经济数学基础33积分完整版电大电大专科考试.docx
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经济数学基础33积分完整版电大电大专科考试
经济数学基础积分学
一、单项选择题
1.在切线斜率为2x的积分曲线族中,通过点(1,4)的曲线为(A).
2
A.y=x+3
B.
x
a
f(x)dxF(x)F(a)
20.下列定积分中积分值为0的是(A)
1
exex
1A.x
12.若(2xk)dx=2,则k=(A).A.12
21.下列无穷积分中收敛的是(C)C.
3.下列等式不成立的是(D
).D.lnxdxd
(1)
x
1
1
dxx2
4.若
f(x)dxe
x
x2
c,则f(x)=(D).
22.下列微分方程中,(D)是线性微分方程.
x
D.ysinxyeylnx
D.1e2
4
5.xd(e)(B)B.xexexc
x
23.微分方程(y)y(y)xy0的阶是(C)C.2
234
6.若
f(x)e
1
x
(x)=(C).dxec,则f
1
x
xsin2x
24.设函数f(x),则该函数是(A).A.
1cosx
奇函数
25.若f(x1)x2x4,则f(x)(A).A.
2
C.12
x
7.若F(x)是f(x)的一个原函数,则下列等式成立的是(B).
x
B.f(x)dxF(x)F(a)
2x2
26.曲线y
a
1
(xsinx)在x0处的切线方程为(A2
1
则f(x)=x
8.下列定积分中积分值为0的是
xx1ee
(A).A.
12x
9.下列无穷积分中收敛的是
1
(C).C.
1x2dx
10.设R(q)=100-4q,若销售量由10单位减少到5单位,则收入R的改变量是(B).B.-35011.下列微分方程中,(D)是线D.ysinxyeylnx
12.微分方程(y)y(y)xy0的阶是(C)C.2
13.在切线斜率为2x的积分曲线族中,通过点(1,3)的曲线为(C).
C.yx2
14.下列函数中,(C)是xsinx的原函
1
数.C.xcosx2
2
15.下列等式不成立的是(D
).D.lnxdxd()
2
2x
A.yx
27.若f(x)的一个原函数是(D).D.
2x3
22x
28.若f(x)dxxec
二、填空题1.de
则
f(x)
C.
2xe2x(1x)
234
x2
dxexdx
2
.
2.函数f(x)sin2x的原函数是-任意常数).
3
.
若
1
cos2x+c(c是2
,
则
f(x)dx(x1)2c
f(x)2(x1).
4
若
f(x)dxF(x)c
则
e
x
f(ex)dx=F(ex)c.
1x
5.
16.若
f(x)dxe
x
x
2
则f(x)=(D)D.c,
12
e4
xx
17.xd(e)(B).B.xeec
x
de2
ln(x1)dx0.1dx1x
dx0.6.1(x21)21
dx是收敛的.(判别其7.无穷积分0(x1)2
18.若
f(x)e
1
x
dxec,则f(x)=
1x
敛散性)
8.设边际收入函数为R(q)=2+3q,且R(0)=0,
1
x2
19.若F(x)是f(x)的一个原函数,则下列等式成立
(C).C.的是(B).
1
3
q.2
32x
9.(y)ey0是2阶微分方程.
则平均收入函数为2+
x3
c.10.微分方程yx的通解是y3
2
xx
11.dedxedx
22
12.(cosx)dx__________________。
答案:
cosxc
⒈
sin
sin
x
1
dx2
⒈解
1
13.函数f(x)=sin2x的原函数是cos2x.
2
x
14.若f(x)dx23xc,则f(x)答案:
2xln23
15.若
1
xdxsin1d
(1)cos1c
xxxx2
2.
22
2
dxx
2
2ln2
2.解
f(x)dxF(x)c,则xf(1x)dx=.
2
2
2
dxx
d(x)
c
答案:
1F(1x2)c
3.xsinxdx3
.
解
de2ln(x1)dx.答案:
01dx1sinx17.dx.答案:
0
1(x21)
16.18.无穷积分19.(y)e阶
2
20.微分方程yx的通解是.答案:
y1x3c
3
xsinxdxxcosxcosxdxxcosxsinxc
4.(x1)lnxdx
4.解(x1)lnxdx=1(x1)2lnx1(x1)dx
2
2
x
2
edx是.答案:
1
-x
2x
y0是阶微分方程.答案:
二
3
21.函数f(x)(-2,-1)U(-1,2].
