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北师大版数学六年级知识点整理
第一单元圆
圆概念总结
1.圆的定义:
平面上的一种曲线图形。
2.将一张圆形纸片对折两次,折痕相交于圆中心的一点,这一点叫做圆心。
圆心一般
用字母O表示。
它到圆上任意一点的距离都相等。
例:
圆是平面上的一种(曲线)图形,将一张圆形纸片至少对折(两)次
可以得到这个圆的圆心。
3.半径:
连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。
半径一般用字母r表示。
把圆规
两脚分开,两脚之间的距离就是圆的半径。
例:
要画一个周长是31.4厘米的圆,圆规两角之间的距离是(5)厘米。
4.圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小。
例:
(半径)决定圆的大小;(圆心)决定圆的位置。
5.直径:
通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。
直径一般用字母表示。
d
例:
圆中最长的线段是圆的(直径)。
6.在同一个圆内,所有的半径都相等,所有的直径都相等。
7.在同一个圆内,有无数条半径,有无数条直径。
例:
圆有(无数)条半径,(无数)条直径,(无数)条对称轴。
8.在同一个圆内,直径的长度是半径的2倍,半径的长度是直径的一半。
1=2rrd=d用字母表示为:
2=直径÷2直径=半径×2用文字表示为:
半径
2)厘米。
4厘米的圆,那么圆规两脚间的距离应该是(例:
画一个直径
9.圆的周长:
围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。
10.圆的周长总是直径的3倍多一些,这个比值是一个固定的数。
我们把圆的周长和直
径的比值叫做圆周率,用字母表示。
圆周率是一个无限不循环小数。
在计算时,取
3.14。
世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。
例:
圆的周长是它的直径的(3)倍多一些,这个倍数是一个固定的数,我们把
无限不循环它叫(圆周率),常用字母(π)表示。
它是一个()小数,取两3.14位小数是()。
C=2r.圆的周长公式:
11dπC=或
圆周长=圆周长=×半径×2×直径
例:
一个圆形养鱼池,直径是4米,这个鱼池的周长是多少米?
解:
C=πd=4米×π=4π米
答:
这个鱼池的周长是4π米。
12.圆的面积:
圆所占面积的大小叫圆的面积。
13.把一个圆割成一个近似的长方形,割拼成的长方形的长相当于圆周长的一半,用字
母(r)表示,宽相当于圆的半径,用字母(r)表示,因为长方形的面积=长×宽,所以圆的面积=r×r。
圆的面积公式:
S=r2。
例:
把一个圆平均分成若干份,可以拼成一个近似于长方形。
长方形的长相当于圆
),所以圆的面积S=(r2)。
半径(周长的一半),宽相当于圆的(
2)214.圆的面积公式:
S=r2(d2)或者S=2或者S=(C
米,求它的面积。
4例:
一个半圆形池塘,它的直径是
解:
S=(d2)2÷2
=2π㎡
答:
面积是2π平方米
15.在一个正方形里画一个最大的圆,圆的直径等于正方形的边长。
2。
π)例:
边长为4厘米的正方形中画一个最大的圆,这个圆的面积是(4厘米
16.在一个长方形里画一个最大的圆,圆的直径等于长方形的宽。
例:
在一个长8厘米、宽5厘米的长方形纸板上剪一个最大的圆,圆的面积是
(6.25π)平方厘米。
S=17.一个环形,外圆的半径是R,内圆的半径是r,它的面积是S=R2-r2或
(R2-r2)。
(其中R=r+环的宽度.)
例:
在一个直径是2米的圆形水池四周修一条宽1米的石子路,石子路的面积是多
少?
解:
r=2米÷2=1米R=1米+1米=2米
S=R2-r2
=(22-12)㎡
=3π㎡
答:
石子路的面积是3π㎡。
18.半圆的周长等于圆的周长的一半加直径。
半圆的周长与圆周长的一半的区别在于,
半圆有直径,而圆周长的一半没有直径。
半圆的周长公式:
C=d2+d或C=r+2r
圆周长的一半=r
例:
半圆的周长就是用圆的周长除以2。
(×)
19.半圆面积=圆的面积2公式为:
S=r22
例:
一个半径为20米的舞台,面积是多少?
