高考数学总复习版人教B版高届高级第二章函数第3节 函数的奇偶性与周期性.docx
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高考数学总复习版人教B版高届高级第二章函数第3节函数的奇偶性与周期性
第3节 函数的奇偶性与周期性
考试要求 1.结合具体函数,了解奇偶性的概念和几何意义;2.结合三角函数,了解周期性的概念和几何意义.
知识梳理
1.函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
奇函数
设函数y=f(x)的定义域为D,如果对D内的任意一个x,都有-x∈D,且f(-x)=-f(x),则这个函数叫做奇函数
关于原点对称
偶函数
设函数y=g(x)的定义域为D,如果对D内的任意一个x,都有-x∈D,且g(-x)=g(x),则这个函数叫做偶函数
关于y轴对称
2.函数的周期性
(1)周期函数:
对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期.
(2)最小正周期:
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
[常用结论与微点提醒]
1.
(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义,即f(0)有意义,那么一定有f(0)=0.
(2)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|).
2.奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性.
3.函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x:
(1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a>0).
(2)若f(x+a)=
则T=2a(a>0).
(3)若f(x+a)=-
则T=2a(a>0).
(4)若f(x+a)+f(x)=c,则T=2a(a>0,c为常数).
4.对称性的三个常用结论
(1)若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称.
(2)若对于R上的任意x都有f(2a-x)=f(x)或f(-x)=f(2a+x),则y=f(x)的图象关于直线x=a对称.
(3)若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)的图象关于点(b,0)中心对称.
诊断自测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数y=x2在x∈(0,+∞)时是偶函数.( )
(2)若函数f(x)为奇函数,则一定有f(0)=0.( )
(3)若T是函数的一个周期,则nT(n∈Z,n≠0)也是函数的周期.( )
(4)若函数f(x)满足关系f(a+x)=-f(b-x),则函数f(x)的图象关于点
对称.( )
解析
(1)由于偶函数的定义域关于原点对称,故y=x2在(0,+∞)上不具有奇偶性,
(1)错.
(2)由奇函数定义可知,若f(x)为奇函数,其在x=0处有意义时才满足f(0)=0,
(2)错.
答案
(1)×
(2)× (3)√ (4)√
2.(新教材必修第一册P109A2改编)下列函数中为偶函数的是( )
A.y=x2sinxB.y=x2cosx
C.y=|lnx|D.y=2-x
解析 根据偶函数的定义知偶函数满足f(-x)=f(x)且定义域关于原点对称,A选项为奇函数;B选项为偶函数;C选项定义域为(0,+∞),不具有奇偶性;D选项既不是奇函数,也不是偶函数.
答案 B
3.(老教材必修4P42例4改编)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数,当x∈
[-1,1)时,f(x)=
则f
=________.
解析 由题意得,f
=f
=-4×
+2=1.
答案 1
4.(2020·济南一中月考)已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么a+b的值是( )
A.-
B.
C.
D.-
解析 由题意,得b=0,且2a=-(a-1),解得a=
则a+b=
.
答案 B
5.(2019·全国Ⅱ卷)设f(x)为奇函数,且当x≥0时,f(x)=ex-1,则当x<0时,f(x)=( )
A.e-x-1B.e-x+1
C.-e-x-1D.-e-x+1
解析 由题意知,当x<0时,f(x)=-f(-x)=-(e-x-1)=-e-x+1.
答案 D
6.(2020·衡水中学调研)已知定义在R上的偶函数f(x),满足f(x+2)=f(x),当x∈[0,1]时,f(x)=ex-1,则f(-2017)+f(2018)=________.
解析 由f(x+2)=f(x)可知,函数f(x)的周期为2,又f(x)为偶函数,∴f(-2017)+f(2018)=f(-2016-1)+f(0)=f(-1)+f(0)=f
(1)+f(0)=e-1.
答案 e-1
考点一 函数的奇偶性及其应用
多维探究
角度1 函数奇偶性的判断
【例1-1】判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=
+
;
(2)f(x)=
;
(3)f(x)=
(4)f(x)=log2(x+
).
解
(1)由
得x2=3,解得x=±
即函数f(x)的定义域为{-
},
从而f(x)=
+
=0.
因此f(-x)=-f(x)且f(-x)=f(x),
∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数.
(2)由
得定义域为(-1,0)∪(0,1),关于原点对称.
∴x-2<0,∴|x-2|-2=-x,∴f(x)=
.
又∵f(-x)=
=-
=-f(x),
∴函数f(x)为奇函数.
(3)显然函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.
∵当x<0时,-x>0,
则f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-f(x);
当x>0时,-x<0,
则f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-f(x);
综上可知:
对于定义域内的任意x,总有f(-x)=-f(x)成立,∴函数f(x)为奇函数.
