学年高中数学人教A版选修11教学案第三章34生活中的优化问题举例含答案.docx
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学年高中数学人教A版选修11教学案第三章34生活中的优化问题举例含答案
第1课时 变化率问题、导数的概念
[核心必知]
1.预习教材,问题导入
根据以下提纲,预习教材P101~P104的内容,回答下列问题.
某厂家计划用一种材料生产一种盛500ml溶液的圆柱形易拉罐.
(1)生产这种易拉罐,如何计算材料用的多少呢?
提示:
计算出圆柱的表面积即可.
(2)如何制作使用材料才能最省?
提示:
要使用料最省,只需圆柱的表面积最小.可设圆柱的底面半径为x,列出圆柱表面积S=2πx2+(x>0),求S最小时,圆柱的半径、高即可.
2.归纳总结,核心必记
(1)优化问题
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为优化问题.
(2)解决优化问题的基本思路
[问题思考]
在实际问题中,如果在定义域内函数只有一个极值点,则函数在该点处取最值吗?
提示:
根据函数的极值与单调性的关系可以判断,函数在该点处取最值,并且极小值点对应最小值,极大值点对应最大值.
[课前反思]
(1)生活中的优化问题主要涉及哪些问题?
;
(2)解决优化问题的基本思路是什么?
.
讲一讲
1.某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场.如图,圆形广场的圆心为O,半径为100m,并与北京路一边所在直线l相切于点M.点A为上半圆弧上一点,过点A作l的垂线,垂足为点B.市园林局计划在△ABM内进行绿化.设△ABM的面积为S(单位:
m2),∠AON=θ(单位:
弧度).
(1)将S表示为θ的函数;
(2)当绿化面积S最大时,试确定点A的位置,并求最大面积.
[尝试解答]
(1)BM=AOsinθ=100sinθ,
AB=MO+AOcosθ=100+100cosθ,θ∈(0,π).
则S=MB·AB=×100sinθ×(100+100cosθ)
=5000(sinθ+sinθcosθ),θ∈(0,π).
(2)S′=5000(2cos2θ+cosθ-1)
=5000(2cosθ-1)(cosθ+1).令S′=0,
得cosθ=或cosθ=-1(舍去),
此时θ=.
当θ变化时,S′,S的变化情况如下表:
所以,当θ=时,S取得最大值Smax=3750m2,此时AB=150m,即点A到北京路一边l的距离为150m.
(1)平面图形中的最值问题一般涉及线段、三角形、四边形等图形,主要研究与面积相关的最值问题,一般将面积用变量表示出来后求导数,求极值,从而求最值.
(2)立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、体积,在此基础上解决与实际相关的问题.解决此类问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式,如果已知图形是由简单几何体组合而成,则要分析其组合关系,将图形进行拆分或组合,以便简化求值过程.
练一练
1.请你设计一个包装盒.如图所示,ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒.E、F在AB上,是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点.设AE=FB=x(cm).
(1)若广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大,试问x应取何值?
(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大,试问x应取何值?
并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.
解:
设包装盒的高为h(cm),底面边长为a(cm).
由已知得a=x,h==(30-x),0<x<30.
(1)S=4ah=8x(30-x)=-8(x-15)2+1800,
所以当x=15时,S取得最大值.
(2)V=a2h=2(-x3+30x2),V′=6x(20-x).
由V′=0得x=0(舍)或x=20.
当x∈(0,20)时,V′>0;当x∈(20,30)时,V′<0.
所以当x=20时,V取得极大值,也是最大值.
此时=,即包装盒的高与底面边长的比值为.
讲一讲
2.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:
万元)与隔热层厚度x(单位:
cm)满足关系:
C(x)=(0≤x≤10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元,设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.
(1)求k的值及f(x)的表达式;
(2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小,并求最小值.
[尝试解答]
(1)由题设,隔热层厚度为xcm,每年能源消耗费用为C(x)=,
再由C(0)=8,得k=40,
因此C(x)=.
而建造费用为C1(x)=6x.
最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为
f(x)=20C(x)+C1(x)=20×+6x=+6x(0≤x≤10).
(2)f′(x)=6-,
令f′(x)=0,
即=6,
解得x=5,x=-(舍去).
当0≤x<5时,f′(x)<0,
当5
故x=5是f(x)的最小值点,
对应的最小值为f(5)=6×5+=70.
所以,当隔热层修建5cm厚时,总费用达到最小值70万元.
实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等都需要利用导数求解相应函数的最小值,此时根据f′(x)=0求出极值点(注意根据实际意义舍去不合适的极值点)后,函数在该点附近满足左减右增,则此时唯一的极小值就是所求函数的最小值.
练一练
2.一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比,已知在速度为10km/h时,燃料费是每小时6元,而其他与速度无关的费用是每小时96元,问此轮船以多大的速度航行时,能使每千米的费用总和最少?
