一元高次方程求根公式.docx
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一元高次方程求根公式
一元高次方程求根公式
A、一元二次方程求解
1.ax2+bx+c=0,a≠0,⇒x=−b±
b2−4ac
2a
B、一元三次方程求解
2.x3+ax2+bx+c=0
a
其中a,b,c是任意复数③
若令x=y−,则三次方程简化为
3
y3+py+q=0④
a3ab
2a3
其中p=b−,q=c−+,
3327
设y1,y2,y3表示简化方程④的根,则据根与方程系数的关系,得y1+y2+y3=0。
⎧u=−4p3−27q2
⎪⎧=+2+
⎨
若令⎪11
,⎨z1
y1vy2
vy3。
⎪v=−−−3
⎪z=y+vy
+v2y
⎩22
⎩2123
对于适当确定的立方根,卡当公式是z1=3−
273
q+−3u,z2=3−
22
273
q−−3u,
22
⎧y=1(z+z)
⎪112
⎧y1+y2+y3=0⎪3
求解线性方程组⎪y+v2y
+vy
=z,得到⎪y
1−2−1
=(vz+vz),
⎨1231
⎨212
⎪y+vy
+v2y=z⎪3
⎩1232
⎪
⎪y3
⎩
=1(v−1z+v−2z)
12
3
于是,原三次方程的三个根为y1=3−+∆+3−−∆,
22
y=ω3−q+∆+ω23−q−∆,y
=ω23−q+∆+ω3−q−∆。
222
322
q2p313
其中∆=+,ω=−+
i(i=−1是虚数单位)。
42722
C、一元四次方程求解
3.x4+bx3+cx2+dx+e=0.
设方程为x4+bx3+cx2+dx+e=0.(4)移项,得x4+bx3=-cx2-dx-e,
右边为x的二次三项式,若判别式为0,则可配成x的完全平方.解这个三次方程,设它的一个根为y0,代入(5),由于两边都是x的
完全平方形式,取平方根,即得
解这两个关于x的二次方程,便可得到(4)的四个根.显然,若把(6)的其他根代入(5),会得出不同的方程,但结果是一样的.
附:
一元三次方程ax3+bx2+cx+d=0的解法
先把方程ax3+bx2+cx+d=0化为x3+px+q=0的形式:
令x=y−b,则原式变成
3a
a(y−b)3+b(y−b)2+c(y−b)+d=0
3a3a3a
2
3
2
a(y3−by
b2y
+−
b)+b(y2−2by+
b)+c(y−b)+d=0
a3a2
27a3
3a9a23a
2
3
2
3
ay3−by2+by−b
+by2−2b
y+b
+cy−bc+d=0
3a27a2
3a9a23a
2
ay3+(c−b
)y+(d+
2b3
−bc)=0
3a27a23a
2
y3+(c−b
)y+(d+
2b3
−bc)=0
a3a2
a27a3
3a2
如此一来二次项就不見了,化成y3+py+q=0,其中p=
cb2
−,
a3a2
q=d+
a
2b3
27a3
−bc。
3a2
对方程y3+py+q=0直接利用卡尔丹诺公式:
y1=3
−q+
2
(q)2
2
+(p)3
3
+3−q−
2
(q)2
2
+(p)3
3
y2=ω⋅3
−q+
2
(q)2
2
+(p)3
3
+ω2⋅3
−q−
2
(q)2
2
+(p)3
3
2
y3=ω⋅3
−q+
2
(q)2
2
+(p)3
3
+ω⋅3
−q−
2
(q)2
2
+(p)3
3
其中ω=−1+
3i。
∆=(q)2+(p)3是根的判别式:
Δ>0时,有一个实根两个虚根;Δ=0时,有
23
三个实根,且其中至少有两个根相等;Δ<0时,有三不等实根。
附:
方程y3+py+q=0
(2)求根公式的推导过程:
不妨设p、q均不为零,令y=u+v
(3)
代入
(2)得,u3+v3+(u+v)(3uv+p)+q=0
(4)
选择u、v,使得3uv+p=0,即uv=−p
3
(5)
代入(4)得,u3+v3=−q
(6)
3
将(5)式两边立方得,u3v3=−p
(7)
27