解:
S=πr2÷2
=π×20×20÷2
=200π㎡
答:
舞台的面积是200π㎡。
20.在同一个圆里,半径扩大或缩小多少倍,直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。
而
面积扩大或缩小以上倍数的平方倍。
例:
在同一个圆里,半径扩大4倍,那么直径和周长就都扩大(4)倍,而面积
扩大(16)倍。
21.两个圆的半径比等于直径比等于周长比,而面积比等于以上比的平方。
例如:
两个圆的半径比是2:
3,那么这两个圆的直径比和周长比都是2:
3,而面
积比是4:
9。
22.圆周长和直径的比是:
1,比值是;
圆周长和半径的比是2:
1,比值是2;
例:
已知一个圆形跑到的周长是1256米,求该圆的直径和半径。
解:
d=c÷π=1256÷3.14=400米
r=c÷2π=200米
答:
圆的直径和周长分别是400米和200米。
23.当一个圆的半径增加a厘米时,它的周长就增加2a厘米;
a厘米。
当一个圆的直径增加a厘米时,它的周长就增加
例:
一个半径为3米的圆,半径增加1米,周长增加多少米?
解:
C=2πr=6π米1
C=2πr=8π米2
增加量:
CC=8π-6π=2π米12-
答:
周长增加了2π米。
24.在同一圆中,圆心角占圆周角的几分之几,它所在扇形面积就占圆面积的几分之几;
所对的弧就占圆周长的几分之几。
25.当长方形,正方形,圆的周长相等时,圆的面积最大,长方形的面积最小。
nr2(n.扇形弧长公式:
扇形的面积公式:
S=
为扇形的圆心角度26
360
数,r为扇形所在圆的半径)
例:
一个圆心角是90°的扇形,半径是4厘米,面积是多少?
解:
90°÷360°×πr2=4π平方厘米
答:
面积是4π平方厘米。
27.轴对称图形:
如果一个图形沿着一条直线对折,两侧的图形能够完全重合,这个图
形就是轴对称图形。
折痕所在的这条直线叫做对称轴。
28.有一条对称轴的图形有:
角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆。
有2条对称轴的图形是:
长方形
有3条对称轴的图形是:
等边三角形
有4条对称轴的图形是:
正方形
有无数条对称轴的图形是:
圆、圆环。
29.直径所在的直线是圆的对称轴。
例:
圆是(轴对称)图形,有(无数)条对称轴。
半圆有
(1)条对称轴。
第二单元百分数应用题
(一)百分数的基本概念
1.百分数的定义:
表示一个数是另一个数的百分之几的数,叫做百分数。
百分数也叫
做百分率或百分比。
百分数表示两个数之间的比率关系,不表示具体的数量,所以百分数不能带单位。
2.百分数的意义:
表示一个数是另一个数的百分之几。
例如:
25%的意义:
表示一个数是另一个数的25%。
3.百分数通常不写成分数形式,而在原来分子后面加上“%”来表示。
分子部分可为
小数、整数,可以大于100,小于100或等于100。
例:
初一八班有54人,某次体育测试,54人达标,那么初一八班体育达标率是多
少?
解:
54÷54×100%=100%
答:
体育达标率为100%。
4.小数与百分数互化的规则:
把小数化成百分数,只要把小数点向右移动两位,同时在后面添上百分号;
把百分数化成小数,只要把百分号去掉,同时把小数点向左移动两位。
5.百分数与分数互化的规则:
把分数化成百分数,通常先把分数化成小数(除不尽的保留三位小数),再把小
数化成百分数;
把百分数化成分数,先把百分数改写成分数,能约分的要约成最简分数。
2=(40)%)=(0.4
5
(二)百分数应用题百分数应用题
(一)求增加百分之几?
减少百分之几?
公式:
增加百分之几=增加的部分÷单位
1
减少百分之几=减少的部分÷单位
1
例:
1、45立方厘米的水结成冰后,冰的体积为50立方厘米,冰的体积比原来水的体积增加百分之几?
