小学数学奥数基础教程四五年级.docx
- 文档编号:28283721
- 上传时间:2023-07-10
- 格式:DOCX
- 页数:211
- 大小:1.25MB
小学数学奥数基础教程四五年级.docx
《小学数学奥数基础教程四五年级.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《小学数学奥数基础教程四五年级.docx(211页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
小学数学奥数基础教程四五年级
速算与巧算
(一)
计算是数学的基础,小学生要学好数学,必须具有过硬的计算本领。
准确、快速的计算能力既是一种技巧,也是一种思维训练,既能提高计算效率、节省计算时间,更可以锻炼记忆力,提高分析、判断能力,促进思维和智力的发展。
我们在三年级已经讲过一些四则运算的速算与巧算的方法,本讲和下一讲主要介绍加法的基准数法和乘法的补同与同补速算法。
例1四年级一班第一小组有10名同学,某次数学测验的成绩(分数)如下:
86,78,77,83,91,74,92,69,84,75。
求这10名同学的总分。
分析与解:
通常的做法是将这10个数直接相加,但这些数杂乱无章,直接相加既繁且易错。
观察这些数不难发现,这些数虽然大小不等,但相差不大。
我们可以选择一个适当的数作“基准”,比如以“80”作基准,这10个数与80的差如下:
6,-2,-3,3,11,-6,12,-11,4,-5,其中“-”号表示这个数比80小。
于是得到
总和=80×10+(6-2-3+3+11-
=800+9=809。
实际计算时只需口算,将这些数与80的差逐一累加。
为了清楚起见,将这一过程表示如下:
通过口算,得到差数累加为9,再加上80×10,就可口算出结果为809。
例1所用的方法叫做加法的基准数法。
这种方法适用于加数较多,而且所有的加数相差不大的情况。
作为“基准”的数(如例1的80)叫做基准数,各数与基准数的差的和叫做累计差。
由例1得到:
总和数=基准数×加数的个数+累计差,
平均数=基准数+累计差÷加数的个数。
在使用基准数法时,应选取与各数的差较小的数作为基准数,这样才容易计算累计差。
同时考虑到基准数与加数个数的乘法能够方便地计算出来,所以基准数应尽量选取整十、整百的数。
例2某农场有10块麦田,每块的产量如下(单位:
千克):
462,480,443,420,473,429,468,439,475,461。
求平均每块麦田的产量。
解:
选基准数为450,则
累计差=12+30-7-30+23-21+18-11+25+11
=50,
平均每块产量=450+50÷10=455(千克)。
答:
平均每块麦田的产量为455千克。
求一位数的平方,在乘法口诀的九九表中已经被同学们熟知,如7×7=49(七七四十九)。
对于两位数的平方,大多数同学只是背熟了10~20的平方,而21~99的平方就不大熟悉了。
有没有什么窍门,能够迅速算出两位数的平方呢?
这里向同学们介绍一种方法——凑整补零法。
所谓凑整补零法,就是用所求数与最接近的整十数的差,通过移多补少,将所求数转化成一个整十数乘以另一数,再加上零头的平方数。
下面通过例题来说明这一方法。
例3求292和822的值。
解:
292=29×29
=(29+1)×(29-1)+12
=30×28+1
=840+1
=841。
822=82×82
=(82-2)×(82+2)+22
=80×84+4
=6720+4
=6724。
由上例看出,因为29比30少1,所以给29“补”1,这叫“补少”;因为82比80多2,所以从82中“移走”2,这叫“移多”。
因为是两个相同数相乘,所以对其中一个数“移多补少”后,还需要在另一个数上“找齐”。
本例中,给一个29补1,就要给另一个29减1;给一个82减了2,就要给另一个82加上2。
最后,还要加上“移多补少”的数的平方。
由凑整补零法计算352,得
35×35=40×30+52=1225。
这与三年级学的个位数是5的数的平方的速算方法结果相同。
这种方法不仅适用于求两位数的平方值,也适用于求三位数或更多位数的平方值。
例4求9932和20042的值。
解:
9932=993×993
=(993+7)×(993-7)+72
=1000×986+49
=986000+49
=986049。
20042=2004×2004
=(2004-4)×(2004+4)+42
=2000×2008+16
=4016000+16
=4016016。
下面,我们介绍一类特殊情况的乘法的速算方法。
请看下面的算式:
66×46,73×88,19×44。
这几道算式具有一个共同特点,两个因数都是两位数,一个因数的十位数与个位数相同,另一因数的十位数与个位数之和为10。
这类算式有非常简便的速算方法。
例588×64=?