联立(6)、(7)两式,得关于u3、v3的方程组:
⎧u3+v3=−q
⎪
⎨33
p3,且uv=−p
3
⎪⎩uv=−27
3
于是问题归结于求上述方程组的解,即关于t的一元二次方程t2+qt−p
=0的
27
两根u3、v3。
2
3∆⎛q⎞
⎛p⎞q
设∆=q2+4p
,D=
=⎜⎟+⎜
⎟,T=−,
3
274
⎝2⎠
⎝3⎠2
又记u3的一个立方根为u,则另两个立方根为u
=ωu,u
=ωu,其中ω、ω
1
为1的两个立方虚根。
以下分三种情形讨论:
21132112
1)若∆>0,即D>0,则u3、v3均为实数,可求得u3=T+
D,u3=T−D。
1
取u=3T+
D,v1=T−D,
3
在y=u
+v,(i,j=1,2,3)组成的九个数中,有且只有下面三组满足uv=−p,
ij3
32p
即u1、v1;u2、v3;u3、v2,也就是满足u1v1=u2v3=u3v2=
T−D=−,
3
于是方程
(2)的根为,,,
这时方程
(2)有一个实根,两个共轭虚根,,其表达式就是前面给出的“卡丹公式”的形式,这里的根式及都是在实数意义下的。
2)若,即D=0时,可求得。
取,
同理,可求得
2
3
方程
(2)有三个实根,其中至少有两个相等的实根。
3
⎛p⎞
⎛q⎞
⎛p⎞
•3)若∆<0,即D<0时,因为⎜
⎟=−⎜
⎟<0,∴p<0,⎜
⎟>0,
⎝3⎠
⎝2⎠
⎝3⎠
则u3、v3均为虚数,求出u3、v3,并用三角式表示,就有,
,
其中T,都是实数,
∵
∴
同理,
其中,且
取,,
则
显然,当且仅当取,;,;,
这三组时才满足,
于是方程
(2)得三个实根为,,,
具体表示出来就为:
其中
∴当时,方程
(2)有三个实根。
综上所述,实系数一元三次方程的求根公式如下:
令,,,
,
1)当时,方程有一个实根和两个共轭虚根,
2)当时,方程有三个实根,其中至少有两个相等的实根,
,,
3)当时,方程有三个实根,
,
结论:
一元二次方程求解
1.ax2+bx+c=0,a≠0,⇒x=−b±
b2−4ac
2a
一元三次方程求解
a3
ab2a3
2.x3+ax2+bx+c=0⇔y3+py+q=0
(p=b−,q=c−+,)
3
一元三次方程y3+py+q=0在复数集中的根x1,x2,x3为:
327
其中ω
=(−1+
3)/2;ω
=(−1−
3)/2。
12
一元四次方程求解
3.x4+bx3+cx2+dx+e=0
第一步:
按“一元三次方程求解方法”求出以下方程关于y的解,记为y0:
①
第二步:
将求得的y0代入下式
②解这两个关于x的二次方程,便可得到x4+bx3+cx2+dx+e=0的四个根.
说明:
公式②右边根号内是关于x的完全平方式。
五,n次方程的一般表达式是:
axn+axn−1+⋅⋅⋅+ax+a
=0,a
≠0,
01n−1n0
而f(x)=a0x
n+axn−1
+⋅⋅⋅+an−1x+an称为n次多项式,其中a0≠0。
当系数a0,a1,
1
⋅⋅⋅,an−1,an都是实数时,称f(x)是n次实多项式,当系数中至少有一个为复数时,
称f(x)为n次复系数多项式。
如果存在复数α,使得f(α)=0,就称α是n次方程f(x)=0的一个根,或称为n次多项式f(x)的一个根。
高斯首先证明了“代数基本定理”:
复数域上任一个次数大于零的多项式,至少有一个复数根。
据此推出:
复数域上n次多项式恰有n个复数根,其中k重根以k个根计算。
这一结论也可以用多项式的因式分解语言来叙述:
“复数域上任何n次多项式都可以分解成n个一次式的乘积。
”
在一般情况下,求出精确根是很困难的,只能求得高次方程的根的近似值。
设x*是f(x)的一个精确根,即f(x*)=0,假设问题所要求的精确度为ε,也
就是满足x−x*<ε的x,或满足求近似根的几个常用方法:
方法一:
牛顿切线法
x−x*
x*
<ε的x,
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