全国新课标2卷高考文科数学答案.docx
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全国新课标2卷高考文科数学答案
2015普通高等学校招生全国统一考试Ⅱ卷文科数学
第一卷
一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
(1)已知集合A=
x1
x
2,B
x0x3,则AB
A.(-1,3)
B.(-1,0)
C.(0,2)
D.(2,3)
1、选A
(2)若a实数,且
2
ai
3i
则a
1
i
A.-4
B.-3C.3
D.
4
2、解:
因为2
ai
(3
i)(1
i)
2
4i,所以a
4.故选D
(3)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量(单位:
万吨)柱形图,以下结论中不正确的是
2700
2600
2500
2400
2300
2200
2100
2000
1900
2004200520062007200820092010201120122013(年)
A.逐年比较,2008年减少二氧化碳排放量的效果最显著;
B.2007年我国治理二氧化碳排放显现成效;
C.2006年以来我国二氧化碳排放量呈减少趋势;
D.2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关。
3、选D
(4)已知向量a
(0,
1),b
(1,2),则(2a
b)a
A.-1
B.0
C.1
D.2
4、选B
(5)设Sn是等差数列an的前n项和,a1
a3
a53,则S5
若
A.5
B.7
C.9
D.11
5、解:
在等差数列中,因为
a1
a3a5
3,所以a3
(a1
a5)
5
1,S5
2
5a35,故选A.
-1-
(6)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为
1
1
1
1
A.
B.
C.
D.
8
7
6
5
6、解:
如图所示,选
D.
(7)已知三点A(1,0),B(0,3),C(2,3),则
ABC外接圆的
圆心到原点的距离为
A.5
B.
21
C.
25
D.
4
3
3
3
3
7、解:
根据题意,三角形ABC是等边三角形,设外接圆的
圆心为D,则D(1,23)所以,
3
4721
OD1.故选B.
333
(8)右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。
执行该程序框图,若输入的a,b分别为14,18,则输出的a为
开始
输入a,b
a>b
是
ab否
输出a
是
否
a=a-b
b=b-a
结束
A.0
B.2
C.4
D.14
8、解:
18-14=4,14=4=10,10-4=6,6-4=2,
4-2=2,所以a=b=2,故选B.
(9)已知等比数列
an满足a1
1,a3a54(a4
1),则a2C
1
4
1
A.2
B.1
C.
D.
2
8
9、解:
因为
an
满足a1
1,a3a5
4(a41),所以,
4
-2-
a4
2
4(a41),解得a4
2,又a4
a1q3,所以q
2,所以a2a1q
1
2
1
.故选C.
4
2
(10)已知A,B是球O的球面上两点,
AOB
90,C为该球面上动点,若三棱锥O-ABC
体积的最大值为36,则球O的表面积为
A.36π
B.64π
C.144π
D.256π
D
P
C
10、
解:
因
为
A,B
都
在
球
面上,又
AOB
90,C为该球面上动点,
所以
x
1
1R2
1R3
A
B
三棱锥的体积的最大值为
R
36,所以R=6,
O
3
2
6
所以球的表面积为
S=4πR2
144π,故选C.
(11)如图,长方形的边AB=2,BC=1,O是AB的中点,点P沿着边BC,CD,与DA运动,记
DPC
BOPx,将动点P到A,B两点距离之和表示为函数f(x),则f(x)的图x像大致为
AOB
YYYY
2
2
2
2
Oπ
π3ππXOππ3ππ
XO
π
π
3ππ
X
O
ππ3π
π
X
2
4
2
4
4
2
4
4
2
4
4
4
C
D
A
B
11、解:
如图,当点
P在BC上时,
BOP
x,PB
tanx,PA
4tan2
x,
PA
PB
tanx
4
tan2
x,
当x
时取得最大值1
5,
4
以A,B为焦点C,D为椭圆上两定点作椭圆,显然,当点P在C,D之间移动时PA+PB<1
5
.
又函数f(x)不是一次函数,故选
B.
