丿
4矶
Jx2+y2+(z-d)~7
lx2+y2+(z+d)2)
根据电场强度与电位的关系式,何
(2)根据电通密度矢量的边界条件,得到感应电荷分布密度为
p5=n(D1-D2)=er-(^0E)
在导体表面上卩0,RfRa令R=R1=R“得到导体表面的电场强度为
E—孟隔弓卜卜厳耳
因此,有
Ps=j(£()E)=理y
八丿2托便
(3)点电荷+q所受的力就是点电荷+q与镜像电荷-Q之间的作用力,也就等于点电荷
+q与无限大导体板上感应电荷之间的作用力,方向向卞,沿一匕方向,即
4能02d・・
2-27.如图所示,一个沿Z轴很长且中空的矩形金属管,其中三边保持零电位,第四边电位7[y、
为U,求:
(1)当U=Uo时,管内的电位分布;
(2)当U=UQSill时,管内的电位分
Ib丿
布。
解由于矩形金属管沿Z轴方向无限长,故金属管内电位与z无关,由此得到金属管电位分布的边值问题为
空+%。
dx2dy2
v=0;0=0
bIn=0u=UI
iLg笔
=U
.x=a;Q题2-27图
w(^y,z)=X(x)y(>9
代入拉普拉斯方程,得到X(Q和Y(v)满足的本征方程为
沪y(y)
dy2
=~k;Y(y)
常数人和匕•满足
屮=0
由边界条件町得本征函数满足的边界条件为
X—,X—yU^=°
本征函数x(©在边界上有一个零点,其解应取双曲函数形式
X(x)=Acosh比」x+Bsiiili闊x
本征函数Y(v)在边界有两个零点,Y(y)取三角函数形式
Y(y)=Ccoskyy+Dsinkyy
根据边界条件,有
X(0)=4coshKJ0+Bsinh/J0=4cosh|^x|0=0,4=0
X(a)=Bsinh\ks\a=U
而
y(o)=c=o
Y(b)=Dsinkb=0
显然,D不能为零,否则电位函数恒为零,因此
sinkvb=0,k=竽,加=1,2,…
b
L-严\k|_〃皿
由于
得到
本征函数XU)的解形式为
X(x)=〃sinh殳2
b
根据线性叠加原理,得到矩形金属管内电位的通解为
“(X,刃=X%(X,)')=XB,”sinh罕xsin耳y
〃el/H=lD0
Xu=Am=l
'd•红m71\・皿兀Aa・n\7t
宀sinh匕«Jsin匕y玄B”siny
式中5〃为待定系数。
利用非零边界条件,有
该式就是奇周期函数的傅里叶级数展开式,所以需要把U在(心6进行奇周期延拓,即取
"(y)为奇函数,然后求傅立叶级数的系数,有
rz・mTT.2Ur・mn」
Usm——yay=sinyay=
b“•bjb・•
4U
——,〃?
=1,3,5,…
mn
0,m=2,4,6,…
4U
>〃7=1,3,5,•…tiri/r
//?
^sinh——a
b
in=2,4、6,…
将代入,得到边值问题的解为
心刃=s—矿zn^siiih——ab
.$m兀.niTTsum——xsin——ybb“
x4U
w(x,y)=Y——
n=0(2〃+1)兀sinli行〃;1)兀a
sinh(如1兀sin⑵小)5
bb
(2)当U=UQsin时,有
・,in;:
.
sumasin
b丿
比较两边系数,得到
B;=5
因此,电位分布为
"(兀刃=
sinh〒a
b
•,龙•龙sum—xsin—bb
2・28・两平行的无限人导体平面,其间距离为b,在两板间沿X方向有一无限长的极薄的导体片,其坐标由)=d到尸山如图所示。
上板和薄片保持电位为下板为零电位,求板
题2-28图
间的电位分布。
设在薄片平面上,从尸0到)•二d电位线性变化,即"=冷歹。
d
解由于平板沿X方向无穷大,且X>0与XVO两区域对称,因此两区域间的电位分布相同,仅需求解X>0区域的电位分布。
为了求解电位分布,应用电位叠加原理,把电位分布看作是由如题2-28图(a)和(b)两个电位分布的叠加。
对于题2-28(a)两平行板之间的电位,有
w=0
ii=Uq
yx
对于题2・28图(b)所示的两板间的电位分布,首先列出边界条件为
11=Uq
(a)
(b)
题2-28图
W2y=0:
=0,
=0
=^y^2l.v=0,0AV
根据边界条件
”2仁=°,
y=b=°
可知电位沿Y方向应取如下形式
v・,|7V
Yy=sin——yb「
根据边界条件
-牙一*8
可取电位沿X方向变化为
=0
由此可设薄片的电位分布为
X亓-竺
w2=E^nsin—K~
n=lD
则两平板间X>0区域的电位是坷和w2的叠加,即
”=“]+“2=早),+£F”sin芋b铝b
在x=0的分界面上,电位满足
UqUq“兀c/"丿
-y>,=yy+SB«siny>'•0u占严沖吩八仔b
为了确定系数B,上两式两边乘以sin竽y,并从0到b枳分,得到b•
Idb)
ysin——丿b
y^y=fsill
0\H=1D丿
HITT.
~Tydy
HITT
'心=JS^sin-y>?
sin
H17V.
~Tydy
2(777+77)2(7M-n)
.H7Vysin—y
ysm
/
9H7T
.ii7v.rjn兀i
in—ydy=jB,rsnr—ydy
两式相加,并利用积分式
ffsin(〃7+〃)zsin(7?
7-7?
)^
Isinjizsin/nzdz=:
—+——+C
利用积分式
JsinT—sin2*
2U。
b
cin・
1-;-Tysin
2b)
bY
H7T.
Tydy+
b-d
bd
H7T
.H7Tb
smTy-^
h
H7T
Ty
.n7t
smTy-^
bH7T
—ycos——y
」b“
2U。
bd
117T
.H7T,2(/0b・H7T」
sin——d=鼻—sin——d
b(口兀丫db
把E代入,得到
x>0
=华尸土车[sin罕沁罕b幺("龙)・dbb
同理可得X<0区域的电位为
UQA2Uob・I\7tJ.n兀
x<0
ii=-^-y+>人r—sm——dsm-—yw
b幺(m)「dbb*