公考行测数量关系概率问题.docx
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公考行测数量关系概率问题.docx
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公考行测数量关系概率问题
1.一个由4个数字(0—9之间的整数)组成的密码,每连续两位都不相同,问任意猜一个符合该规律的数字组合,猜中的密码的概率为:
猜中密码的数字组合数为1;符合规律的数字组合,要求连续两位都不相同,需分步考虑;千位有10种选择,百位不能与千位相同,故只有9种选择,同理,十位和个位均为9种选择,根据乘法原理,总的方法数为
,所以猜中的概率为
。
2.将自然数1—100分别写在完全相同的100卡片上,然后打乱卡片,先后随机取出4,问这4先后取出的卡片上的数字呈增序的几率是多少?
( )
从100中随机抽到4,这4大小不等,随机排列共有
种方法;其中符合增序的排列只有1种,可得概率为
。
3.某篮球队12个人的球衣是从4到15的自然数,如从中任意选出3个人参加三对三篮球赛,则选出的人中至少有两人的球衣是相邻自然数的概率为多少:
此题属于概率问题,正面思考较为复杂,需逆向思考。
题目要求求出至少两人球衣是相邻数的概率是多少,则其反面即为3个数字都不相邻的概率是多少。
不相邻问题需要用到插空法,选出3个数字后还剩9个,可以产生10个空隙,选3个空插进去即有
。
总的情况数为12个选3个,有
。
古典型概率,其概率为
。
则题干中所要求至少2个相邻的概率为
。
4.两支篮球队打一个系列赛,三场两胜制,第一场和第三场在甲队的主场,第二场在乙队的主场。
已知甲队主场赢球概率为0.7,客场赢球概率为0.5。
问甲队赢得这个系列赛的概率为多少:
首先应分类讨论甲队赢得系列赛的情况数,可知甲队赢得系列赛有两种情况:
比赛前二场赢得系列赛或比赛三场赢得系列赛。
比赛前二场均胜利的概率为:
;比赛三场赢得系列赛,可分为二种情况,仅输第一场或仅输第二场,其概率分别为:
,
,则甲队赢得系列赛的总概率为:
。
5.央视“出彩中国人”节目中有三位嘉宾为选手进行投票,获得1票以上者方可进入下一轮,则选手进入下一轮的概率为:
“获得1票以上者方可进入下一轮”,意为必须拿到两票或两票以上才能进入下一轮。
每一位嘉宾的投票均包括给票或不给票两种可能,则:
获得两票的概率为:
×
×
×
=
;获得三票的概率为:
×
×
=
。
则进入下一轮的概率为:
+
=
。
6.10卡片上分别写着从1到10的自然数,小王和小分别从中抽出两卡,并计算其中较大数字除以较小数字的结果,小王先抽,他抽到的卡片是3和9,小在剩下卡片中抽取,计算出的结果比小王计算的结果大的概率:
小王抽取的卡片数字为3和9,二者之商为3,小要在剩下的卡片中抽出两卡片数字之商大于3,有以下两种情况:
当抽取的其中一卡片数字为1时,另一卡片可以为:
4、5、6、7、8、10,共6种情况;
当抽取的其中一卡片数字为2时,另一卡片可以为:
7、8、10,共3种情况;
在剩下的8卡片中随机抽取2,共
种情况。
故小的计算结果大于小王的概率为:
。
7.学校要举行夏令营活动,由于名额有限,需要在符合条件的5个同学过抓阄的方式选择出两个同学去参加此次活动。
于是班长就做了5个阄,其中两个阄上写有“去”字,其余三个阄空白,混合后5个同学依次随机抓取。
计算第二个同学抓到“去”字阄的概率为:
第二位同学抓到“去”字阄共有两种情况:
①:
当第一位同学抓到的为“去”字阄时,第二位同学抓到“去”字阄的概率为:
;
②:
当第一位同学抓到的为空白阄时,第二位同学抓到“去”字阄的概率为:
;
则第二位同学抓到“去”字阄的概率为
。
8.某次投资活动中在三个箱子中均放有红、黄、绿、蓝、紫、橙、白、黑8种颜色的球各一个。
奖励规则如下:
从三个箱子分别摸出一个球,摸出的3个球均为红球得一等奖,摸出的3个球至少有一个绿球得二等奖,摸出的3个球均为彩色球(黑、白除外)得三等奖,那么不中奖的概率是:
方法一:
考虑中一等奖和三等奖的情况,则抽出的小球均为除黑白绿的球,8个球除了黑白绿还剩下5个球,故中一和三等奖的情况数=
种; 考虑中二等奖情况数,至少有一个绿球的反面为所抽中的球没有1个是绿球,其情况数=
;
则中一、二、三等奖总的情况数=
,总的情况数为
=512种,
则可得不中奖的概率=
。
方法二:
根据题意,可得若抽到的3个小球中无绿球且有黑白球则不中奖,分情况讨论:
若3个球全是黑白球,概率
;若3个球中2个是黑白球,1个球是其他球(即非黑白非绿),概率
;若3个球中1个是黑白球,2个球是其他球(即非黑白非绿),概率
;则不中奖的概率=
。
9.小和小参加七局四胜的飞镖比赛,两人水平相当,每局赢的概率都是
。
如果小已经赢2局,小已经赢1局,最终小获胜的概率是?