-3-
(12)设函数f(x)
ln(1
x)
1
则使得f(x)
f(2x
1)成立的x的范围是
1
x
2
A.(1,1)
1)
C.(1,1)
1)
(1,)
B.
(
(1,
)
D.(
3
3
3
3
3
3
1
12、解:
因为函数
f(x)ln(1
x)
1
x2,是偶函数,x
[0,
)时函数是增函数
f(x)
f(2x1)
x
2x1,x2
(2x1)2,解得1
x1.故选A.
3
第二卷
二、填空题:
本大题共
4个小题,每小题
5分
(13)已知函数f(x)
ax3
2x的图像过点(-1,4),则a
。
13、答:
a=-2
x
y
5
0,
(14)若x,y满足约束条件
2x
y
1
0,则z2x
y的最大值为
。
x
2y
1
0,
14、解:
当x=3,y=2时,z=2x+y取得最大值8.
(15)已知双曲线过点
(4,,3)
y
1x
,则该双曲线的标准方程为
,且渐近线方程为
2
。
15、解:
设双曲线的方程为
x2
4y2
k(k
0),点(4,,3)代入方程,解得k4.
双曲线的标准方程为
x2
y2
1
4
(16)已知曲线y
x
lnx在点(1,1)处的切线与曲线y
ax2
(a2)x1相切,则a
。
16、解:
y'
1
1,
切线的斜率为
2,切线方程为y
2x
1.
x
将
y
2x
与
ax
2
(a
联立得
ax
2
ax
20,
1y
2)x1
由
a
2
8a
0,
解得
或
a
时曲线为
y
2x
与切线平行,不符。
a8
0.a0
1
所以a
8.
三、解答题:
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
(17)(本小题满分12分)
ABC中,D是BC上的点,AD平分BAC,BD2DC.
(Ⅰ)求sinB;(Ⅱ)若BAC60,求B.
sinC
-4-
17、解:
(Ⅰ)由正弦定理得
sin
B
AC
sin
C
AB
再由三角形内角平分线定理得
AC
DC
1,sin
B
1.
AB
BD
2
sin
C
2
(Ⅱ)
BAC
60,
B
C
120
由()得sin
B
1
sinC
2sin
B,
sin(120
B)2sinB,
展开得
1
sin
C
.
2
tanB
3,
B
30.
3
18.(本小题满分
12分)某公司为了了解用户对其产品的满意度
从A,B两地区分别随机调
查了40个用户,根据用户对其产品的满意度的评分
得到A地区用户满意度评分的频率分布
直方图和B地区用户满意度评分的频率分布表.
A地区用户满意度评分的频率分布直方图
频率
组距
0.040
0.035
0.030
0.025
0.020
0.015
0.010
0.005
O405060708090100满意度评分
B地区用户满意度评分的频数分布表
满意度评分分组
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
[90,100]
频
数
2
8
14
10
6
(I)在答题卡上作出
B地区用户满意度评分的频率分布直方图
并通过此图比较两地区满意
度评分的平均值及分散程度
(不要求计算出具体值
给出结论即可)
B地区用户满意度评分的频率分布直方图
频率
组距
0.040
0.035
0.030
0.025
0.020
0.015
0.010
0.005
O
50
60
70
80
90
100
满意度评分
(II)根据用户满意度评分
将用户的满意度评分分为三个等级:
满意度评分
低于70分
70分到89分
不低于90分
满意度等级
不满意
满意
非常满意
-5-
估计那个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由.