解:
设燃料费y=kv3,因为当v=10时,y=6,∴k=,∴y=v3.
∴每千米总费用:
S==v2+,
S′=v-.
令S′=0得v=20,
当v∈(0,20)时,S′<0;
当v∈(20,+∞)时,S′>0.
∴v=20km/h是S的极小值点,也是最小值点,
∴v=20km/h时,每千米的费用总和最少.
知识点3利润最大问题
讲一讲
3.某厂生产某种电子元件,如果生产出一件正品,可获利200元,如果生产出一件次品,则损失100元.已知该厂制造电子元件过程中,次品率p与日产量x的函数关系是:
p=(x∈N*).
(1)将该厂的日盈利额T(元)表示为日产量x(件)的函数;
(2)为获最大盈利,该厂的日产量应定为多少件?
[尝试解答]
(1)因为次品率p=,
所以当每天生产x件时,有x·件次品,
有x件正品.
所以T=200x·-100x·
=25·(x∈N*).
(2)T′=-25·,
由T′=0,得x=16或x=-32(舍去).
当0
当x>16时,T′<0;
所以当x=16时,T最大,
即该厂的日产量定为16件,能获得最大盈利.
解决此类有关利润的实际应用题,应灵活运用题设条件,建立利润的函数关系,常见的基本等量关系有
(1)利润=收入-成本;
(2)利润=每件产品的利润×销售件数.
练一练
3.某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:
千克)与销售价格x(单位:
元/千克)满足关系式y=+10(x-6)2,其中3<x<6,a为常数.已知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克.
(1)求a的值;
(2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.
解:
(1)因为x=5时,y=11,所以+10=11,a=2.
(2)由
(1)可知,该商品每日的销售量
y=+10(x-6)2,
所以商场每日销售该商品所获得的利润
f(x)=(x-3)
=2+10(x-3)(x-6)2,3<x<6.
从而,f′(x)=10[(x-6)2+2(x-3)(x-6)]
=30(x-4)(x-6).
于是,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
由上表可得,x=4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点,也是最大值点.
所以,当x=4时,函数f(x)取得最大值,且最大值等于42,即当销售价格为4元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大.
——————————————[课堂归纳·感悟提升]——————————————
1.本节课的重点是利用导数解决生活中的优化问题.
2.本节课要重点掌握的规律方法
(1)利用导数解决面积、体积的最值问题,见讲1;
(2)利用导数解决成本最低(费用最省)问题,见讲2;
(3)利用导数解决利润最大问题,见讲3.
3.在利用导数解决生活中的优化问题时,要注意函数的定义域应使实际问题有意义,这也是本节课的易错点
课时达标训练(十九)
[即时达标对点练]
题组1 面积、体积的最值问题
1.如果圆柱轴截面的周长l为定值,则体积的最大值为( )
A.πB.π
C.πD.π
解析:
选A 设圆柱的底面半径为r,高为h,体积为V,则4r+2h=l,
∴h=,V=πr2h=πr2l-2πr3.
则V′=lπr-6πr2,
令V′=0,得r=0或r=,而r>0,
∴r=是其唯一的极值点.
当r=时,V取得最大值,最大值为π.
2.用边长为48cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时,在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形,然后把四边折起,就能焊成一个铁盒.所做的铁盒容积最大时,在四角截去的正方形的边长为( )
A.6cmB.8cmC.10cmD.12cm
解析:
选B 设截去的小正方形的边长为xcm,铁盒的容积Vcm3.由题意,得V=x(48-2x)2(0 当x∈(0,8)时,V′>0;当x∈(8,24)时,V′<0. ∴当x=8时,V取得最大值. 题组2 成本最低(费用最省)问题 3.做一个容积为256m3的方底无盖水箱,所用材料最省时,它的高为( ) A.6mB.8mC.4mD.2m 解析: 选C 设底面边长为xm,高为hm,则有x2h=256,所以h=.所用材料的面积设为Sm2,则有S=4x·h+x2=4x·+x2=+x2.S′=2x-,令S′=0,得x=8,因此h==4(m). 4.某公司一年购买某种货物2000吨,每次都购买x吨,运费为4万元/次,一年的总存储费为x2万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x=________. 解析: 设该公司一年内总共购买n次货物,则n=,总运费与总存储费之和f(x)=4n+x2=+x2, 令f′(x)=x-=0,解得x=20. 且当0 答案: 20 5.甲、乙两地相距400千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过100千米/时,已知该汽车每小时的运输成本P(元)关于速度v(千米/时)的函数是P=v4-v3+15v, (1)求全程运输成本Q(元)关于速度v的函数关系式; (2)为使全程运输成本最少,汽车应以多大的速度行驶? 并求此时运输成本的最小值. 解: (1)Q=P·=· =·400 =-v2+6000(0 (2)Q′=-5v,令Q′=0,则v=0(舍去)或v=80, 当0 当80
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