Romberg积分法Gauss型积分法.docx

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Romberg积分法Gauss型积分法

数学软件实验任务书

课程名称

数学软件实验

班级

数0901

实验课题

Romberg积分法，Gauss型积分法，高斯-勒让德积分法，高斯-切比雪夫积分法，高斯-拉盖尔积分法，高斯-埃尔米特积分法

实验目的

熟悉Romberg积分法，Gauss型积分法，高斯-勒让德积分法，高斯-切比雪夫积分法，高斯-拉盖尔积分法，高斯-埃尔米特积分法

实验要求

运用Matlab/C/C++/Java/Maple/Mathematica等其中一种语言完成

实验内容

Romberg积分法，Gauss型积分法，高斯-勒让德积分法，高斯-切比雪夫积分法，高斯-拉盖尔积分法，高斯-埃尔米特积分法

成绩

教师

实验1Romberg积分法

1实验原理

Romberg方法是实用性很强的一种数值积分方法，其收敛速度是很快的，这里给出Romberg积分的计算方法。

（1）计算

（2）计算

（3）计算

2实验数据

用Romberg积分方法计算：

3实验程序

程序1

functions=rombg（a,b,TOL）

n=1;

h=b-a;

delt=1;

x=a;

k=0;

R=zeros（4,4）;

R（1,1）=h*（rombg_f（a）+rombg_f（b））/2;

whiledelt>TOL

k=k+1;h=h/2;s=0;

forj=1:

n

x=a+h*（2*j-1）;s=s+rombg_f（x）;

end

R（k+1,1）=R（k,1）/2+h*s;n=2*n;

fori=1:

k

R（k+1,i+1）=（（4^i）*R（k+1,i）-R（k,i））/（4^i-1）;

end

delt=abs（R（k+1,k）-R（k+1,k+1））;

end

s=R（k+1,k+1）;

程序2

functionf=rombg_f（x）

f=x/（4+x^2）;

程序3

s=rombg（0,1.5,1.e-6）

%作出图形

x=0:

0.02:

1.5;

y=x./（4+x.^2）;

area（x,y）

grid

4实验结果

s=

0.2231

实验2高斯-勒让德积分法

1实验原理

Gauss-Legendre求积公式为

其中

为Legendre多项式在1,1区间上的零点。

n阶Legendre多项式定义为：

为权系数，

对于一般的积分区间为a,b问题，可以做变换

2实验数据

用Gauss-Legendre积分方法计算定积分

3实验程序

functions=gau_leg（a,b）

%5阶Legendre多项式结点

node=[-0.9061798459,-0.5384693101,0,0.5384693101,0.9061798459];

%结点对应的权

quan=[0.2369268851,0.4786286705,0.5688888889,0.4786286705,0.2369268851];

%t为（1，5）的行向量，整个区间上的结点

t=（b+a）/2+（b-a）*node/2;

s=（（b-a）/2）*sum（quan.*gau_leg_f（t））;

functionf=gau_leg_f（x）

f=（x.^2）.*cos（x）;

disp（'计算结果为:

'）

s=gau_leg（0,pi/2）

%画出图形

x=0:

0.01:

pi/2;

y=（x.^2）.*cos（x）;

bar（x,y）

grid

4实验结果

计算结果为:

s=

0.4674

实验3高斯-拉盖尔积分法

1实验原理

n个结点Gauss-Laguerre求积公为：

其中

为零点，

为权系数

Laguerre多项式为

2实验数据

计算反常积分

3实验程序

functions=gau_lag（）

%多项式结点

node=[0.26355990,1.41340290,3.59624600,7.08580990,12.640800];

%权重向量

quan=[0.6790941054,1.638487956,2.769426772,4.31594400,7.10489623];

%求和

s=sum（quan.*gau_lag_f（node））

%%%%%%%%%%%

%以下为画出积分示意图

clear

x=0:

0.1:

20;

y=x.*exp（-x）;

area（x,y）

grid

functionf=gau_lag_f（x）

f=x.*exp（-x）;

4实验结果

s=

1.0000

实验4高斯-埃尔米特积分法

1实验原理

n个结点点Guass-Hermite求积公式为

其中

分别为结点以及相应的权系数。

2实验数据

采用Gauss-Hermite方法计算反常积分

3实验程序

functions=gau_lag（）

%多项式结点

node=[

-2.02018200

-0.95857190

0.00000000

0.95857190

2.02018200];

%权重向量

quan=[

1.181469599

0.9865791417

0.9453089237

0.9865791417

1.181469599

];

%求和

s=sum（quan.*gau_herm_f（node））

%%

%画出反常积分的示意图

clear

x=-6:

0.1:

6;

y=exp（-x.^2）;

area（x,y）

grid

functionf=gau_herm_f（x）

f=exp（-x.^2）;

4实验结果

s=

1.7725