2
所以当x=1时,f(x)取得最小值,为12,即当a=
2
3+1,b=
3-1时,1
+
取最小值,为2,
222ab
法二a-b=4a2b2
∴(1+1)2=(1-1)2+4
=(a-b)2+4
ababababab
=16a2b2+4
=16a2b2+
2+2
≥3316a2b2
⨯2⨯2
=12
ababababab
⎧222
⎪16ab=
3+1
3-111
当且仅当⎨
ab即当a=,b=时,
+
取最小值,为23,
⎪⎩a-b=4a2b2
22ab
故选:
B.
6.(2020·全国高三课时练习(理))关于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为(x1,x2),且:
x2-x1=15,则a=()
A.
5
2
B.
7
2
C.15
4
D.15
2
【答案】A
【解析】因为关于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为(x1,x2),
所以x+x=2a,xx=-8a2,又x-x=15,
121221
所以(x
-x)2=(x+x)2-4xx
=36a2=152,
212121
解得a=±5,因为a>0,所以a=5.
22
故选:
A.
7.(2020·贵州六盘水高三其他(理))已知x>0,y>0,且4x+y=xy,则x+y的最小值为
A.8B.9
C.12D.16
【答案】B
【解析由题意可得:
4+1=1,则:
yx
x+y=(x+y)⎛4+1⎫=5+4x+y≥5+24x⨯y=9,
ç⎪yxyx
当且仅当x=3,y=6时等号成立,综上可得:
则x+y的最小值为9.本题选择B选项.
8.(2020·全国高三其他(理))已知抛物线C:
y2=4x的焦点为F,过点F的直线与抛物线C相交于A,
B两点,则
+
的最小值为()
A.B.
C.2
D.3
【答案】C
【解析】点F的坐标为(1,0),设点A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),直线AB的方程为
⎧y2=4x,
x=my+1(m∈R),联立方程⎨
⎩x=my+1,
消去x后整理为y2-4my-4=0,所以y1+y2=4m,
2y2y216
y1y2=-4,x1+x2=m(y1+y2)+2=4m
+2,xx=12==1,
AF=x1+1,BF=x2+1,则(
AF+
12
BF)2=
1616
=(x
+1+
x+1)2=x+x
+2+2
(x+1)(x
+1)=x+x
+2+2
x+x
+2.由
x1+x2…2
x1x2=2(当且仅当x1=x2=1时取等号),所以(
AF+
BF)2≥2+2+22+2=8,可得
AF+BF的最小值为22.
故选:
C.
9.(2020·吉林高三其他(理))若log2x+log4y=1,则x2+y的最小值为()
A.2B.23C.4D.22
【答案】C
【解析】因为logx+logy=logx2+logy=log(x2y)=1,所以x2y=4(x>0,y>0),
则x2+y…2
=4,当且仅当x2=y=2时,等号成立,
故x2+y的最小值为4.
故选:
C
10.(2020·六盘山高级中学高三期末(理))若log4(3a+4b)=log2,则a+b的最小值是().
A.6+2
B.7+2
C.6+4
D.7+4
【答案】D
【解析】由题,log4(3a+4b)=log2,
所以3a+4b=
所以3+4=1,
ba
ab,即3a+4b=ab,
因为3a+4b>0,ab>0,所以a>0,b>0,
所以(a+b)⎛3+4⎫=3a+4+3+4b≥7+212=7+43,
ç⎪
⎝⎭
当且仅当3a=4b时等号成立,
ba
所以a+b的最小值为7+43.
故选:
D
11.(2020·河南高三期末(理))设a,b,c为任意正数.则a+1,b+1,c+1这三个数()
bca
A.都大于2B.都小于2C.至少有一个不小于2D.至少有一个不大于2
【答案】C
【解析】假设三个数均小于2,即a+1<2,b+1<2,c+1<2,故a+1+1+b+1+c<6,
bcaabc
而a+1+1+b+1+c≥2
abc
+2+2
=6,
当a=b=c=1时等号成立,这与a+1+1+b+1+c<6矛盾,
abc
故假设不成立,故至少有一个不小于2,C正确;
取a=b=c=2,计算排除BD;取a=b=c=1,计算排除A.
故选:
C.
12.(2020·湖南雨花雅礼中学高三其他(理))已知四边形ABCD是边长为1的正方形,P为对角线AC上一点,则PA⋅(PB+PD)的最小值是()
A.0B.-1
4
C.