根据题干两人每局赢的概率都是
,则小每局赢的概率都是
。
小已经赢2局,小已经赢1局,则还剩4局。
小要获胜,只需在剩余的四局里赢下两局即可。
分三种情况讨论:
① 比赛进行5局结束,小赢下第4、5局,概率=
② 比赛进行6局结束,小在第4、5局中赢1局,概率=
③ 比赛进行7局结束,小在第4、5、6局中赢1局,概率=
3/16
小获胜包含以上三种情况,则小获胜的概率为P=
+
+3/16
。
10.箱子中有编号1~10的10个小球,每次从中抽出一个记下编号后放回,如果重复3次,则3次记下的小球编号乘积是5的倍数的概率是多少:
若3次记下的小球编号乘积是5的倍数,则至少有一次需要抽到5或10。
其反向为3次抽出的都不是5或10,这种情况的概率为
。
故3次记下的小球编号乘积是5的倍数的概率为
。
11.在一次产品质量抽查中,某批次产品被抽出10件样品进行检验,其中恰有两件不合格品,如果对这10件样品逐件进行检验,则这两件不合格品恰好在第五次被全部检出的概率是:
因两件不合格品需要在第五次恰好检查出来,则需要在前四次中检查出一件,第五次检查出一件。
因第五次是固定的,则只考虑到前四次检查即可,共有
种可能。
在全部的10件样品中共有两件次品检查出共有
种可能。
故恰好在第五次检查出的概率=
,故正确答案为A。
12.小王和小各加工了10个零件,分别有1个和2个次品。
若从两人加工的零件里各随机选取2个,则选出的4个零件中正好有1个次品的概率为:
由于只有1个次品,那么次品归属为谁,就应该分两种情况讨论。
第一种情况,次品为小王的。
那么从小王的9个正品选1个再从1个次品中选一个有
种情况,从小的8个正品中选2个有
种情况,二者相乘为252种情况;第二种情况,次品为小的。
那么从小的8个正品选1个再从2个次品中选一个有
种情况,从小王的9个正品中选2个有
种情况,二者相乘为576种情况;所以最终将2种情况相加得到828种情况。
再计算总的情况,每人都从10个里面取2个有
种情况,所以二者相乘一共有45×45=2025种情况,最后得出
13.某彩票设有一等奖和二等奖,其玩法为从10个数字中选出4个,如果当期开奖的4个数字组合与所选数字有3个相同则为二等奖,奖金为投注金额的3倍,4个数字完全相同则为一等奖。
为了保证彩票理论中奖金额与投注金额之比符合国家50%的规定,则一等奖的奖金应为二等奖的多少倍:
10个数字中选出4个,恰有3个相同中二等奖,则二等奖中奖的情况数有24种。
恰有4个相同中一等奖,一等奖中奖的情况数有
种,随机选出4个数字的总情况数有
种。
设一等奖的奖金为
,赋值每注彩票的投注金额为1,则二等奖的奖金为3,
则
,解得
。
一等奖的奖金是二等奖的
倍。
14.掷两个骰子,掷出的点数之和为奇数的概率为P1,掷出的点数之和为偶数的概率为P2,问P1和P2的大小关系?
