打包下载高中数学人教版必修3 13算法案例 作业共5套Word版含答案.docx

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打包下载高中数学人教版必修313算法案例作业共5套Word版含答案

§1.3　算法案例

一、基础过关

1．自然数8251和6105的最大公约数为（　　）

A．37　　　B．23　　　C．47　　　D．111

2．五次多项式f（x）＝4x5＋3x4＋2x3－x2－x－

，用秦九韶算法求f（－2）等于（　　）

A．－

B.

C.

D．－

3．下列哪组的最大公约数与1855,1120的最大公约数不同（　　）

A．1120,735B．385,350

C．385,735D．1855,325

4．用更相减损之术求294和84的最大公约数时，需做减法的次数是（　　）

A．2B．3

C．4D．5

5．用更相减损之术求36和134的最大公约数，第一步应为______________．

6．我国古代数学发展一直处于世界领先水平，特别是割圆术、更相减损之术、秦九韶算法等，其功能与欧几里得算法相同的是______________．

7．求210与98的最大公约数．

8．用秦九韶算法计算多项式f（x）＝x6－12x5＋60x4－160x3＋240x2－192x＋64当x＝2时的值．

二、能力提升

9．用秦九韶算法计算多项式f（x）＝6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x＋7在x＝0.4时的值时，需做加法和乘法的次数的和为（　　）

A．10B．9

C．12D．8

10．已知f（x）＝x5＋2x3＋3x2＋x＋1，应用秦九韶算法计算x＝3时的值时，v3的值为（　　）

A．27B．11

C．109D．36

11．用秦九韶算法求多项式f（x）＝12＋35x－8x2＋79x3＋6x4＋5x5＋3x6在x＝－4的值时，v4的值为________．

12．求三个数168,54,264的最大公约数．

三、探究与拓展

13．用秦九韶算法求f（x）＝5x5＋2x4＋3.5x3－2.6x2＋1.7x－0.8中x＝5时f（x）的值．

§1.3　算法案例答案

1．A　2.A　3.D　4.C

5．134－36＝98

6．更相减损之术

7．解　∵（210,98）

→（112,98）→（14,98）

→（84,14）→（70,14）

→（56,14）→（42,14）

→（28,14）→（14,14），

∴210与98的最大公约数为14.

8．解　将f（x）改写为

f（x）＝（（（（（x－12）x＋60）x－160）x＋240）x－192）x＋64.

由内向外依次计算一次多项式当x＝2时的值

v0＝1，

v1＝1×2－12＝－10，

v2＝－10×2＋60＝40，

v3＝40×2－160＝－80，

v4＝－80×2＋240＝80，

v5＝80×2－192＝－32，

v6＝－32×2＋64＝0.

∴f

（2）＝0，即x＝2时，原多项式的值为0.

9．C　[∵f（x）＝（（（（（6x＋5）x＋4）x＋3）x＋2）x＋1）x＋7，

∴加法6次，乘法6次，

∴6＋6＝12（次），故选C.]

10．D　[将函数式化成如下形式，

f（x）＝（（（（x＋0）x＋2）x＋3）x＋1）x＋1.

由内向外依次计算：

v0＝1，

v1＝1×3＋0＝3，

v2＝3×3＋2＝11，

v3＝11×3＋3＝36，

v4＝36×3＋1＝109，

v5＝109×3＋1＝328.]

11．220

解析　v4＝（（（a6x＋a5）x＋a4）x＋a3）x＋a2，把a6＝3，a5＝5，a4＝6，a3＝79，a2＝－8，x＝－4代入可得v4＝220.

12．解　∵（168,54）→（114,54）→（60,54）→（6,54）→（6,48）→（6,42）→（6,36）→（6,30）→（6,24）→（6,18）→（6,12）→（6,6），

∴168和54的最大公约数为6.

∵（54,264）→（210,54）→（156,54）→（102,54）→（54,48）→（48,6）→（42,6）→…→（6,6），

∴54和264的最大公约数为6.

故168,54,264的最大公约数为6.

13．解　根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：

f（x）＝（（（（5x＋2）x＋3.5）x＋（－2.6））x＋1.7）x－0.8，按从内向外的顺序依次计算一次多项式x＝5时的值．

v0＝5，

v1＝5×5＋2＝27，

v2＝27×5＋3.5＝138.5，

v3＝138.5×5－2.6＝689.9，

v4＝689.9×5＋1.7＝3451.2，

v5＝3451.2×5－0.8＝17255.2.