18、解:
(1)B地区频率分布直方图如图所示
B地区用户满意度评分的频率分布直方图
频率
组距
0.040
0.035
0.030
0.025
0.020
0.015
0.010
0.005
O
50
60
70
80
90
100
满意度评分
比较A,B两个地区的用户,由频率分布直方图可知:
A地区评分均值为
45x0.1+55x0.2+65x0.3+75x0.2+85x0.15+95x0.05=67.5
分
B地区评分均值为
55x0.05+65x0.2+75x0.35+85x0.25+95x0.15=76.5
分
A地区用户评价意见较分散,
B地区用户评价意见相对集中。
(2)A地区的用户不满意的概率为
0.3+0.2+0.1=0.6,
B地区的用户不满意的概率为
0.05+0.20=0.25,
所以A地区的用户满意度等级为不满意的概率大。
19.(本小题满分
12分)如图,长方体ABCD
ABC
D中AB=16,BC=10,AA
8,点E,F
1
1
1
1
1
分别在A1B1,D1C1
上,A1E
D1F
4.
过点E,F
的平面
与此长方体的面相交
交线围成一
个正方形.
D1
F
1
C
A1
E
B1
D
C
A
B
(I)在图中画出这个正方形(不必说明画法与理由)
;
(II)求平面
把该长方体分成的两部分体积的比值.
19、解:
(I)在AB上取点
M,在DC上取点
N,使得
D1
F
C1
AM=DN=10,然后连接EM,MN,NF,即组成正方形
EMNF,
即平面α。
A1
E
B1
(II)两部分几何体都是高为
10的四棱柱,所以体积之比
C
D
等于底面积之比,即
A
B
-6-
1
SAMEA1
4
10
7
V
.
V2
SEMBB1
6
12
9
20.(本小题满分12分)
已知椭圆C:
x2
y2
1ab0的离心率为
2
点2,
2在C上.
a2
b2
2
(I)求C的方程;
(II)直线l不经过原点O,且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB中点为M,证明:
直线OM的斜率与直线l的斜率乘积为定值.
20、解、(I)如图所示,由题设得
c
2,
a
2
又点的坐标满足椭圆的方程,所以
4
2
1,
a
2
b2
联立解得:
a
2
8,b
2
4,所以切线C的方程为:
x2
y2
8
1.
4
(II)设A,B两点的坐标为
Y
BC(2,2)
M
OX
A
(x1,y1),(x2,y2),点M的坐标为(m,n),kom
n.
m
则x12
2y12
8,x22
2y22
8,
上面两个式子相减得:
2(y2
2
y1
2)
(x2
2
x1
2)
0.变形得y2
y1
1x1
x2
12m
m.
x2
x1
2y1
y2
22n
2n
kl
kom
y2
y1
n
(
m)
n
1.(定值)
x2
x1
m
2n
m
2
21.(本小题满分12分)已知fxlnxa1x.
(I)讨论fx的单调性;
(II)当fx有最大值,且最大值大于2a2时,求a的取值范围.
21、解:
已知fxlnxa1x.
-7-
(1)
1
a.
f'(x)
x
当a
0时,函数f(x)在(0,
)上是增函数;
当a
0时,函数f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,
)上是减函数.
a
a
(II)由
(1)知,当a0时,函数f(x)在x
1时取得最大值f
(1)a
1lna.
a
a
由a1
lna2a
2,整理得lna
a10.
设
g(x)lnxx1,
则(
)
1
1
在(,
)是增
g'x
a0x0,g'(x)0,g(x)
0
x
函数。
又
g
(1)0,
上述不等式即
g(a)g
(1),
0a1,
即
a
)
(0,1.
请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题
号
22.(本小题满分10分)选修4-1:
几何证明选讲如图O是等腰三角形ABC内一点,⊙O与△ABC的
底边BC交于M,N两点,与底边上的高交于点G,且与
A
AB,AC分别相切于E,F两点.
(I)证明EF∥BC.
G
EF
(II)若AG等于⊙O的半径,且
AE
MN
23
求四边形EDCF的面积.
O
B
M
DN
C
22、(I)证明:
由切线的性质得
AE=AF,所以△
AEF是等腰三角形,又AB=AC,
所以AE
AF,
AEF
ABC,
EF∥BC.
AB
AC
(II)解:
连接OE,则OEAE,AG
OE
OG
R,
OA
2R,
4R2
R2
(2
3)2,R
2,OM
2
MD
1
3,
OD
1AD
2
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