-1
2
D.-2
【答案】B
⎛PA+PO⎫2
【解析】作出图形如下图所示,PA⋅PB+PD=PA⋅2PO≥-2PA⋅PO≥-2ç⎪
,而此时
ç2⎪
⎛PA+PO⎫2
PA+PO=,所以PA⋅PB+PD≥-2ç⎪
⎝⎭
=-1,当且仅当PA=PO时取等号,所以
2ç2⎪4
⎝⎭
PA⋅(PB+PD)的最小值是-1,故选:
B.
13.(2020·安徽高三三模(理))已知△ABC三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a+b=2ccosB,
b⎛c⎫2
则+ç⎪
⎝⎭
的最小值为()
A.2
B.3C.2
D.4
【答案】B
【解析】由余弦定理得a+b=2ccosB=2c⨯
a2+c2-b2
2ac
⎛c⎫2
,ç⎪
⎝⎭
=a+1,
b
b⎛c⎫2baba
∴a+çb⎪=++1≥2+1=3,当且仅当a=b即a=b时等号成立,
⎝⎭ab
b⎛c⎫2
所以+ç⎪
⎝⎭
的最小值为3.
故选:
B.
14.(2020·广州大学附属中学高三月考(理))已知实数x>0,y>0,则“2x+2y≤4”是“xy≤1”的()
A.充要条件B.必要不充分条件
C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】2x+2y≥22x+y且2x+2y≤4,
∴22x+y≤4⇒2x+y≤2⇒x+y≤2,
等号成立的条件是x=y,
又x+y≥2
xy,x>0,y>0
∴2xy≤2⇒xy≤1,
等号成立的条件是x=y,
∴2x+2y≤4⇒xy≤1,
反过来,当x=2,y=1时,此时xy≤1,但2x+2y>4
3
∴“2x+2y≤4”是“xy≤1”的充分不必要条件.
,不成立,
故选:
C
15.(2020·四川资阳高三其他(理))a,b,c分别为ABC内角A,B,C的对边.已知
a(sinA+9sinB)=12sinA,sinC=1,则ABC的面积的最大值为()
3
B.1
2
C.
4
3
D.
2
3
【答案】D
【解析】因为a(sinA+9sinB)=12sinA,
所以a(a+9b)=12a,又a>0,所以a+9b=12≥29ab,则ab≤4,所以ABC的面积的最大值为1⨯4⨯1=2.
233
故选:
D
16.(2020·上海高三专题练习)若a>b>1,P=
lga⋅lgb,Q=
1(lga+lgb),R=lg(a+b),则()
22
A.R
B.
PC.Q
D.P
【答案】B
【解析】由于函数y=lgx在(0,+∞)上是增函数
a>b>1,则lga>lgb>0由基本不等式可得
P=<1(lga+lgb)=1lg(ab)=lg222
因此,PB
17.(2020·黑龙江工农鹤岗一中高三期末(理))在ABC中,E为AC上一点,AC=3AE,P为BE上
任一点,若AP=mAB+nAC(m>0,n>0),则3+1的最小值是
mn
A.9B.10
C.11D.12
【答案】D
【解析】由题意可知:
AP=mAB+nAC=mAB+3nAE,
A,B,E三点共线,则:
m+3n=1,据此有:
3+1=⎛3+1⎫(m+3n)=6+9n+m≥6+2
9n⨯m=12,
ç⎪
mn⎝⎭
mnmn
当且仅当m=1,n=1时等号成立.
26
综上可得:
3+1的最小值是12.
mn
本题选择D选项.
18.(2020·西夏宁夏大学附属中学高三其他(理))已知实数a,b,c满足a=2lg2,b=log2a,c=sinb,则a,b,c的大小关系是()
A.a>b>c
B.
b>c>a
C.
a>c>b
D.b>a>c
【答案】A
【解析】1<2<10,∴022
∴b=loga=log2lg2=lg2∈(0,1),
∴a=2lg2>20=1>b,
x∈(0,π)时,sinx即b>c,
∴a>b>c,
故选:
A.
19.(2020·重庆万州外国语学校天子湖校区高三月考(理))已知向量OA=(3,1),OB=(-1,3),
OC=mOA-nOB(m>0,n>0),若m+n∈[1,2],则OC的取值范围是()
A.[5,25]B.[5,210)C.(5,10)D.[5,210]
【答案】A
【解析】OC=(3m+n,m-3n),所以
1≤m+n≤2
|OC|=
(3m+n)2+(m-3n)2=
10(m2+n2)=
10OP,P(m,n)为可行域{
m,n>0
内一点,可
行域为一个梯形ABCD(去掉线段BC,AD)及其内部A(1,0),B(0,1),C(0,2),D(2,0),所以
OP≥d
O-AB=
2,OP2
2,10⨯2)=[5,210).选B.