所以当x＝5时，

f（x）的值为17255.2.

1.3算法案例

辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法

1.利用秦九韶算法求f（x）=1+2x+3x2+…+6x5当x=2时的值时,下列说法正确的是（　　）

A.先求1+2×2

B.先求6×2+5,第二步求2×（6×2+5）+4

C.f

（2）=1+2×2+3×22+4×23+5×24+6×25直接运算求解

D.以上都不对

解析:

利用秦九韶算法应先算anx+an-1,再算（anx+an-1）x+an-2.

答案:

B

2.用更相减损术求117和182的最大公约数时,需做减法的次数是（　　）

A.5B.6C.7D.8

解析:

182-117=65,117-65=52,65-52=13,52-13=39,39-13=26,26-13=13,共做6次减法.

答案:

B

3.1037和425的最大公约数是（　　）

A.51B.17C.9D.3

解析:

用辗转相除法计算如下:

1037=425×2+187,425=187×2+51,187=51×3+34,51=34×1+17,34=17×2.

所以1037和425的最大公约数是17.

答案:

B

4.用秦九韶算法求多项式f（x）=12+35x-8x2+79x3+6x4+5x5+3x6在x=-4的值时,v4的值为（　　）

A.-57B.220C.-845D.3392

解析:

由秦九韶算法有:

v0=3,v1=v0x+5=-7,v2=-7x+6=34,v3=34x+79=-57,v4=-57x-8=220.

答案:

B

5.三个数175,100,75的最大公约数是（　　）

A.5B.25C.75D.50

解析:

先求175与100的最大公约数:

175=100×1+75,

100=75×1+25,

75=25×3.

则175与100的最大公约数是25.

以下再求25与75的最大公约数:

75-25=50,50-25=25.

故25是75和25的最大公约数,也就是175,100,75的最大公约数.

答案:

B

6.3141与1278的最大公约数为　　　　　. 

解析:

用辗转相除计算:

3141=1278×2+585,1278=585×2+108,585=108×5+45,108=45×2+18,45=18×2+9,18=9×2.

所以3141与1278的最大公约数为9.

答案:

9

7.已知多项式p（x）=3x5+9x4+x3+kx2+4x+11,当x=3时的值为1616,则k=　　　　　. 

解析:

p（x）=（（（（3x+9）x+1）x+k）x+4）x+11,

p（3）=（（（（3×3+9）3+1）3+k）3+4）×3+11=1616.

所以k=12.

答案:

12

8.有甲、乙、丙三种溶液分别重147g,343g,133g,现要将它们分别全部装入小瓶中,每个小瓶装入液体的质量相同,则每瓶最多装　　　　g. 

解析:

先求147与343的最大公约数:

343-147=196,

196-147=49,

147-49=98,

98-49=49.

所以147与343的最大公约数是49.

再求49与133的最大公约数:

133-49=84,

84-49=35,

49-35=14,

35-14=21,

21-14=7,

14-7=7.

所以147,343,133的最大公约数为7,

即每瓶最多装7g.

答案:

7

9.求1356和2400的最小公倍数.

解:

2400=1356×1+1044,

1356=1044×1+312,

1044=312×3+108,

312=108×2+96,

108=96×1+12,

96=12×8.

所以1356与2400的最大公约数为12.

则1356与2400的最小公倍数为（1356×2400）÷12=271200.

10.用秦九韶算法求当x=2时多项式f（x）=8x7+5x6+3x4+2x+1的值.

解:

根据秦九韶算法,把多项式改写成如下的形式:

f（x）=8x7+5x6+0·x5+3x4+0·x3+0·x2+2x+1=（（（（（（8x+5）x+0）x+3）x+0）x+0）x+2）x+1.

按照从内到外的顺序,依次计算一次多项式当x=2时的值,

v0=8;

v1=8×2+5=21;

v2=21×2+0=42;

v3=42×2+3=87;

v4=87×2+0=174;

v5=174×2+0=348;

v6=348×2+2=698;

v7=698×2+1=1397.

故当x=2时,多项式的值为1397.