解题思路:
根据公式增加百分之几=增加的部分÷单位1;
先确定单位1是水,已经知道是45;增加的部分不知道,可以利用50减45求得5;最后用增加的部分5÷单位1水的45就等于增加百分之几。
立方厘米45计算步骤:
第一步:
单位1:
水:
立方厘米50—45=5第二步:
增加的部分:
、45÷45=11.1%第三步:
增加百分之几:
“减少百分之几与增加百分之几”的解题方法完全相同。
5、与增加百分之几相同的还有“多百分之几”“提高百分之几”“增长百分之几“等。
与减少百分之几相同的还有“少百分之几”“降低百分之几”“节约百分之几”等。
百分数应用题
(二)比一个数增加百分之几的数,比一个数减少百分之几的数。
,今年有多少名名学生,今年的学生人数比去年增加了25%1、某小学去年有80例学生?
1+25%)去年已经知道用乘法,增加用(解题思路:
单位1算式:
80×(1+25%)
25%802、某小学去年有名学生,今年的学生人数比去年减少了,今年有多少名学生?
解题思路:
单位1-25%去年已经知道用乘法,减少用
(1)
算式:
1-25%80×()
3、某小学今年有100名学生,比去年增加了25%,去年有多少名学生?
解题思路:
单位1去年不知道用除法,增加用(1+25%)
)1+25%÷(100算式:
4、某小学今年有100名学生,比去年减少了25%,去年有多少名学生?
解题思路:
单位1去年不知道用除法,增加用(1-25%)
算式:
100÷(1-25%)
百分数应用题(三)列方程解百分数应用题
1、小明看一本书,第一天看了全书的25%,第二天看了全书的20%,第一天比第二天
多看20页,这本书一共有多少页?
解题思路:
单位1一本书不知道,可以选用方程或除法来解答。
根据“第一天比第二天多看20页”可以知道第一天是多的,第二天是少的,第一天减去第二天等于多出的20页。
等量关系式:
(第一天)—(第二天)=20页
页。
X方法1:
解:
设这本书一共有
可以表示X25%,用”可以知道第一天等于全书乘以由“第一天看了全书的25%
可以表20%,用X为25%X,由“第二天看了全书的20%”可以知道第二天等于全书乘以依据等量关系式“第一天—第二天=20页”示为20%X.—20%X=20可以列方程为:
25%X
要求页”可以知道2:
“第一天比第二天多看2020页是第一天和第二天的差。
方法页的对于分率。
单位1只要用20页除以2020%)—(25%列算式为:
20÷
页,20%,两天共看了202、小明看一本书,第一天看了全书的25%,第二天看了全书的这本书一共有多少页?
页。
=20等量关系式:
由“两天共看了20页”可以知道(第一天)+(等二天)方程法:
。
,第二天为20%X25%X解:
设这本书共有X页,则第一天为
25%X+20%X=20方程列为:
120页”可以知道20页是第一天和第二天的和,要求单位算术法:
由“两天共看了页的对于分率。
只要用2020页除以(25%+20%)20÷列算式为:
页,这本3、小明看一本书,第一天看了全书的25%,第二天看了全书的20%,还剩20书一共有多少页?
=20等量关系式:
(一本书)—(第一天)—(第二天)页方程法:
。
20%X,第二天为页,则第一天为25%X解设这本书一共有X
20%X=2025%X列方程为:
X——算术法:
)÷(201-25%-20%、小明看一本书,第一天看了全书的4页,1025%,第二天比第一天多看页,还剩20这本书一共有多少页?
方程法:
)页。
解:
设这本书一共有25%X,第二天为(25%X+10X页,则第一天为
=20—(25%X—列方程为:
X25%X+10)
百分数应用题(四)
利息的计算
1.本金:
存入银行的钱叫做本金。
2.利息:
取款时银行多支付的钱叫做利息。
利息=本金×利率×时间
3.2008年10月9日以前国家规定,存款的利息要按20%的税率纳税。
国债的利息不
纳税。
2008年10月9日以后免收利息税。
所以如无特殊说明,就不在计算利息税。
4.利率:
利息与本金的比值叫做利率。
5.银行存款税后利息的计算公式:
税后利息=利息×(1-20%)
6.国债利息的计算公式:
利息=本金×利率×时间
7.本息:
本金与利息的总和叫做本息。
8.应纳税额:
缴纳的税款叫应纳税额。
9.税率:
应纳税额与各种收入的比率叫做税率。
10.应纳税额的计算:
应纳税额=各种收入×税率
例如:
李老师把2000元钱存入银行,整存整取五年,年利率按4.14%计算,到期时,李老师的本金和利息共有多少元?
