第三章函数的应用课后提升练习及答案.docx
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第三章函数的应用课后提升练习及答案
第三章 函数的应用
3.1 函数与方程
3.1.1 方程的根与函数的零点
1.已知函数f(x)的图象是连续不断的,x,f(x)的对应值如下表:
x
0
1
2
3
4
5
f(x)
-6
-2
3
10
21
40
则函数f(x)在区间( )内有零点.( )
A.(-6,-2)B.(1,2)
C.(2,3)D.(3,5)
2.(2014年浙江模拟)设x0为方程2x+x=8的解.若x0∈(n,n+1)(n∈N*),则n的值为( )
A.1B.2C.3D.4
3.如果二次函数y=x2+mx+(m+3)有两个不同的零点,那么实数m的取值范围是( )
A.(-2,6)
B.[-2,6]
C.(-2,6]
D.(-∞,-2)∪(6,+∞)
4.设函数f(x)=x3+x+b是定义在[-2,2]上的增函数,且f(-1)·f
(1)<0,则方程f(x)=0在[-2,2]内( )
A.可能有三个实数根B.可能有两个实数根
C.有唯一的实数根D.没有实数根
5.若x0是方程x=
的解,则x0属于区间( )
A.B.
C.D.
6.利用计算器,列出自变量和函数值的对应值如下表:
x
0.2
0.6
1.0
1.4
1.8
2.2
2.6
3.0
3.4
…
y=2x
1.149
1.516
2.0
2.639
3.482
4.595
6.063
8.0
10.556
…
y=x2
0.04
0.36
1.0
1.96
3.24
4.84
6.76
9.0
11.56
…
那么方程2x=x2的一个根位于区间( )
A.(0.6,1.0)B.(1.4,1.8)
C.(1.8,2.2)D.(2.6,3.0)
7.若关于x的方程x2+2kx-1=0的两根x1,x2满足-1≤x1<0 8.(2011年陕西)设n∈N*,一元二次方程x2-4x+n=0有整数根的充要条件是n=_____________. 9.(2011年山东)已知函数f(x)=logax+x-b(a>0,且a≠1).当2<a<3<b<4时,函数f(x)的零点x0∈(n,n+1),n∈N*,则n=________. 10.试确定方程2x3-x2-4x+2=0的最小根所在的区间,并使区间的两个端点是两个连续的整数. 3.1.2 用二分法求方程的近似解 1.用二分法求如图K311所示的函数f(x)的零点时,不可能求出的零点是( ) 图K311 A.x1B.x2 C.x3D.x4 2.关于用“二分法”求方程的近似解,下列说法不正确的是( ) A.“二分法”求方程的近似解一定可将y=f(x)在区间[a,b]内的所有零点找出来 B.“二分法”求方程的近似解有可能得不到y=f(x)在区间[a,b]内的零点 C.“二分法”求方程的近似解,y=f(x)在区间[a,b]内有可能无零点 D.“二分法”求方程的近似解有可能得到y=f(x)在区间[a,b]内的精确解 3.在用二分法求函数f(x)零点近似值时,第一次取的区间是[-2,4],则第三次所取的区间可能是( ) A.[1,4] B.[-2,1] C.[-2,2.5] D.[-0.5,1] 4.方程x3-2x2+3x-6=0在区间[-2,4]上的根必定属于区间( ) A.[-2,1]B. C.D. 5.函数y=x3与y=x-3的图象交点为(x0,y0),则x0所在的区间为( ) A.(0,1)B.(1,2) C.(2,3)D.(3,4) 6.证明方程6-3x=2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解,并求出这个实数解.(精确度0.1) 7.方程2-x+x2=3的实数解的个数为________. 8.若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,其参考数据如下: f (1)=-2 f(1.5)=0.625 f(1.25)=-0.984 f(1.375)=-0.260 f(1.4375)=0.162 f(1.40625)=-0.054 那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根(精确到0.1)为( ) A.1.2B.1.3 C.1.4D.1.5 9.已知函数f(x)=ax+(a>1). (1)证明: 函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数; (2)若a=3,证明: 方程f(x)=0没有负数根; (3)若a=3,求出方程的根(精确度0.01). 3.2 函数模型及其应用 3.2.1 几类不同增长的函数模型 1.