分析与解:
由乘法分配律和结合律,得到
88×64
=(80+8)×(60+4)
=(80+8)×60+(80+8)×4
=80×60+8×60+80×4+8×4
=80×60+80×6+80×4+8×4
=80×(60+6+4)+8×4
=80×(60+10)+8×4
=8×(6+1)×100+8×4。
于是,我们得到下面的速算式:
由上式看出,积的末两位数是两个因数的个位数之积,本例为8×4;积中从百位起前面的数是“个位与十位相同的因数”的十位数与“个位与十位之和为10的因数”的十位数加1的乘积,本例为8×(6+1)。
例677×91=?
解:
由例3的解法得到
由上式看出,当两个因数的个位数之积是一位数时,应在十位上补一个0,本例为7×1=07。
用这种速算法只需口算就可以方便地解答出这类两位数的乘法计算。
练习1
1.求下面10个数的总和:
165,152,168,171,148,156,169,161,157,149。
2.农业科研小组测定麦苗的生长情况,量出12株麦苗的高度分别为(单位:
厘米):
26,25,25,23,27,28,26,24,29,27,27,25。
求这批麦苗的平均高度。
3.某车间有9个工人加工零件,他们加工零件的个数分别为:
68,91,84,75,78,81,83,72,79。
他们共加工了多少个零件?
4.计算:
13+16+10+11+17+12+15+12+16+13+12。
5.计算下列各题:
(1)372;
(2)532;(3)912;
(4)682:
(5)1082;(6)3972。
6.计算下列各题:
(1)77×28;
(2)66×55;
(3)33×19;(4)82×44;
(5)37×33;(6)46×99。
答案与提示练习
1.1596。
2.26厘米。
3.711个。
4.147。
5.
(1)1369;
(2)2809;(3)8281;
(4)4624;(5)11664;(6)157609。
6.
(1)2156;
(2)3630;(3)627;
(4)3608;(5)1221;(6)4554。
速算与巧算
(二)
上一讲我们介绍了一类两位数乘法的速算方法,这一讲讨论乘法的“同补”与“补同”速算法。
两个数之和等于10,则称这两个数互补。
在整数乘法运算中,常会遇到像72×78,26×86等被乘数与乘数的十位数字相同或互补,或被乘数与乘数的个位数字相同或互补的情况。
72×78的被乘数与乘数的十位数字相同、个位数字互补,这类式子我们称为“头相同、尾互补”型;26×86的被乘数与乘数的十位数字互补、个位数字相同,这类式子我们称为“头互补、尾相同”型。
计算这两类题目,有非常简捷的速算方法,分别称为“同补”速算法和“补同”速算法。
例1
(1)76×74=?
(2)31×39=?
分析与解:
本例两题都是“头相同、尾互补”类型。
(1)由乘法分配律和结合律,得到
76×74
=(7+6)×(70+4)
=(70+6)×70+(7+6)×4
=70×70+6×70+70×4+6×4
=70×(70+6+4)+6×4
=70×(70+10)+6×4
=7×(7+1)×100+6×4。
于是,我们得到下面的速算式:
(2)与
(1)类似可得到下面的速算式:
由例1看出,在“头相同、尾互补”的两个两位数乘法中,积的末两位数是两个因数的个位数之积(不够两位时前面补0,如1×9=09),积中从百位起前面的数是被乘数(或乘数)的十位数与十位数加1的乘积。
“同补”速算法简单地说就是:
积的末两位是“尾×尾”,前面是“头×(头+1)”。
我们在三年级时学到的15×15,25×25,…,95×95的速算,实际上就是“同补”速算法。
例2
(1)78×38=?
(2)43×63=?