解题思路:
要求“本金和利息共有多少元”应该用本金的2000元加上利息的。
解题步骤:
第一步:
根据“利息=本金×利率×时间”算利息
利息:
2000×4.14%×5=414元
第二步:
本金+利息:
2000+414=2414元。
例如:
李老师把2000元钱存入银行,整存整取五年,年利率按4.14%计算,到期
时,李老师的本金和利息共有多少元?
(如果利息按20%来上税)
解题思路:
要求“本金和利息共有多少元”应该用本金的2000元加上利息的。
解题步骤:
第一步:
根据“利息=本金×利率×时间”算利息利息:
2000×4.14%×5=414元
第二步:
算税后利息:
414×(1—20%)=331.2元
本金+利息:
2000+331.2=2331.2元。
第三章图形的变换、图形变换的三种方法:
1第一种平移:
要说明向什么方向(上、下、左、右)平移几个单位。
度、90180度、第二种旋转:
要说明绕哪个点,顺时针还是逆时针,旋转多少度(
270度)第三种作对称图形:
要说明是关于哪条直线作哪个图形的对称图形。
、比赛场次、握手次数的计算2进行比赛。
有多少个人进行握手。
第一步:
首先要算出有多少个人(或多少支队伍)第二步:
计算比赛场次、握手次数。
加人,从1,如果是人,从加到5人,从14,如果是61加到58例如:
如果是
人,从99.1加到1007到,如果是
、计算起跑线。
3
米1.2米,每个道的跑道宽度是36例如:
第一道的弯道半径是
那么:
第二道的弯道半径=第一道的弯道半径+跑道宽度=36+1.2。
第三道的弯道半径=第一道的弯道半径+跑道宽度+跑道宽度=36+1.2+1.2
第四道的弯道半径=第一道的弯道半径+跑道宽度+跑道宽度+跑道宽度
=36+1.2+1.2+1.2
第五道的弯道半径=第一道的弯道半径+跑道宽度+跑道宽度+跑道宽度+跑道宽度
=36+1.2+1.2+1.2+1.2
不同的两个道的起跑点相差多少米的算法:
第一步:
先算出要跑几圈。
第二步:
计算出两个半圆性跑道所构成的圆的周长。
第三步:
有两个道的圆周长相减,就得出了在两个道种跑一圈的起点相差多少米。
第四步:
用这个相差数×要跑的圈数。
第四章比的认识
(一)比的基本概念
1.两个数相除又叫做两个数的比。
比的前项除以后项所得的商,叫做比值。
2.比值通常用分数、小数和整数表示。
3.比的后项不能为0。
4.同除法比较,比的前项相当于被除数,后项相当于除数,比值相当于商;
5.根据分数与除法的关系,比的前项相当于分子,比的后项相当于分母,比值相当于
分数的值。
6.比的基本性质:
比的前项和后项同时乘上或者同时除以相同的数(0除外),比值不
变。
(二)求比值
求比值:
用比的前项除以比的后项
例如:
36分:
1小时=0.68立方分米:
2立方分米=4
(三)化简比
化简比:
用比的前项除以比的后项求出分数的比值后,在把分数比值改成比。
例如:
12:
16=3:
4
(四)比的应用
1、比的第一种应用:
已知两个或几个数量的和,这两个或几个数量的比,求这两个或这几个数量是多少?
,男女生各有多少人?
:
760人,男女生的人数比是5例如:
六年级有
人就是男女生人数的和。
60题目解析:
解题思路:
第一步求每份:
人5+7)=560÷(
人×5=25第二步求男女生:
男生:
5人。
7=35女生:
5×
、比的第二种应用:
2
已知一个数量是多少,两个或几个数的比,求另外几个数量是多少?
,求女生有多少人?
全班共有多少75:
例如:
六年级有男生25人,男女生的比是
人?
人”就是其中的一个数量。
题目解析:
“男生25
人5=525÷解题思路:
第一步求每份:
人全班:
25+35=607=35女生:
5×人。
第二步求女生:
、比的第三种应用:
3
已知两个数量的差,两个或几个数的比,求这两个或这几个数量是多少?