1.3算法案例

基础巩固

一、选择题

1．下列写法正确的是（　　）

A．751（16）　　　　　B．751（7）

C．095（12）D．901

（2）

[答案]　A

2．（2015·莆田高一检测）将五进制数1234（5）化为十进制数为（　　）

A．14214B．26

C．41241D．194

[答案]　D

3．把十进制数258化为十六进制数为（　　）

A．96（16）B．98（16）

C．100（16）D．102（16）

[答案]　D

4．（2015·大庆高一检测）把89化为五进制数，则此数为（　　）

A．322（5）B．322（5）

C．324（5）D．325（5）

[答案]　C

5．下列各数中，最小的是（　　）

A．101010

（2）B．111（5）

C．32（8）D．54（6）

[答案]　C

[解析]　101010

（2）＝1×25＋0×24＋1×23＋0×22＝1×21＋0×22＝42，

111（5）＝1×52＋1×51＋1×50＝31，

32（8）＝3×81＋2×80＝26，

54（6）＝5×61＋4×60＝34.

又42＞34＞31＞26，故最小的是32（8）．

6．下列与二进制数1001101

（2）相等的是（　　）

A．115（8）B．113（8）

C．114（8）D．116（8）

[答案]　A

[解析]　先化为十进制数：

1001101

（2）＝1×26＋1×23＋1×22＋1×20＝77，再化为八进制．

所以77＝115（8），

所以1001101

（2）＝115（8）．

二、填空题

7．

（1）十进制数化为k进制数是采取________，即用k连续去除十进制数所得的商，最后将余数________写出．

（2）k进制数化为十进制数是把k进制数写成________________的形式，再计算出结果即可．

[答案]　

（1）除k取余法　倒排

（2）各位上的数字与k的幂的乘积之和

8．103（5）化为十进制数为________．

[答案]　28

[解析]　103（5）＝1×52＋0×51＋3×50＝28.

三、解答题

9．已知44（k）＝36，把67（k）转化为十进制数．

[解析]　由题意得36＝4×k1＋4×k0，则k＝8.

故67（k）＝67（8）＝6×81＋7×80＝55.

10．把八进制数2011（8）化为五进制数．

[探究]　

→

→

[解析]　2011（8）＝2×83＋0×82＋1×81＋1×80＝1024＋0＋8＋1＝1033.

∴2011（8）＝13113（5）．

[规律总结]　把一个非十进制数转化为另一个非十进制数，通常是把这个数先转化为十进制数，然后把十进制数再转化为另一个非十进制数．

能力提升

一、选择题

1．（2015·甘肃兰州期中）已知10b1

（2）＝a02（3），则a＋b的值为（　　）

A．0B．1

C．2D．3

[答案]　C

[解析]　10b1

（2）＝1×23＋b×2＋1＝2b＋9，a02（3）＝a×32＋2＝9a＋2，

∴2b＋9＝9a＋2，即9a－2b＝7.∵a∈{1,2}，b∈{0,1}，

∴当a＝1，b＝1时符合题意，当a＝2，b＝

时不合题意，

∴a＝1，b＝1，即a＋b＝2，故选C.

2．在八进制中12（8）＋7（8）＝21（8），则12（8）×7（8）的值为（　　）

A．104（8）B．106（8）

C．70（8）D．74（8）

[答案]　B

[解析]　12（8）＝1×81＋2×80＝10（10），

7（8）＝7×80＝7（10），

12（8）×7（8）＝70（10）．

故70（10）＝106（8）．即12（8）×7（8）＝106（8）．

3．计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：

十六进制

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

A

B

C

D

E

F

十进制

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

例如用十六进制表示：

E＋D＝1B，则A×B等于（　　）

A．6EB．72

C．5FD．B0

[答案]　A

[解析]　在十六进制中，E＋D＝1B的意义是：

14＋13＝27＝16＋11.在十进制中，A×B＝10×11＝110.又110＝16×6＋14，故在十六进制中，A×B＝6E.

4．（2015·深圳模拟）如图是将二进制数11111

（2）化为十进制数的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（　　）

A．i≤5B．i≤4

C．i>5D．i>4

[答案]　D

二、填空题

5．21（7）＋13（4）＝________.