掷出点数之和为偶数的情况共两种:
(奇数+奇数)或(偶数+偶数)。
(奇数+奇数)的概率=
;(偶数+偶数)的概率=
。
则掷出点数之和为偶数的总概率
。
那么掷出点数之和为奇数的概率
。
15.某学校要举行一次会议,为了让参会人员正确到达开会地点,需要在途经路上的20棵树上放置3个指示牌,假如树的选择是随机的,那么,3个指示牌等距排列(即相邻两个指示牌间隔的树的数目相同)的概率为
设树的编号分别为1-20,要使3个指示牌等距排列,则三个指示牌所放置的树的编号应成等差数列。
假设满足条件放置的树的编号为a、b、c,则2b=a+c,因b的值由a、c两值决定,故可不用考虑。
2b为偶数,则a与c必定同奇或同偶,故分别从1、3、……、19或2、4、……、20中选出两项分别作为等差数列的首尾两项即可。
从10个奇数列中选出两个共
=45种选法,从10个偶数列中选出两个共
=45种选法,则满足的情况数=45×2=90。
总情况数为从20个数值当中选出3个,共有
=1140种选法。
则满足情况的概率=90÷1140=3/38≈8%
16.在小等车期间,有豪华型、舒适型、标准型三种旅游车随机开过。
小不知道豪华型的标准,只能通过前后两辆车进行对比。
为此,小采取的策略是:
不乘坐第一辆,如果发现第二辆比第一辆更豪华就乘坐;如果不是,就乘坐最后一辆。
那么,他能乘坐豪华型旅游车的概率是:
设标准型、舒适型、豪华型三种旅游车的代号分别为A、B、C。
则三辆车依次通过的顺序有ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA六种。
按照小的策略,第一辆车不坐,如果第二辆车比第一辆豪华就坐,则ACB、BCA两种情况可以坐到豪华车;反之坐最后一辆,则BAC一种情况可以坐到豪华车。
共有6种情况,其中有3种情况可以坐到豪华车,故可以坐到豪华车的概率
。
17.甲、乙、丙三人打羽毛球,甲对乙、乙对丙和甲对丙的胜率分别为60%、50%和70%。
比赛第一场甲与乙对阵,往后每场都由上一场的胜者对阵上一场的轮空者。
则第三场比赛为甲对丙的概率比第二场
已知第二场比赛为甲对丙的前提为第一场比赛甲对乙时,甲胜乙负,获胜概率为
;第三场比赛为甲对丙的前提是,第二场比赛不能为甲对丙,故第一场比赛甲不能胜,则第一场甲负乙胜,概率为
,第二场比赛乙对丙,且乙负丙胜,概率为
,
。
,即低40个百分点。
18.某种密码锁的界面是一组汉字键,只有不重复并且不遗漏地依次按下界面上的汉字才能打开,其中只有一种顺序是正确的。
要使得每次对密码锁进行破解的成功率在万分之一以下,则密码锁的界面至少要设置多少个汉字键?
设有N个汉字键,汉字不重复,则情况总数为全排列
,
一种顺序是正确的即表明符合条件数为1,则概率
,
>10000,即N!
>10000,代入选项,当N≥8时满足,也就是说至少需要设置8个汉字键。
19.甲、乙两名实力相当(即每一局两人中任意一人获胜的概率相同)的棋手进行7局4胜制的比赛,前3局赛完后,甲以2:
1领先于乙,那么甲获得最后胜利的概率是多少?