为了改善某地的生态环境,政府决心绿化荒山,计划第一年先植树0.5万亩,以后每年比上年增加1万亩,结果第x年植树的亩数y(单位: 万亩)是时间x(单位: 年)的一次函数,这个函数的图象是( ) 2.下列函数中,随着x的增长,增长速度最快的是( ) A.y=50B.y=1000x C.y=0.4·2x-1D.y=ex 3.某单位为鼓励职工节约用水,作出了如下规定: 每月用水不超过10m3,按每立方米x元收取水费;每月用水超过10m3,超过部分加倍收费,某职工某月缴费16x元,则该职工这个月实际用水为( ) A.13m3B.14m3 C.18m3D.26m3 4.小李得到一组实验数据如下表: t 1.99 3.0 4.0 5.0 6.2 7 V 1.5 4.05 7.5 12 18 23.9 下列模型能最接近数据的是( ) A.V=log tB.V=log2t C.V=3t-2D.V= 5.某地的中国移动“神州行”卡与中国联通130网的收费标准如下表: 网络 月租费 本地话费 长途话费 甲: 联通130网 12元 每分钟0.36元 每6秒钟0.06元 乙: 移动“神州行”卡 无 每分钟0.6元 每6秒钟0.07元 (注: 本地话费以分钟为单位计费,长途话费以6秒钟为单位计费) 若某人每月拨打本地电话时间是长途电话时间的5倍,且每月通话时间(单位: 分钟)的范围在区间(60,70)内,则选择较为省钱的网络为( ) A.甲B.乙 C.甲、乙均一样D.分情况确定 6.从A地向B地打长途电话,按时间收费,3分钟内收费2.4元,3分钟后每多1分钟就加收1元.当时间t≥3时,电话费y(单位: 元)与时间t(单位: 分钟)之间的函数关系式是____________. 7.已知函数y1=2x和y2=x2. 当x∈(2,4]时,函数________的值增长较快; 当x∈(4,+∞)时,函数________的值增长较快. 8.如图K321,点P在边长为1的正方形的边上运动,设M是CD边的中点,则当点P沿着A-B-C-M运动时,以点P经过的路程x为自变量,△APM的面积为函数的图象形状大致是( ) 图K321 9.我们知道,燕子每年冬天都要从北方飞向南方过冬.研究燕子的科学家发现,两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v=5log2,单位是m/s,其中O表示燕子的耗氧量. (1)计算当一只两岁燕子静止时的耗氧量是多少单位; (2)当一只两岁燕子的耗氧量是80个单位时,它的飞行速度是多少? 10.以下是某地区一种生物的数量y(单位: 万只)与繁殖时间x(单位: 年)的数据表: 时间/年 1 2 3 4 数量/万只 10 20 40 80 根据表中的数据,请从y=ax+b,y=alogbx,y=a·bx中选择一种函数模型刻画出该地区生物的繁殖规律,并求出函数解析式. 3.2.2 实际问题的函数模型 1.某种细菌在培养过程中,每20分钟分裂一次(一个分裂为两个),经过3小时后,这种细菌可由1个分裂成( ) A.511个B.512个 C.1023个D.1024个 2.拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费为f(m)=1.06(0.50×[m]+1),其中m>0,[m]是大于或等于m的最小整数,如[4]=4,[2.7]=3,[3.8]=4,则从甲地到乙地的通话时间为5.5分钟的话费为( ) A.3.71元B.3.97元 C.4.24元D.4.77元 3.某银行实行按复利计算利息的储蓄,若本金为2万元,利率为8%,则5年后可得利息( ) A.2×(1+0.8)5元 B.(2+0.08)5元 C.2×(1+0.08)5-2元 D.2×(1+0.08)4-2元 4.一根弹簧的原长为12cm,它能挂的重量不能超过15kg并且每挂重1kg就伸长cm,则挂重后的弹簧长度ycm与挂重xkg之间的函数关系式是( ) A.y=x+12(0<x≤15) B.y=x+12(0≤x<15) C.y=x+12(0≤x≤15) D.y=x+12(0<x<15) 5.在我国大西北,某地区荒漠化土地面积平均每年比上一年增长10.4%,专家预测经过x年,荒漠化土地面积可能增长为原来的y倍,则函数y=f(x)的图象大致是( ) A B C D 6.某单位为鼓励职工节约用水,作出了以下规定: 每位职工每月用水不超过10立方米的,按每立方米m元收费;用水超过10立方米的,超过部分加倍收费.某职工某月缴水费32m元,则该职工这个月实际用水为( ) A.13立方米B.14立方米 C.18立方米D.21立方米 7.某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元,预测六月份销售额为500万元,七月份销售额比六月份递增x%,八月份销售额比七月份递增x%,九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等,若一月至十月份销售总额至少达7000万元,则x的最小值为__________. 