(4)显然函数f(x)的定义域为R,
f(-x)=log2(-x+
)=log2(
-x)
=log2(
+x)-1=-log2(
+x)=-f(x),
故f(x)为奇函数.
规律方法 判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条件:
(1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以首先考虑定义域;
(2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系,在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立.
角度2 函数奇偶性的应用
【例1-2】
(1)若函数f(x)=
在区间[-3,5]上的最大值、最小值分别为p,q,则p+q的值为( )
A.2B.1C.6D.3
(2)已知f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x+m,则f(-3)=________.
解析
(1)因为f(x)=
=3-
所以f(x)-3=-
∴f(t+1)-3=-
t∈[-4,4].
又f(t+1)-3为奇函数,所以它在区间[-4,4]上的最大值、最小值之和为0,也就是p-3+q-3=0,所以p+q=6.
(2)因为f(x)为R上的奇函数,所以f(0)=0,
即f(0)=20+m=0,解得m=-1.
故f(x)=2x-1(x≥0),
则f(-3)=-f(3)=-(23-1)=-7.
答案
(1)C
(2)-7
规律方法 利用函数奇偶性可以解决以下问题:
(1)求函数值:
将待求值利用奇偶性转化为求已知解析式的区间上的函数值.
(2)求解析式:
将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上,再利用奇偶性的定义求出.
(3)求解析式中的参数:
利用待定系数法求解,根据f(x)±f(-x)=0得到关于参数的恒等式,由系数的对等性得方程(组),进而得出参数的值.
(4)画函数图象:
利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象.
(5)求特殊值:
利用奇函数的最大值与最小值之和为零可求一些特殊结构的函数值.
【训练1】
(1)(角度1)设函数f(x)=
+b(a>0且a≠1),则函数f(x)的奇偶性( )
A.与a无关,且与b无关B.与a有关,且与b有关
C.与a有关,但与b无关D.与a无关,但与b有关
(2)(角度2)若f(x)=ln(e3x+1)+ax是偶函数,则a=________.
解析
(1)f(-x)=
+b=
+b≠f(x),
所以f(x)一定不是偶函数;
设f(x)为奇函数,则由奇函数的定义知f(-x)+f(x)=0.
即
+b+
+b=
+2b=-2+2b=0,解得b=1,
即当b=1时,f(x)为奇函数,
当b≠1时,f(x)为非奇非偶函数,
所以f(x)的奇偶性与a无关,但与b有关.
(2)由于f(-x)=f(x),
即ln(e-3x+1)-ax=ln(e3x+1)+ax,
化简得2ax+3x=0(x∈R),则2a+3=0,
解得a=-
.
答案
(1)D
(2)-
考点二 函数的周期性及其应用
【例2】
(1)已知函数f(x)对任意x∈R,都有f(x+2π)=f(x),当x∈(0,π)时,f(x)=2sin
则f
=( )
A.
B.
C.1D.
(2)已知函数f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数,且当x∈(1,4]时,f(x)=3x-1,则f
(1)+f
(2)+f(3)+…+f(100)=________.
解析
(1)因为f(x+2π)=f(x),所以f(x)的周期为2π.
所以f
=f
=f
=f
又因为当x∈(0,π)时,f(x)=2sin
所以f
=2sin
=1.
(2)由题意,得f
(1)=f(4)=11,f
(2)=5,f(3)=8.
故f
(1)+f
(2)+f(3)=24,
所以f
(1)+f
(2)+f(3)+…+f(100)=33×[f
(1)+f
(2)+f(3)]+f(33×3+1)=803.
答案
(1)C
(2)803
规律方法 1.注意周期性的常见表达式的应用.
2.根据函数的周期性,可以由函数局部的解析式(或函数值)得到整个定义域内的解析式(或相应的函数值).
【训练2】
(1)已知定义在R上的函数f(x)满足f
(2)=2-
且对任意的x都有f(x+2)=
则f(2020)=________.
(2)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,且当0≤x<2时,f(x)=x3-x,则函数y=f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为________.
解析
(1)由f(x+2)=
得f(x+4)=
=f(x),所以函数f(x)的周期为4,所以f(2020)=f(4).又f
(2)=2-
所以f(4)=-
=-
=-2-
.故f(2020)=-2-
.
(2)因为当0≤x<2时,f(x)=x3-x.又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,且f(0)=0,
则f(6)=f(4)=f
(2)=f(0)=0.
又f
(1)=0,∴f(3)=f(5)=f
(1)=0,
故函数y=f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点有7个.
答案
(1)-2-
(2)7
考点三 函数性质的综合运用
多维探究
角度1 函数的单调性与奇偶性
【例3-1】
(1)已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为( )
A.a
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