1
4x2的定义域是
lnx
(2)
2
=1(x22x)lnxxxc
sinmx
22.若lim2,则m4.
x0sin2x
3x
23.已知f(x)x3,则f(3)=ln3.
24.若函数f(x)在x0的邻域-1/2..
1
lim
(1)xex0x
kx
1
(1ex)33
6.
ln30e1
=56
3
(三)判断题1
、
e1
lnxx
e
x
解
e
e
1
1
6..
(×)
12.若函数f(x)在点x0连续,则一定在点x0处可微.(×)
13.
已
知
lnxx
xlnxd(2x)2xlnx2xd(lnx)
1
f(x)xtxan,
2
则
e1
2x
2x
x2
f
1(x)=(√)2
cosx2x
20
1
14、
2dx20218.(×).
15.无穷限积分
2
2
e1
dx4
(√
三、计算题
e是发散的
sinxdxx7.
1
7.解
2
e2
1xlnx
1
x=
e2
1lnx
1
lnx)=
2lnx
8.8
e21
=2(31)
1y21
等式两端积分得ee3xc
23
将初始条件y
(1)
π
20
xcos2xdx
.
代入,得
解
20
xcos2xdx=1xsin2x
2
20
-
1
2sin2xdx=1cos2x22040
111
e3e3c,c=e3236
所以,特解为:
3e
y2
2e3xe3
1
=
2
9.
e1
ln(x1)dx
e1
e1
y
lnx满足yx11的特解.x1
12.解:
方程两端乘以,得
x
12.求微分方程y
9.解法一
即
(y)lnxe11
=e1
(1)dxxx
0x1两边求积分
e1
=e1[xln(x1)]0=lne=1ylnxln2x
dxlnxd(lnx)cxx2解法二令ux1,则
xln2x通解为:
ycx
ln(x1)dxxln(x1)
e1
xxx1
yylnx2xxx
,得
21
0ln(x1)dx1lnuduulnu1uuu由yx11,得c1
2e
=eu1ee11所以,满足初始条件的特解为:
yxlnxx
2
y213.求微分方程ytanxylny的通解.10.求微分方程yx1满足初始条件xdy
13.解将原方程分离变量cotxdx7
ylnyy
(1)的特解.
4
两端积分得lnlny=lnCsinx12
10.解因为P(x),Q(x)x1Csinx
通解为y=ex
e1
e
e
1
e
用公式
ye
xdx
1
[(x1)e
2
xdx
1
dxc]
elnx[(x21)elnxdxc]
x
的通解.lnx11
14.解将原方程化为:
yy,它是一阶
xlnx
14.求微分方程xyy线性微分方程,
P(x)1,Q(x)1
x
lnx
1x4x2x3xc
c][x4242x
由y
(1)11c7,得c1
4
2
1
4
3
所以,特解为yxx1
3
用公式
P(x)dxP(x)dxye[Q(x)edxc]
42x
e
xdx
1
1xdx
[edxc]lnx
lnx
1
11.求微分方程y
ey
2
3x
y
0满足初始条件
e
[
1lnx
edxc]lnx
y
(1)3的特解.
11.解将方程分离变量:
ye
y2
dye3xdx
3
x[
1
dxc]xlnx
x(lnlnxc)
15.求微分方程y2xy的通解.
15.解在微分方程y2xy中,
解:
P(x)1,Q(x)2x
由
通
dx
xx
e
1
11e11121
xlnxdxx3lnxx3xe3x3e3
331x391991
2
ee
解
x
公式
ye
dx
(2xedxc)e(2xedxc)
e(2xe2edxc)e(2xe2ec)
x
x
x
x
x
22.