[答案]　22

[解析]　21（7）＝2×71＋1×70＝15,13（4）＝1×41＋3×40＝7，则21（7）＋13（4）＝15＋7＝22.

6．若k进制数132（k）与二进制数11110

（2）相等．则k＝________.

[答案]　4

[解析]　将这两个数都转化为十进制数，132（k）＝k2＋3k＋2,11110

（2）＝24＋23＋22＋21＝30，

∴k2＋3k＋2＝30，解之得k＝4或k＝－7（舍去）．

[规律总结]　在k进制中，共有k个数字符号．它们是0,1,2,3，…，（k－1）．如十进制有0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十个数字符号．五进制中有0,1,2,3,4五个数字符号．

三、解答题

7．若10y1

（2）＝x02（3），求数字x，y的值及与此两数等值的十进制数．

[分析]　由二进制及三进制可知，y∈{0,1}，x∈{1,2}，将二进制数和三进制数都转化为十进制数，再由两数相等及x、y的取值范围可得出x、y的值．

[解析]　∵10y1

（2）＝x02（3），

∴1×23＋0×22＋y×2＋1＝x×32＋0×3＋2，

将上式整理得9x－2y＝7，

由进位制的性质知，

x∈{1,2}，y∈{0,1}，

当y＝0时，x＝

（舍），

当y＝1时，x＝1.

∴x＝y＝1，已知数为102（3）＝1011

（2），

与它们相等的十进制数为

1×32＋0×3＋2＝11.

8．古时候，当边境有敌人来犯时，守边的官兵通过在烽火台上点火向境内报告，如下图，烽火台上点火表示数字1，未点火表示数字0，约定二进制数对应的十进制数的单位是1000，请你计算一下，这组烽火台表示有多少敌人入侵？

[解析]　由题图可知这组烽台表示的二进制数为11011

（2），它表示的十进制数为11011

（2）＝1×24＋1×23＋0×22＋1×21＋1×20＝27，由于二进制数对应的十进制数的单位是1000，所以入侵的数量为27×1000＝27000.

§1.3　算法案例

课时目标　通过三种算法案例：

辗转相除法与更相减损术，秦九韶算法，进位制，进一步体会算法的思想，提高算法设计水平，体会中国古代数学对世界的贡献．

1．辗转相除法

（1）辗转相除法，又叫欧几里得算法，是一种求两个正整数的最大公约数的古老而有效的算法．

（2）辗转相除法的算法步骤

第一步，给定两个正整数m，n.

第二步，计算m除以n所得的余数r.

第三步，m＝n，n＝r.

第四步，若r＝0，则m、n的最大公约数等于m；否则，返回第二步．

2．更相减损术

第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数．若是，用2约简；若不是，执行第二步．

第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数，继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数．

3．秦九韶算法

把一个n次多项式f（x）＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0改写成如下形式：

（…（（anx＋an－1）x＋an－2）x＋…＋a1）x＋a0，

求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即v1＝anx＋an－1，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即

v2＝v1x＋an－2，

v3＝v2x＋an－3，

…

vn＝vn－1x＋a0

这样，求n次多项式f（x）的值就转化为求n个一次多项式的值．

4．进位制

进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，“满k进一”就是k进制，k进制的基数是k.

把十进制转化为k进制数时，通常用除k取余法．

一、选择题

1．下列说法中正确的个数为（　　）

（1）辗转相除法也叫欧几里得算法；

（2）辗转相除法的基本步骤是用较大的数除以较小的数；

（3）求最大公约数的方法，除辗转相除法之外，没有其他方法；

（4）编写辗转相除法的程序时，要用到循环语句．

A．1B．2C．3D．4

答案　C

解析　

（1）、

（2）、（4）正确，（3）错误．

2．用更相减损术求294和84的最大公约数时，需做减法的次数是（　　）

A．2B．3C．4D．5

答案　C

解析　由于294和84都是偶数，

所以用2约简：

294÷2＝147，

84÷2＝42，

又由于147不是偶数，

所以147－42＝105，

105－42＝63，

63－42＝21，

42－21＝21，

故需做4次减法，故选C.

3．1037和425的最大公约数是（　　）

A．51B．17C．9D．3

答案　B

解析　∵1037＝425×2＋187，

425＝187×2＋51，

187＝51×3＋34，

51＝34×1＋17，

34＝17×2，

即1037和425的最大公约数是17.