8.(2011年北京海淀统测)图K322 (1)是反映某条公共汽车线路收支差额(即营运所得票价收入与付出成本的差)y与乘客量x之间关系的图象.由于目前该条公交线路亏损,公司有关人员提出了两种调整的建议,如图K322 (2)(3)所示. 图K322 给出下列说法: ①图K322 (2)的建议是: 提高成本,并提高票价; ②图K322 (2)的建议是: 降低成本,并保持票价不变; ③图K322(3)的建议是: 提高票价,并保持成本不变; ④图K322(3)的建议是: 提高票价,并降低成本. 其中说法正确的序号是________. 9.某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元,每生产一台仪器需增加成本100元,已知总收益(总成本+利润)满足函数: R(x)=其中x是仪器的月产量(单位: 台). (1)将利润表示为月产量的函数f(x); (2)当月产量为何值时,公司所获利润最大? 最大利润是多少元? 10.提高过江大桥车辆的通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上的车流速度v(单位: 千米/时)是车流密度x(单位: 辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/时.研究表明: 当20 (1)当0≤x≤200时,求函数v(x)的表达式; (2)当车流密度x为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位: 辆/时)f(x)=x·v(x)可以达到最大,并求出最大值(精确到1辆/时). 第三章 函数的应用 3.1 函数与方程 3.1.1 方程的根与函数的零点 1.B 2.B 解析: : ∵x0为方程2x+x=8的解,∴2x0+x0-8=0. 令f(x)=2x+x-8=0,∵f (2)=-2<0,f(3)=3>0,∴x0∈(2,3).再根据x0∈(n,n+1)(n∈N*),可得n=2. 3.D 解析: Δ=m2-4(m+3)>0,∴m>6或m<-2. 4.C 解析: 由题意,可知: 函数f(x)在区间[-2,2]上是连续的、递增的,又f(-1)·f (1)<0,故函数f(x)在[-2,2]内有且只有一个零点,则方程f(x)=0在[-2,2]内有唯一的实数根. 5.C 6.C 解析: 设f(x)=2x-x2,由f(0.6)=1.516-0.36>0,f(1.0)=2.0-1.0>0,故排除A; 由f(1.4)=2.639-1.96>0,f(1.8)=3.482-3.24>0.故排除B; 由f(1.8)=3.482-3.24>0,f(2.2)=4.595-4.84<0,故可确定方程2x=x2的一个根位于区间(1.8,2.2).故选C. 7.解: 设函数f(x)=x2+2kx-1,∵关于x的方程x2+2kx-1=0的两根x1,x2满足-1≤x1<0 8.3或4 解析: x==2±,因为x是整数,即2±为整数,所以为整数,且n≤4,又因为n∈N*,取n=1,2,3,4,验证可知n=3或4符合题意;反之当n=3或4时,可推出一元二次方程x2-4x+n=0有整数根. 9.2 解析: ∵f (2)=loga2+2-b<0,f(3)=loga3+3-b>0,∴x0∈(2,3),故n=2. 10.解: 令f(x)=2x3-x2-4x+2, ∵f(-3)=-54-9+12+2=-49<0, f(-2)=-16-4+8+2=-10<0, f(-1)=-2-1+4+2=3>0, f(0)=0-0-0+2=2>0, f (1)=2-1-4+2=-1<0, f (2)=16-4-8+2=6>0, 根据f(-2)·f(-1)<0,f(0)·f (1)<0,f (1)·f (2)<0, 可知f(x)的零点分别在区间(-2,-1),(0,1),(1,2)内. ∵方程是一个一元三次方程,所以它最多有三个根, ∴原方程的最小根在区间(-2,-1)内. 3.1.2 用二分法求方程的近似解 1.C 2.A 3.D 解析: 因为第一次所取的区间是[-2,4],所以第二次的区间可能是[-2,1],[1,4];第三次所取的区间可能是[-2,-0.5],[-0.5,1],[1,2.5],[2.5,4],只有选项D在其中.故选D. 4.D 解析: 令f(x)=x3-2x2+3x-6,分别计算f(-2),f (1),f,f的值,得f(-2)=-28<0,f (1)=-4<0,f=4.625>0,f≈-1.5156<0.故选D. 5.B 解析: x0即为f(x)=x3-x-3的零点,又∵f (1)=-3<0,f (2)=6>0,∴f(x)在(1,2)有零点. 6.