20
xcosxdx
20
sinxdxcosx02
22
解
(2x2ce)
16.求微分方程xyyxsinx的通解.16.解:
因为P(x)1,Q(x)sinx,由通解公式
x
x
20
2xcosxdx=xsinx0
x26x8
23.lim2
x4x5x4
(x4)(x2)x2422
解:
原式=limlim
x4(x4)(x1)x4x1413
得y
1
dxex(
sinxe
xdx
1
dxc)
x
=e
lnx
(sinxelnxdxc)=1(
x1x0sin2x
x1x1)x1
解:
原式=limlim()
x0x0sin2xx1)sin2xx1
24.lim
xsinxdxc)
=1(xcosxsinxc)
x
17.sinxdx
x
解
1
111lim
x04x1limsin2x21
x02x
25.lim(
x
1
x
sinxx
dx2sinx
12x
dx2sinxdx
x1x
)x3
x
=2cosxc1dx=dx
2x
解:
原式=lim(1
4)x3
经-34
4x4)=lim
(1)
xx3x3
x
经-3-4
4
1-
lim
18.
e
x2dx
1x
1
1
[lim(1
x
]
-431-
x
e
4
26.设yxxlncosx,求dy
3(cosx)3sinx
解:
y(xxlncosx)(x)(lncosx)xx
2cosx2cosx
3sinxdy(x)dx
2cosx27.设yln
11
dxd(lnx)
lnxxlnx1
sin1
x
e11解:
2dxex
(2)dxexd()
xxx
1
11
exc
(2)dxd()
xx
19.
x
1lnx
dx
x2
sin
1
x
,求y.
解:
x
1
1lnx
dx
解:
y(lnx2)(lnx)(212x2x
1
sin1x
sin
1x
x2)
x
sin
1x
lnx
11
(2)dxd()
xx
d(1lnx)
2lnxc
1
ln2sin
x
1
111sinx11ln2cos2ln2cos2
xx2xxx
2
2
xy
20.
e
1
xlnxdx
e
e
e
28.设yy(x)是由方程x3xyy1e隐函数,求y.
确定的
121e211212
解:
xlnxdxxlnxxxex
1221x241112
=(e1)(答案:
4
21.
解:
方程两边对x求导得:
x23xyy21exy
2x3y3xy2yy0exyxy
2x3y3xy2yyexyyxy2x3yyexyy
xexy3x
4
e
1
xlnxdx
2
2
xy
元)
29.设yy(x)是由方程cos(xy)y1e
x
确定的隐函数,求dy.
=x4036
xcos(xy)y21exy解:
方程两边对x求导得:
令C(x)1360,解得x6.
cos(xy)y21exyx2
x=6是惟一的驻点,而该问题确实存在使平
sin(xy)xy2yy1exyxy均成本达到最小的值.所以产量为6百台时可使
xy
sin(xy)yxy2yy0e1y平均成本达到最小.
xy
2.已知某产品的边际成本C(x)=2(元/件),固定成eysin(xy)
y
本为0,边际收益R(x)=12-0.02x,问产量为多少时2yxsinxyexy
利润最大?
在最大利润产量的基础上再生产50件,利
润将会发生什么变化?
10
30.(12x)dx2.解因为边际利润
111L(x)R(x)C(x)=12-0.02x–2=1011
解:
原式=12xd12x12xC
221110-0.02xx11
令L(x)=0,得x=500e
x5ex2d5ex25ex2C31.
x=500是惟一驻点,而该问题确实存在最大值.所5ex
以,当产量为500件时,利润最大.
cosx32.当产量由500件增加至550件时,利润改变量为xdx2cosxdx2sinxC
550550
L(100.02x)dx(10x0.01x2)
又C(x)
x
C(x)dxc0
2
x40x36=
x
1111
xcos2xdxxdsin2xxsin2xsin2xdxxsin2xcos2xc222233.
11
xsin2xcos2xC24
e
e
500500
e15lnx1e12
x15lnxdlnx15lnxd15lnx15lnx134.1x5110
1
15lne2115ln12710102
=500-525=-25(元)
即利润将减少25元.
3.生产某产品的边际成本为C(x)=8x(万元/百台),
边际收入为R(x)=100-2x(万元/百台),其中x为产量,问产量为多少时,利润最大?
从利润最大时的产量再生产2百台,利润有什么变化?
3.解L(x)=R(x)-C(x)=(100–2x)–8x=100–10x
令L(x)=0,得x=10(百台)
又x=10是L(x)的唯一驻点,该问题确实存在最
大值,故x=10是L(x)的最大值点,即当产量为10(百台)时,利润最大.
又
L
35.36.