,男:
5人),男女生的比是例如:
六年级的男生比女生多20人(或女生比男生少207女生各有多少人?
全班共有多少人?
题目解析:
“男生比女生多人”就是两个量的差。
20
解题思路:
第一步求每份:
人)=107-520÷(
人,第二步求男生、女生、全班总人数:
女生:
105=50×
人70=120人,全班:
男生:
10×7=7050+
要求量份数
已知量×4=、要求量
已知量份数
、比在几何里的运用:
5
)已知长方形的周长,长和宽的比是a:
b。
求长和宽、面积。
1(
×2周长÷长=面积=长×宽宽周长÷×ba
2=
baab
)已知已知长方体的棱长和,长、宽、高的比是a:
b:
c。
求长、宽、高、2(
体积
周长÷4×=长周长÷4×宽ba=cbaacb
c
周长÷4×=高体积=长×宽×高
cba
(3)已知三角形三个角的比是a:
b:
c,求三个内角的度数。
三个角分别为:
180×180××cba180aabcbcabc(4)已知三角形的周长,三条边的长度比是a:
b:
c,求三条边的长度。
三条边分别为:
abc周长×周长×周长×
abcabcabc
第五章圆柱和圆锥
一、面的旋转
1.“点、线、面、体”之间的关系是:
点的运动形成线;线的运动形成面;面的旋转形成体。
2.圆柱的特征:
(1)圆柱的两个底面是半径相等的两个圆。
(2)两个底面间的距离叫做圆柱的高。
(3)圆柱有无数条高,且高的长度都相等。
3.圆锥的特征:
(1)圆锥的底面是一个圆。
(2)圆锥的侧面是一个曲面。
(3)圆锥只有一条高。
二、圆柱的表面积
1.沿圆柱的高剪开,圆柱的侧面展开图是一个长方形(或正方形)。
(如果不是沿高剪开,有可能还会是平行四边形)
2.圆柱的侧面积=底面周长×高,用字母表示为:
S=ch。
侧
3.圆柱的侧面积公式的应用:
(1)已知底面周长和高,求侧面积,可运用公式:
S=ch;侧
(2)已知底面直径和高,求侧面积,可运用公式:
S;dh=侧.
(3)已知底面半径和高,求侧面积,可运用公式:
S=2rh侧
4.圆柱表面积的计算方法:
如果用S表示一个圆柱的侧面积,S表示底面积,d侧底
表示高,那么这个圆柱的表面积为:
h表示底面直径,r表示底面半径,
+2S=SS底侧表
S=dh+d2/2或表
2S=2rh+2r或表
圆柱表面积的计算方法的特殊应用:
5.
)圆柱的表面积只包括侧面积和一个底面积的,例如无盖水桶等圆柱形物体。
(1
(2)圆柱的表面积只包括侧面积的,例如烟囱、油管等圆柱形物体。
圆柱的体积三、
1.圆柱的体积:
一个圆柱所占空间的大小。
表示高,那h表示圆柱的体积,2.圆柱的体积=底面积×高。
如果用VS表示底面积,Sh么V=。
圆柱体积公式的应用:
3.
。
)ShV=1(计算圆柱体积时,如果题中给出了底面积和高,可用公式:
2;V
(2)=r已知圆柱的底面半径和高,求体积,可用公式:
h
2;(d/2)h=V(3)已知圆柱的底面直径和高,求体积,可用公式:
2;4())(C/2h=V已知圆柱的底面周长和高,求体积,可用公式:
。
V圆柱形容器的容积=底面积×高,用字母表示是=Sh
圆柱形容器公式的应用与圆柱体积公式的应用计算方法相同。
5.
圆锥的体积四、
圆锥只有一条高。
1.
圆锥的体积=1/3×底面积×高。
2.
表示高,则字母公式为:
h表示底面积,S表示圆锥的体积,如果用V
V=1/3Sh
圆锥体积公式的应用:
3.
(1)求圆锥体积时,如果题中给出底面积和高这两个条件,
可以直接运用“v=1/3Sh”这一公式。
(2)求圆锥体积
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