甲乙两人实力相当,则每局比赛获胜的概率都为
。
甲最终获胜的概率=1-乙最终获胜的概率。
乙若想取得最终的胜利,则需在剩下的四场比赛中至少赢得3场。
可分为以下4种情况:
(1)剩下4局比赛乙赢得前3局,其概率=
;
(2)剩下4局比赛乙输掉第1局,剩下的3局获胜,其概率=
;
(3)剩下4局比赛乙输掉第2局,剩下的3局获胜,其概率=
;
(2)剩下4局比赛乙输掉第3局,剩下的3局获胜,其概率=
;
故乙获胜的概率=
,
甲获胜的概率=1-
=
。
20.某种福利彩票有二处刮奖区,刮开刮奖区会显示数字1、2、3、4、5、6、7、8、 9、 0中的一个,当二处刮奖区所显示数字之和等于8时才为中奖,则这种福利彩票中奖概率为
数字之和为8的二处数字组合情况为(0,8),(1,7),(2,6),(3,5),(4,4);满足条件的情况数为
总情况数为10*10=100,
故中奖概率为
。
21.某单位从10名员工中随机选出2人参加培训,选出的2人全为女性的概率正好为
。
则如果选出3人参加培训,全为女性的概率在以下哪个围?
由于10人中随机选取两名均为女性的概率为
,因此设女性共有
人,则有
解得
,于是10人中有6名女性,那么选出3人全为女性的概率为
。
22.非高峰时段,地铁每8分钟一班,在车站停靠1分钟,则乘客到达站台2分钟能乘上地铁的概率为 。
地铁8分钟一趟,则以每8分钟为一个周期进行考虑。
最早在地铁到来前2分钟到达地铁站,则2分钟地铁到达时可乘车;
最晚在地铁到达后1分钟到达地铁站,也可以赶上本趟地铁。
前后一共3分钟的时间可以乘坐地铁。
综上所述:
每8分钟有3分钟可以坐上车,坐上车的概率为
。
23.某市举行“新春杯”足球比赛,对16支参赛队伍进行小组赛分组抽签。
抽签箱中分别装有红、黄、绿、蓝的小球各四个,抽到相同颜色小球的队伍进入同一小组。
则第一支抽签队伍与第二支抽签队伍被分在同一小组的概率为()。
因为抽签箱中共有4个颜色的球各4个,则箱子中共有16个球。
前两支队伍抽签的情况总数为
;分在同一小组的情况时,第一支队伍有
种选择,第二支队伍只能从第一支队伍选择的颜色所剩余的3个球中选1个,同一组的情况数为
。
第一支抽签队伍与第二支抽签队伍被分在同一小组的概率为
。
24.从两双完全相同的鞋中,随机抽取一双鞋的概率是:
两双相同的鞋子一共四只,则从四只里选出两只,
总数为
满足条件的一双鞋则是左脚一只,右脚一只。
左脚一共两只,选其中一只是
种情况,同理右脚也是两种情况,分步用乘法,
种。
所以
。
25.亲子班上5对母子坐成一圈,孩子都挨着自己的母亲就坐。
问所有孩子均不相邻的概率在以下哪个围?
因“所有的孩子都挨着自己的母亲就座”,在此条件下,总情况数=
。
当所有孩子均不相邻,其情况数
。
故所有孩子均不相邻的概率
。
26.某种商品出厂编号的最后三位为阿拉伯数字。
现有出厂编号最后三位为001~100的产品100件,从中任意抽取1件,出厂编号后三位数字之和为奇数的概率比其为偶数的概率:
根据题意可知:
,总情况数为100种。
三位数字之和为奇数的情况有:
所以,加和为奇数的情况数为
种,则加和为偶数情况数为
种。
故出厂编号后三位数字之和为奇数的概率比其为偶数的概率高
。
27.甲、乙、丙三个单位各派2名志愿者参加公益活动,现将这6人随机分成3组,每组2人,则每组成员均来自不同单位的概率是:
6个人随机分成3组,总数为