2
20.(2020·河北高三期末(理))已知函数f(x)的定义域为R,f'(x)为f(x)的导函数,且
f'(x)+f(x)=2xe-x,若f(0)=1,则函数f'(x)的取值范围为()
f(x)
A.[-1,0]
B.[-2,0]
C.[0,1]D.[0,2]
【答案】B
【解析】:
由f'(x)+f(x)=2xe-x,得exf'(x)+exf(x)=2x,
⎣⎦
∴⎡exf(x)⎤'=2x,
设exf(x)=x2+c(c为常数),
∵f(0)=1,
∴c=1,
∴f(x)=x2+1,
ex
2xex-(x2-1)ex
(x-1)2
∴f'(x)=
,
2xx
ee
f'(x)=-(x-1)2=-+2x
∴f(x)x2+11x2+1,
∴当x=0时,f'(x)=-1;
f(x)
f'(x)=-1+2
当x≠0时,
f(x)
1
x+1,
x
-1<-1+2≤0
故当x>0时,x+≥2,当x=1时等号成立,此时
x
x+1;
x
当x<0时,x+1≤-2,当x=-1时等号成立,此时
x
-2≤-1+
2
x+1
x
<-1
.
综上可得
-2≤-1+
2≤0
x+1,
x
()
即函数f'(x)的取值范围为[-2,0].
fx
故选B.
二、填空题
21.(2020·浙江海曙效实中学高三其他)已知x,y∈R,a,b∈(1,+∞),若
ax=by=2,a+=4,则
2+1
xy
的最大值为.
【答案】4
【解析】因为a,b∈(1,+∞),若ax=by=2,所以x=loga2,y=logb2,
所以1=log
x2
a,1=log
y2
b,
所以2+1=2loga+logb=loga2b=log(ab)=2log
2
ab;
xy22222
又a+
b=4,所以4=a+
b≥2
ab,所以4≥ab,当且仅当b=2a=4时等号成立.
所以2+1=2loga+logb=2log
ab≤4,当且仅当b=2a=4时等号成立.
xy222
故答案为:
4.
22.(2020·江苏常熟高三三模)已知正实数a,b满足a+1=1,且1+b≥2t2-7t恒成立,则实数t的取
ba
值范围为.
【答案】⎡-1,4⎤
⎣⎢2⎥⎦
【解析】因为1+b≥2t2-7t恒成立,
a
所以2t2-7t≤⎛1+b⎫,
ça⎪
⎝⎭min
而正实数a,b满足a+1=1,
b
所以⎛1+b⎫⎛a+1⎫=2+ab+1
≥4,
ça⎪çb⎪ab
⎝⎭⎝⎭
当且仅当ab=1,即a=1,b=2时,等号成立,
2
所以2t2-7t≤4,解得-1≤t≤4.
2
故答案为:
⎡-1,4⎤
⎣⎢2⎥⎦
23.(2020·雅安市教育科学研究所高三一模(理))某企业在“精准扶贫”行动中,决定帮助一贫困山区将水果运出销售.现有8辆甲型车和4辆乙型车,甲型车每次最多能运6吨且每天能运4次,乙型车每次最多
能运10吨且每天能运3次,甲型车每天费用320元,乙型车每天费用504元.若需要一天内把180吨水果运输到火车站,则通过合理调配车辆运送这批水果的费用最少为元.
【答案】2560
⎧4⨯6x+3⨯10y…180,⎧4x+5y…30,
⎪0剟x8,
【解析】设安排甲型车x辆,乙型车y辆,由题意有
⎪4,
⎪0剟x8,
即⎨0剟y4,,
⎪⎩x,y∈N,⎪⎩x,y∈N,
⎧4x+5y…30,
⎪0剟x8,
目标函数z=320x+504y,作出不等式组
⎪4,
所表示的平面区域为四点(2.5,4),(8,4),(8,0),
⎪⎩x,y∈N,
(7.5,0)
围成的梯形及其内部,如下图所示:
包含的整点有(8,0),(7,1),(8,1),(5,2),(6,2),(7,2),(8,2),(4,3),(5,3),
(6,3),(7,3),(8,3),(3,4),(4,