证明: 设函数f(x)=2x+3x-6, ∵f (1)=-1<0,f (2)=4>0,又∵f(x)是增函数, ∴函数f(x)=2x+3x-6在区间[1,2]内有唯一的零点. 则方程6-3x=2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解. 设该解为x0,则x0∈[1,2],f (1)=-1<0,f (2)=4>0, 取x1=1.5,f(1.5)≈1.33>0,f (1)·f(1.5)<0, ∴x0∈(1,1.5). 取x2=1.25,f(1.25)≈0.128>0,f (1)·f(1.25)<0, ∴x0∈(1,1.25). 取x3=1.125,,f(1.125)≈-0.444<0,f(1.125)·f(1.25)<0, ∴x0∈(1.125,1.25). 取x4=1.1875,,f(1.1875)≈-0.16<0,f(1.1875)·f(1.25)<0, ∴x0∈(1.1875,1.25). ∵|1.25-1.1875|=0.0625<0.1, ∴1.1875可作为这个方程的实数解. 7.2个 解析: 画出y=2-x与y=3-x2的图象,有两个交点,故方程2-x+x2=3的实数解的个数为2个. 8.C 解析: f(1.40625)=-0.054<0,f(1.4375)=0.162>0且都接近0,由二分法,知其近似根为1.4. 9. (1)证明: f(x)=ax+=ax+1-(a>1). 设-1 则f(x1)-f(x2)= +1-- = - -3. ∵-1 ∴ - <0,-=>0. ∴f(x1)-f(x2)<0, 即f(x1) (2)证明: 当a=3时,3x+=0, ∵f(0)<0,f (1)=>0, ∴区间(0,1)上必有一根, 由函数单调性,可知: 3x+=0至多有一根,故方程恰有一根在区间(0,1)上.即f(x)=0没有负数根. (3)解: 由二分法f>0,f<0, f>0,f>0,f>0, f<0,f<0, 而-=-, 而<0.01,∴x=可作为该方程的一个根. 3.2 函数模型及其应用 3.2.1 几类不同增长的函数模型 1.A 2.D 3.A 解析: 设实际用水量为am3,则有10x+2x(a-10)=16x,解得a=13. 4.D 解析: 注意到自变量每次增加约为1,V的增加越来越快,结合数据验证,D符合. 5.A 6.y=t-0.6(t≥3) 7.y2=x2 y1=2x 8.A 解析: 当0≤x≤1时,y=·x·1=x;当1<x≤2时,y=1-(x-1)-(2-x)-=-x+;当2<x≤2.5时,y=××1=-x.故选A. 9.解: (1)由题意知,当燕子静止时,它的速度v=0, 代入已知函数关系式可得0=5log2,解得O=10个单位. (2)将耗氧量O=80代入已知函数关系式,得 v=5log2=5log223=15m/s. 10.解: 对于y=ax+b,则 ∴∴y=10x. 而当x=3时,y=30;当x=4时,y=40. 对于y=alogbx,此方程组无解. 对于y=a·bx,∴ ∴y=5·2x.而当x=3时,y=40; 当x=4时,y=80. 故选择函数y=5·2x刻画该地区生物的繁殖规律比较好. 3.2.2 实际问题的函数模型 1.B 2.C 3.C 4.C 5.A 解析: 设原来该地区荒漠化土地面积为a,则经过x年后,面积为a(1+10.4%)x,那么经过x年后增长到原来的y倍,故有y==1.104x.因此图象大致应为指数函数的图象.故选A. 6.D 7.20 8.②③ 9.解: (1)设月产量为x台,则总成本C(x)=20000+100x, 从而f(x)=R(x)-C(x) = (2)当0≤x≤400时,f(x)=-(x-300)2+25000. ∴当x=300时,f(x)max=25000. 当x>400时,f(x)=60000-100x是减函数, ∴f(x)<60000-100×400=20000. 综上所述,当x=300时,f(x)max=25000. 10.解: (1)由题意,当0≤x≤20时,v(x)=60; 当20 由已知,得解得 故函数v(x)的表达式为 v(x)= (2)依题意并由 (1),可得 f(x)= 当0≤x≤20时,f(x)为增函数,故当x=20时,其最大值为60×20=1200; 当20 所以当x=100时,f(x)在区间(20,200]上取得最大值为. 综上所述,当x=100时,f(x)在区间[0,200]上取得最大值为≈3333, 即当车流密度为100辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为3333辆/时.
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