4．用秦九韶算法计算多项式f（x）＝6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x＋7在x＝0.4时的值时，需做加法和乘法的次数的和为（　　）

A．10B．9C．12D．8

答案　C

解析　f（x）＝（（（（（6x＋5）x＋4）x＋3）x＋2）x＋1）x＋7

∴加法6次，乘法6次，

∴6＋6＝12（次），故选C.

5．已知f（x）＝x5＋2x3＋3x2＋x＋1，应用秦九韶算法计算x＝3时的值时，v3的值为（　　）

A．27B．11C．109D．36

答案　D

解析　将函数式化成如下形式．

f（x）＝（（（x＋0）x＋2）x＋3）x＋1）x＋1

由内向外依次计算：

v0＝1，

v1＝1×3＋0＝3，

v2＝3×3＋2＝11，

v3＝11×3＋3＝36，

v4＝36×3＋1＝109，

v5＝109×3＋1＝328.

6．下列有可能是4进制数的是（　　）

A．5123B．6542C．3103D．4312

答案　C

解析　4进制数每位上的数字一定小于4，故选C.

二、填空题

7．辗转相除法程序中有一空请填上．

答案　aMODb

解析　MOD用来表示a除以b的余数．

8．更相减损术程序中有两空请填上．

答案　a＝b　b＝r

9．已知三个数12（16），25（7），33（4），将它们按由小到大的顺序排列为________．

答案　33（4）<12（16）<25（7）

解析　将三个数都化为十进制数．

12（16）＝1×16＋2＝18，

25（7）＝2×7＋5＝19，

33（4）＝3×4＋3＝15，

∴33（4）<12（16）<25（7）．

三、解答题

10．用两种方法求210与98的最大公约数．

解　用辗转相除法：

210＝98×2＋14，

98＝14×7.

∴210与98的最大公约数为14.

用更相减损术：

∵210与98都是偶数，用2约简得

105和49，

105－49＝56,56－49＝7，

49－7＝42,42－7＝35，

35－7＝28,28－7＝21，

21－7＝14,14－7＝7.

∴210与98的最大公约数为2×7＝14.

11．用秦九韶算法计算多项式f（x）＝x6－12x5＋60x4－160x3＋240x2－192x＋64当x＝2时的值．

解　将f（x）改写为

f（x）＝（（（（（x－12）x＋60）x－160）x＋240）x－192）x＋64

由内向外依次计算一次多项式当x＝2时的值

v0＝1，

v1＝1×2－12＝－10，

v2＝－10×2＋60＝40，

v3＝40×2－160＝－80，

v4＝－80×2＋240＝80，

v5＝80×2－192＝－32，

v6＝－32×2＋64＝0.

∴f

（2）＝0，即x＝2时，原多项式的值为0.

能力提升

12．把111化为五进制数．

解　

∴111化为五进制数为421（5）．

13．把10231（5）化为四进制数．

解　先化成十进制数．

10231（5）＝1×54＋0×53＋2×52＋3×51＋1

＝625＋50＋15＋1

＝691

再化为四进制数

∴10231（5）＝22303（4）.

反思感悟

1．辗转相除法与更相减损术的区别和联系

（1）都是求最大公约数的方法．

（2）二者的实质都是递归的过程．

（3）二者都要用循环结构来实现．

2．秦九韶算法的特点

秦九韶算法的特点在于把求一个n次多项式的值转化为求n个一次多项式的值，即把求f（x）＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0的值转化为求递推公式：

这样可以最多计算n次乘法和n次加法即可得多项式的值，和直接代入多项式相比减少了乘法的运算次数，提高了运算效率．

3．十进制与其他进制的转化

（1）将k进制转化为十进制的方法：

先把k进制数写成各位上的数字与k的幂的乘积的形式，再按十进制的运算规则计算．

（2）将十进制化成k进制的方法：

用除k取余法，用k连续去除十进制数所得的商，直到商为零为止，然后将各步所得的余数倒序写出，即为相应的k进制数．

第一章　1.3　第1课时

基础巩固

一、选择题

1．（2015·遵义高一检测）用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是（　　）

A．3　　　　　　　　B．9

C．17D．