21
2e1xxedexee21xx1
1
x
1
12
20
xsinxdxxdcosxxcosxcosxdx0sinx1
37.
eeee
lnxdxxlnx1xlnxdxedxex11
1
1
20
20
20
20
12
10
L(x)dx
1210
12
10
(10010x)dx
e
1
(100x5x2)
20
四、应用题
1.投产某产品的固定成本为36(万元),且边际成本
为C(x)=2x+40(万元/百台).试求产量由4百台增至6百台时总成本的增量,及产量为多少时,可使平均成本达到最低.
1.解当产量由4百台增至6百台时,总成本的增量为
C(2x40)dx=(x240x)=100(万
46
4.已知某产品的边际成本为C(x)4x3(万元/百台),x为产量(百台),固定成本为18(万元),求最低平均成本.
4.解:
因为总成本函数为
C(x)(4x3)dx=2x23xc
当x=0时,C(0)=18,得c=18
即C(x)=2x3x18
又平均成本函数为
C(x)18A(x)2x3
x
x
2
6
4
5
令A(x)2180,解得x=3(百台)
x2
该题确实存在使平均成本最低的产量.所以当x=3时,平均成本最低.最底平均成本为
A(3)233189(万元/百台)
3
5.设生产某产品的总成本函数为C(x)3x(万元),
其中x为产量,单位:
百吨.销售x百吨时的边际收入为R(x)152x(万元/百吨),求:
(1)利润最大时的产量;
(2)在利润最大时的产量的基础上再生产1百吨,利润会发生什么变化?
5.解:
(1)因为边际成本为C(x)1,边际利润L(x)R(x)C(x)=14–2x
令L(x)0,得x=7
由该题实际意义可知,x=7为利润函数L(x)的极大值点,也是最大值点.因此,当产量为7百吨时利润最大.
(2)当产量由7百吨增加至8百吨时,利润改变量为L
该题确实存在使平均成本最低的产量.所以当x=3时,平均成本最低.最底平均成本为
A(3)233189(万元/百台)
3
8.生产某产品的边际成本为C(x)=8x(万元/百台),边际收入为R(x)=100-2x(万元/百台),其中x为产量,问产量为多少时,利润最大?
从利润最大时的产量再生产2百台,利润有什么变化?
解:
已知C(x)=8x(万元/百台),R(x)=100-2x,
则L(x)10010x
令L(x)0,解出唯一驻点x10
由该题实际意义可知,x=10为利润函数L(x)
的极大值点,也是最大值点.因此,当产量为10百台时利润最大.
从利润最大时的产量再生产2百台,利润的改变量为
L(10010x)dx(100x5x2)
1012
1210
20022020
8
7
(142x)dx(14xx2)=112–64–
7
8
98+49=-1(万元)
即利润将减少1万元.
6.投产某产品的固定成本为36(万元),且边际成本为C(x)=2x+40(万元/百台).试求产量由4百台增至6百台时总成本的增量,及产量为多少时,可使平均成本达到最低.
解当产量由4百台增至6百台时,总成本的增量为C6(2x40)dx=(x240x)6=100(万
(万元)
即利润将减少20万元.
9.设生产某产品的总成本函数为C(x)3x(万
元),其中x为产量,单位:
百吨.销售x百吨时的边际收入为R(x)152x(万元/百吨),求:
(1)利润最大时的产量;
(2)在利润最大时的产量的基础上再生产1百吨,利润会发生什么变化?
解:
(1)因为边际成本为C(x)1,边际利润L(x)R(x)C(x)=14–2x
令L(x)0,得x=7
由该题实际意义可知,x=7为利润函数L(x)的极大值点,也是最大值点.因此,当产量为7百吨时利润最大.
(2)当产量由7百吨增加至8百吨时,利润改变量为
L
4
4
元)
又C(x)
=x4036
x
x
C(x)dxc0
x
2
=x40x36
x
令C(x)1360,解得x6.
2
x
8
7
(142x)dx(14xx2)
87
=112–64–
x=6是惟一的驻点,而该问题确实存在使平均成
本达到最小的值.所以产量为6百台时可使平均成本达到最小.
7.已知某产品的边际成本为C(x)4x3(万元/百
台),x为产量(百台),固定成本为18(万元),求最低平均成本.
解:
因为总成本函数为
C(x)(4x3)dx=2x23xc
98+49=-1(万元)
即利润将减少1万元.
当x=0时,C(0)=18,得c=18即C(x)=2x23x18
又平均成本函数为A(x)C(x)2x318
x
x
令A(x)218
x2
0,解得
x=3(百台)
6
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