分析与解:
本例两题都是“头互补、尾相同”类型。
(1)由乘法分配律和结合律,得到
78×38
=(70+8)×(30+8)
=(70+8)×30+(70+8)×8
=70×30+8×30+70×8+8×8
=70×30+8×(30+70)+8×8
=7×3×100+8×100+8×8
=(7×3+8)×100+8×8。
于是,我们得到下面的速算式:
(2)与
(1)类似可得到下面的速算式:
由例2看出,在“头互补、尾相同”的两个两位数乘法中,积的末两位数是两个因数的个位数之积(不够两位时前面补0,如3×3=09),积中从百位起前面的数是两个因数的十位数之积加上被乘数(或乘数)的个位数。
“补同”速算法简单地说就是:
积的末两位数是“尾×尾”,前面是“头×头+尾”。
例1和例2介绍了两位数乘以两位数的“同补”或“补同”形式的速算法。
当被乘数和乘数多于两位时,情况会发生什么变化呢?
我们先将互补的概念推广一下。
当两个数的和是10,100,1000,…时,这两个数互为补数,简称互补。
如43与57互补,99与1互补,555与445互补。
在一个乘法算式中,当被乘数与乘数前面的几位数相同,后面的几位数互补时,这个算式就是“同补”型,即“头相同,尾互补”型。
例如
,因为被乘数与乘数的前两位数相同,都是70,后两位数互补,77+23=100,所以是“同补”型。
又如
, 等都是“同补”型。
当被乘数与乘数前面的几位数互补,后面的几位数相同时,这个乘法算式就是“补同”型,即“头互补,尾相同”型。
例如,
等都是“补同”型。
在计算多位数的“同补”型乘法时,例1的方法仍然适用。
例3
(1)702×708=?
(2)1708×1792=?
解:
(1)
(2)
计算多位数的“同补”型乘法时,将“头×(头+1)”作为乘积的前几位,将两个互补数之积作为乘积的后几位。
注意:
互补数如果是n位数,则应占乘积的后2n位,不足的位补“0”。
在计算多位数的“补同”型乘法时,如果“补”与“同”,即“头”与“尾”的位数相同,那么例2的方法仍然适用(见例4);如果“补”与“同”的位数不相同,那么例2的方法不再适用,因为没有简捷实用的方法,所以就不再讨论了。
例42865×7265=?
解:
练习2
计算下列各题:
1.68×62;2.93×97;
3.27×87;4.79×39;
5.42×62;6.603×607;
7.693×607;8.4085×6085。
答案与提示练习
1.4216。
2.9021。
3.2349。
4.3081。
5.2604。
6.366021。
7.420651。
8.24857225。
乘、除法的运算律和性质
乘法交换律:
a×b=b×a
乘法结合律:
a×b×c=(a×b)×c=a×(b×c)
乘法分配律:
(a+b)×c=a×c+b×c(a-b)×c=a×c-b×c
商不变性质:
a÷b=(a×n)÷(b÷n)(n≠0)
=(a÷m)÷(b÷m)(m≠0)
类似于乘法分配律:
(a+b)÷c=a÷c+b÷c(a-b)÷c=a÷c-b÷c
类似于乘法交换律:
a÷b÷c=a÷c÷b
乘除法混合运算与加减混合运算道理相通:
(1)无括号:
a×b÷c=a÷c×b=b÷c×a
(2)去括号:
a×(b×c)=a×b×ca×(b÷c)=a×b÷c
a÷(b×c)=a÷b÷ca÷(b÷c)=a÷b×c
(3)添括号:
a×b×c=a×(b×c)a×b÷c=a×(b÷c)
a÷b÷c=a÷(b×c)a÷b×c=a÷(b÷c)
两个数之积除以两个数之积,可以分别相除后再相乘。
(a×b)÷(c×d)=(a÷c)×(b÷d)
=(a÷d)×(b÷c)
1.乘法的运算律
乘法交换律:
两个数相乘,交换两个数的位置,其积不变。
即
a×b=b×a。
其中,a,b为任意数。
例如,35×120=120×35=4200。
乘法结合律:
三个数相乘,可以先把前两个数相乘后,再与后一个数相乘,或先把后两个数相乘后,再与前一个数相乘,积不变。
即
a×b×c=(a×b)×c=a×(b×c)。
注意:
(1)这两个运算律中数的个数可以推广到更多个的情形。
即多个数连乘中,可以任意交换其中各数的位置,积不变;多个数连乘中,可以任意先把几个数结合起来相乘后,再与其它数相乘,积不变。
(2)这两个运算律常一起并用。
例如,并用的结果有
a×b×c=b×(a×c)等。
例1计算下列各题:
(1)17×4×25;
(2)125×19×8;
(3)125×72;(4)25×125×16。
分析:
由于25×4=100,125×8=1000,125×4=500,运用乘法交换律和结合律,在计算中尽量先把25与4、把125与8或4结合起来相乘后,再与其它数相乘,以简化计算。