种情况。
每组成员来自不同的单位,正向考虑情况数较多,故反向考虑,即考虑每组成员来自相同的单位。
第一类情况:
只有一组来自同一单位。
设甲1甲2同一单位,则剩下的两组可能有两种情况:
乙1丙1和乙2丙2;乙1丙2和乙2丙1。
满足的情况数为
种。
第二类情况:
有两组来自同一单位,而剩下一组也一定来自同一单位,即三组均来自同一单位,共1种情况。
则
,所求每组成员均来自不同单位的概率
。
28.汽博会开幕在即,甲、乙、丙三个人得到了两参观票,于是三个人通过抽签决定这两票的归属。
在所设计的三个签中有两个签上写着“有”,一个签上写着“无”,抽签顺序是甲先、乙次、丙最后抽取。
如果乙已经抽到了参观票,则甲也抽到参观票的概率是:
由于乙已经确定“有”,在剩下的两票(一“有”和一“无”)中,甲中奖的概率就是
。
20.某单位有3项业务要招标,共有5家公司前来投标,且每家公司都对3项业务发出了投标申请,最终发现每项业务都有且只有1家公司中标。
如5家公司在各项业务中中标的概率均相等,问这3项业务由同一家公司中标的概率为多少:
概率=
,则这3项业务由同一家公司中标的概率=
。
29.某商店促销,购物满足一定金额可进行摸球抽奖,中奖率
。
规则如下:
抽奖箱中有大小相同的若干个红球和白球,从中摸出两个球,如果都是红球,获一等奖;如果都是白球,获二等奖;如果是一红一白,获三等奖。
假定一、二、三等奖的概率分别为0.1、0.3、0.6,那么抽奖箱中球的个数为:
方法一:
根据条件,设箱一共有小球
个,其中红球
个。
若从中摸出两个都是红球,则获一等奖,其概率为0.1。
,化简后得:
。
代入选项:
A项:
当
时,解得
;B项:
当
时,解得
不为整数,排除;
C项:
当
时,解得
不为整数,排除;D项:
当
时,解得
不为整数,排除。
满足条件的只有A项。
方法二:
一等奖的概率为0.1即
,说明总情况数(即摸出2个球的情况数)一定是10的倍数。
设球的个数为n,则总情况数
是10的倍数,代入选项,只有当n=5时满足。
30.甲和乙进行打靶比赛,各打两发子弹,中靶数量多的人获胜。
甲每发子弹中靶的概率是60%,而乙每发子弹中靶的概率是30%。
则比赛中乙战胜甲的可能性为:
方法一:
根据题意,乙战胜甲,包含两种情况:
(1)乙命中两次,而甲命中少于两次。
乙命中两次的概率为:
,甲命中少于两次的概率为:
,根据乘法原理有
。
(2)乙命中一次,甲没有命中。
乙命中一次的概率为:
,甲没有命中的概率为:
,根据乘法原理有
。
两种情况相加:
,在
之间。
方法二:
分类思想:
(全概率公式)乙战胜甲的概率
乙中
(甲中
甲中
)
乙中
(甲中
)=
。
31.一位乒乓球学员手中拿着装有7只乒乓球的不透明口袋,其中3只黄球,4只白球。
他随机取出一只乒乓球,观察颜色后放回袋中,同时放入2只与取出的球同色的球。
这样连续取2次,则他取出的两只球中第1次取出的是白球,第2次取出的是黄球的概率是
原有7只乒乓球,其中4只白球,则第一次取出白球的概率为
,然后将2只白球放入袋中,此时共有乒乓球
只,黄球3只,第二次取出黄球的概率为
。
分步用乘法,则题目所求的概率为
。
32.某单位原有几十名职员,其中有14名女性。
当两名女职员调出该单位后,女职员比重下降了3个百分点。
现在该单位需要随机选派两名职员参加培训,问选派的两人都是女职员的概率在以下哪个围?