(2)125×19×8
=(125×8)×19
=1000×19
=19000;
(3)125×72
=125×(8×9)
=(125×8)×9
=1000×9
=9000;
4)25×125×16或
=25×125×2×8
=(25×2)×(125×8)
=50×1000
=50000,
25×125×16
=25×125×4×4
=(25×4)×(125×4)
=100×500
=50000。
乘法分配律:
两个数之和(或差)与一数相乘,可用此数先分别乘和(或差)中的各数,然后再把这两个积相加(或减)。
即
(a+b)×c=a×c+b×c,
(a-b)×c=a×c-b×c。
例2计算下列各题:
(1)125×(40+8);
(2)(100-4)×25;
(3)2004×25;(4)125×792。
解:
(1)125×(40+8)
=125×40+125×8
=5000+1000
=6000;
(2)(100-4)×25
=100×25-4×25
=2500-100
=2400;
(3)2004×25
=(2000+4)×25
=2000×25+4×25
=50000+100
=50100;
(4)125×792
=125×(800-8)
=125×800-125×8
=(125×8)×100-1000
=1000×100-1000
=1000×(100-1)
=99000。
2.除法的运算律和性质
商不变性质:
被除数和除数乘(或除)以同一非 零数,其商不变。
即
a÷b=(a×n)÷(b×n)(n≠0)
=(a÷m)÷(b÷m)(m≠0)
例3计算:
(1)425÷25;
(2)3640÷70。
解:
(1)425÷25
=(425×4)÷(25×4)
=1700÷100
=17;
(2)3640÷70
=(3640÷10)÷(70÷10)
=364÷7
=52。
(2)两数之和(或差)除以一个数,可以用这两个数分别除以那个数,然后再求两个商的和(或差)。
即
(a±b)÷c=a÷c±b÷c。
例如,(8+4)÷2=8÷2+4÷2,
(9-6)÷3=9÷3-6÷3。
此性质可以推广到多个数之和(或差)的情形。
例如
(1000-688-136)÷8
=1000÷8-688÷8-136÷8
=125-86-17=22。
(3)在连除中,可以交换除数的位置,商不变。
即
a÷b÷c=a÷c÷b。
在这个性质中,除数的个数可以推广到更多个的情形。
例如,
168÷7÷4÷3=168÷3÷4÷7=……
例4计算下列各题:
解:
(1)(182+325)÷13
=182÷13+325÷13
=14+25
=39;
(2)(2046-1059-735)÷3
=2046÷3-1059÷3-735÷3
=682-353-245
=84;
(3)775÷25
=(700+75)÷25
=700÷25+75÷25
=28+3=31;
(4)2275÷13÷5
=2275÷5÷13
=455÷13
=35。
3.乘、除法混合运算的性质
(1)在乘、除混合运算中,被乘数、乘数或除数可以连同运算符号一起交换位置。
例如,
a×b÷c=a÷c×b=b÷c×a。
(2)在乘、除混合运算中,去掉或添加括号的规则去括号情形:
括号前是“×”时,去括号后,括号内的乘、除符号不变。
即
a×(b×c)=a×b×c, a×(b÷c)=a×b÷c。
括号前是“÷”时,去括号后,括号内的“×”变为“÷”,“÷”变为“×”。
即
a÷(b×c)=a÷b÷c,a÷(b÷c)=a÷b×c。
添加括号情形:
加括号时,括号前是“×”时,原符号不变;括号前是“÷”时,原符号“×”变为“÷”,“÷”变为“×”。
即
a×b×c=a×(b×c),a×b÷c=a×(b÷c),a÷b÷c=a÷(b×c),a÷b×c=a÷(b÷c)。
(3)两个数之积除以两个数之积,可以分别相除后再相乘。
即
(a×b)÷(c×d)
=(a÷c)×(b÷d)
=(a÷d)×(b÷c)。
上面的三个性质都可以推广到多个数的情形。
例5计算下列各题:
(1)136×5÷8
=136÷8×5
=17×5=85;
(2)4032÷(8×9)
=4032÷8÷9
=504÷9=56;
(3)125×(16÷10)
=125×16÷10
=256×4
(4)2560÷(10÷4)
=2560÷10×4
=1024;
(5)2460÷5÷2
=2460÷(5×2)
=2460÷10
=246;
(6)527×15÷5
=527×(15÷5)
=527×3
=1581;
(7)(54×24)÷(9×4)
=(54÷9)×(24÷4)
=6×6
=36。
练习20
用简便方法计算下列各题。
1.
(1)12×4×25;
(2)125×13×8;(3)125×56;(4)25×32×125。
2.
(1)125×(80+4);
(2)(100-8)×25;(3)180×125;(4)125×88。
3.
(1)1375÷25;
(2)12880÷230。
4.
(1)(128+1088)÷8;
(2)(1040-324-528)÷4;
(3)1125÷125;(4)4505÷17÷5。
5、
(1)384×12÷8;
(2)2352÷(7×8);
(3)1200×(4÷12);
(4)1250÷(10÷8);
(5)2250÷75÷3;
(6)636×35÷7;
(7)(126×56)÷(7×18)
答案与提示练习20
1.
(1)1200;
(2)13000;(3)7000;(4)100000。
2.
(1)10500;
(2)2300;(3)22500;(4)11000。
3.
(1)55;
(2)56。
4.
(1)152;
(2)47;(3)9;(4)53。
5.
(1)576;
(2)42;(3)400;(4)1000;
(5)10;(6)3180;(7)56。
乘法中的巧算
上一讲我们介绍了乘、除法的一些运算律和性质,它是乘、除法中巧算的理论根据,也给出了一些巧算的方法。
本讲在此基础上再介绍一些乘法中的巧算方法。
1.乘11,101,1001的速算法
一个数乘以11,101,1001时,因为11,101,1001分别比10,100,1000大1,利用乘法分配律可得
a×11=a×(10+1)=10a+a,
a×101=a×(101+1)=100a+a,
a×1001=a×(1000+1)=1000a+a。
例如,38×101=38×100+38=3838。
2.乘9,99,999的速算法
一个数乘以9,99,999时,因为9,99,999分别比10,100,1000小1,利用乘法分配律可得
a×9=a×(10-1)=10a-a,
a×99=a×(100-1)=100a-a,
a×999=a×(1000-1)=1000a-a。
例如,18×99=18×100-18=1782。
上面讲的两类速算法,实际就是乘法的凑整速算。
凑整速算是当乘数接近整十、整百、整千……的数时,将乘数表示成上述整十、整百、整千……与一个较小的自然数的和或差的形式,然后利用乘法分配律进行速算的方法。
例1计算:
(1)356×1001
=356×(1000+1)
=356×1000+356
=356000+356
=356356;
(2)38×102
=38×(100+2)
=38×100+38×2
=3800+76
=3876;
(3)526×99
=526×(100-1)
=526×100-526
=52600-526
=52074;
(4)1234×9998
=1234×(10000-2)
=1234×10000-1234×2
=12340000-2468
=12337532。
3.乘5,25,125的速算法
一个数乘以5,25,125时,因为5×2=10,25×4=100,125×8=1000,所以可以利用“乘一个数再除以同一个数,数值不变”及乘法结合律,得到
例如,76×25=7600÷4=1900。
上面的方法也是一种“凑整”,只不过不是用加减法“凑整”,而是利用乘法“凑整”。
当一个乘数乘以一个较小的自然数就能得到整十、整百、整千……的数时,将乘数先乘上这个较小的自然数,再除以这个较小的自然数,然后利用乘法结合律就可达到速算的目的。
例2计算:
(1)186×5
=186×(5×2)÷2
=1860÷2
=930;
(2)96×125
=96×(125×8)÷8
=96000÷8
=12000。
有时题目不是上面讲的“标准形式”,比如乘数不是25而是75,此时就需要灵活运用上面的方法及乘法运算
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 小学 数学 基础教程 四五 年级
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)