方法一:
假设单位原有
人,则根据题目条件得到
,去分母可得
,化简得
,因此
或
,则
或
。
只能为整数,所以
,题目所求
。
方法二:
假设单位原有
人,则根据题目条件得到
,直接求解比较复杂,题干中表述“某单位原有几十名职员”,一般在数学上“几十”的描述为整十的数,又“其中有14名女性”,则单位原有人数至少为20人,代入发现不满足方程;同理排除30和40。
代入50时,左边为
,正好等于右边
,则单位原有人数为50人。
题目所求概率为
。
33.将分别为1、2、…6的6个小球放入一个袋中,这些小球仅不同,其余完全相同。
首先,从袋中摸出一个球,为
;放回后,再从此袋再摸出一个球,其为
,则使不等式
成立的事件发生的概率为:
,由于是有放回摸球,所以全部情况有
种。
满足情况为
,整理得:
,情况如下:
当
时,
,满足的只有1。
当
时,
,满足的只有1。
当
时,
,满足的有1和2。
当
时,
,满足的有1和2。
当时,
,满足的有1、2和3。
当
时,
,满足的有1、2和3。
一共有12种情况满足,因此
。
34.某工厂的产品有7家代理商,如果以满意度最高为7分,满意度最低为1分,7家代理商对工厂的满意度正好是1分到7分的不同整数值。
如从中任意选择3家代理商进行调查,其对工厂满意度的平均值与所有代理商满意度平均值相差小于1的概率为
根据题意,共有7家代理商,从中任取3家,总的情况数为
。
7家代理商满意度平均值为
分,要使从中任取3家代理商对工厂满意度的平均值与所有代理商满意度平均值相差小于1分,则被抽出的3家代理商对工厂满意度的平均值应大于3分,小于5分,即其总分应大于9分,小于15分。
正向考虑,情况较多,从反面进行枚举,即被抽出的3家代理商对工厂满意度总分小于等于9分或大于等于15分。
小于等于9分的情况有(1,2,3)、(1,2,4)、(1,2,5)、(1,2,6)、(1,3,4)、(1,3,5),(2,3,4),共7种;大于等于15分的情况有(2,6,7)、(3,5,7)、(3,6,7)、(4,5,6)、(4,5,7)、(4,6,7)、(5,6,7),共7种。
则满足题意的情况数为
种,所求概率
。
35.一副卡牌上面写着1到10的数字,甲和乙从中分别随机抽取三牌,并比较其中较大的两牌的牌面之积,数字大的人获胜。
甲先抽出三牌,上面的数字分别是2、6和8,问乙从剩下的牌中抽取三牌的话,其胜过甲的概率:
。
总数为乙从剩下的七牌中抽取三牌,
。
满足条件的数为两牌的乘积大于
,分情况:
①较大两个取10和9,剩下一个从1、3、4、5、7中取,共5种情况;
②较大两个取10和7,剩下一个从1、3、4、5中取,共4种情况;
③较大两个取10和5,剩下一个从1、3、4中取,共3种情况;
④较大两个取9和7,剩下一个从1、3、4、5中取,共4种情况;
则满足条件数共计
种。
则乙胜过甲的概率
36.某单位工会组织桥牌比赛,共有8人报名,随机组成4队,每队2人。
那么,小王和小恰好被分在同一队的概率是:
方法一:
若小王和小恰好被分在某队,这队人选总情况数的为
种,则小王小刚好分在这一队概率为
。
由于一共有4队,所以小王和小可以在4队中任意一队,故所以小王和小恰好被分在同一队的概率是
。
方法二:
若小王分到任意一队,则从其余7个人中抽1个人与小王同队,正好抽到小的概率为
。
37.某单位的会议室有5排共40个座位,每排座位数相同。
小和小随机入座,则他们坐在同一排的概率:
从40个座位中选2个座位,由小和小随机入座,总的情况数为
。
要让他们恰好坐在同一排,应先从5排中选一排,再从这一排中选2个座位,符合条件的情况为
。
满足情况的概率
,在
到
之间。
38.将一长度为
的线段任意截成三段,设
为所截的三线段能构成三角形的概率,
为所截的三线段不能构成三角形的概率,则下列选项正确的是:
方法二:
由三角形定理“两边之和大于第三边”,可得:
当其中一边长度
时,不能构成三角形。
在这条线段上,先任取一个截点,那么第二个截点与其位于中点同侧或不同侧的概率均为
,分类讨论如下:
当第二个截点与第一个截点在同侧时,两个截点中的任意一个与另一侧的端点之间的距离必然
,不能构成三角形,即
;
当第二个截点与第一个截点在不同侧时,有可能两个截点之间的长度
,如下图所示,此时截成的三条线段将无法构成三角形,即
。
综合以上两种情况,
,而
,则
。
39.某军训部队到打靶场进行射击训练,队员甲每次射击的命中率为50%,队员乙每次射击的命中率为80%,教练规定今天的训练规则是,每个队员射击直到击中一靶一次则停止射击,则队员甲今天平均射击次数:
期望是1,根据期望公式,甲平均射击次数为
。
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