14 条件概率乘法公式.docx
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14条件概率乘法公式
1.4
条件概率、乘法公式
一、条件概率
二、乘法定理
三、全概率公式与贝叶斯公式
四、小结
一、条件概率
1.引例将一枚硬币抛掷两次,观察其出现正反
两面的情况,设事件A为“至少有一次为正面”,事
件B为“两次掷出同一面”.现在来求已知事件A已
经发生的条件下事件B发生的概率.
分析设H为正面,HT为反面TT}.
21
42
事件A已经发生的条件下事件B发生的概率,记为
P(BA),则P(BA)=
1
3
=
14
34
=
P(AB)
P(A)
≠P(B).
A={HH,HT,TH},B={HH,TT},P(B)==.
S={HH,TH,.
2.定义
设A,B是两个事件,且P(A)>0,称
P(BA)=
P(AB)
P(A)
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率.
同理可得
P(AB)=
P(AB)
P(B)
为事件B发生的条件下事件A发生的条件概率.
3.性质
(1)非负性:
P(BA)≥0;
(2)规范性:
P(SB)=1,P(∅B)=0;
(3)P(AUA2B)=P(AB)+P(A2B)−P(AA2B);
(4)P(AB)=1−P(AB).
B
件,则有
⎝i=1⎠i=1
∞
(5)可列可加性:
设B12,L是两两不相容的事
111
⎛∞⎞
P⎜⎜UBiA⎟⎟=∑P(BiA).
二、乘法定理
设P(A)>0,则有
P(AB)=P(BA)P(A).
设A,B,C为事件,且P(AB)>0,则有
P(ABC)=P(CAB)P(BA)P(A).
推广设A1,A2,L,An为n个事件,n≥2,
且P(A1A2LAn−1)>0,则有
P(A1A2LAn)=P(AnA1A2LAn−1)⋅
P(An−1A1A2LAn−2)⋅L⋅P(A2A1)P(A1).
例1一盒子装有4只产品,其中有3只一等品、1只
二等品.从中取产品两次,每次任取一只,作不放回抽
样.设事件A为“第一次取到的是一等品”、事件B为
“第二次取到的是一等品”.试求条件概率P(B|A).
解将产品编号,1,2,3为一等品;4号为二等品.
以(i,j)表示第一次、第二次分别取到第i号、第
j号产品,则试验的样本空间为
S={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),L,
(4,1),(4,2),(4,3)},
A={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),
(3,1),(3,2),(3,4)},
AB={(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)},
由条件概率的公式得
P(BA)=
P(AB)
P(A)
=
612
912
2
3
=.
例2某种动物由出生算起活20岁以上的概率为
0.8,活到25岁以上的概率为0.4,如果现在有一个
20岁的这种动物,问它能活到25岁以上的概率是
多少?
解
设A表示“能活20岁以上”的事件,
B表示“能活25岁以上”的事件,
则有
P(BA)=
P(AB)
P(A)
.
因为P(A)=0.8,P(B)=0.4,
P(AB)=P(B),
所以P(BA)=
P(AB)
P(A)
0.41
0.82
==.
抓阄是否与次序有关?
例3五个阄,其中两个阄内写着“有”
字,三个阄内不写字,五人依次抓取,
问各人抓到“有”字阄的概率是否相同?
解设Ai表示“第i人抓到有字阄”的事件,
i=1,2,3,4,5.
2
5
P(A)=P(AS)=P(A2I(AUA))
则有P(A1)=,
2211
=P(AAUAA)=P(A1A2)+P(A1A2)
=P(A1)P(A2A1)+P(A1)P(A2A1)
2132
5454
2
5
P(A3)=P(A3S)=P(A3(A1A2UA1A2UA1A2))
=P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)
1212
=⋅+⋅
=,
=P(A)P(A2A)P(A3AA2)+P(A)P(A2A)P(A3AA2)
+P(A1)P(A2A1)P(A3A1A2)
231321322
543543543
故抓阄与次序无关.
2
5
2
5
111111
=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅
=,
依此类推P(A4)=P(A5)=.
摸球试验
例4设袋中装有r只红球、t只白球.每次自袋中
任取一只球,观察其颜色然后放回,并再放入a只
与所取出的那只球同色的球,若在袋中连续取球
四次,试求第一、二次取到红球且第三、四次取
到白球的概率.
解设Ai(i=1,2,3,4)为事件“第i次取到红球”
则A3、A4为事件第三、四次取到白球.
因此所求概率为
P(A1A2A3A4)
=P(A4A1A2A3)P(A3A1A2)P(A2A1)P(A1)
=
t+atr+ar
r+t+3ar+t+2ar+t+ar+t
.
此模型被波利亚用来作为描述传染病的数学模型.
⋅
⋅
⋅
例5设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时
打破的概率为1/2,若第一次落下未打破,第二次落
下打破的概率为7/10,若前两次落下未打破,第三
次落下打破的概率为9/10.试求透镜落下三次而未
打破的概率.
解以Ai(i=1,2,3)表示事件"透镜第i次落下打破",
以B表示事件“透镜落下三次而未打破”.
因为B=A1A2A3,
所以P(B)=P(A1A2A3)=P(A3A1A2)P(A2A1)P(A1)
=(1−
9
10
)(1−
7
10
1
2
3
200
.
)(1−)=
三、全概率公式与贝叶斯公式
1.样本空间的划分
B
E的一组事件,若
(i)BiBj=∅,i≠j,i,j=1,2,L,n;
(ii)B1UB2ULUBn=S.
B
B3
B2
B1
LBn−1Bn
定义设S为试验E的样本空间,B12,L,Bn为
则称B12,L,Bn为样本空间S的一个划分.
2.全概率公式
定理
设试验E的样本空间为S,A为E的事件,
B1,B2,L,Bn为S的一个划分,且P(Bi)>0(i=
1,2,L,n),则
P(A)=P(AB1)P(B1)+P(AB2)P(B2)+L
+P(ABn)P(Bn)
全概率公式
证明
A=AS=AI(B1UB2ULUBn)
=AB1UAB2ULUABn.
由BiBj=∅⇒(ABi)(ABj)=∅
⇒P(A)=P(AB1)+P(AB2)+L+P(ABn)
=P(AB)P(B)+P(AB2)P(B2)+L+P(ABn)P(Bn).
图示
B2
B3
A
LBn−1
B1
Bn
化整为零
各个击破
11
说明全概率公式的主要用处在于它
可以将一个复杂事件的概率计算问题,
分解为若干个简单事件的概率计算问
题,最后应用概率的可加性求出最终
结果.
B2
A
B1
B3
LBn−1
Bn
例6有一批同一型号的产品,已知其中由一厂
生产的占30%,二厂生产的占50%,三厂生
产的占20%,又知这三个厂的产品次品率分别
为2%,1%,1%,问从这批产品中任取一件
是次品的概率是多少?
解
设事件A为“任取一件为次品”,
事件Bi为“任取一件为i厂的产品”,i=1,2,3.
B1UB2UB3=S,
BiBj=∅,i,j=1,2,3.
30%2%
1%
1%
50%
20%
S
由全概率公式得
P(A)=P(AB)P(B)+P(AB2)P(B2)+P(AB3)P(B3).
P(B1)=0.3,P(B2)=0.5,P(B3)=0.2,
P(AB1)=0.02,P(AB2)=0.01,P(AB3)=0.01,
故P(A)=P(AB)P(B)+P(AB2)P(B2)+P(AB3)P(B3)
=0.02⋅0.3+0.01⋅0.5+0.01⋅0.2=0.013.
11
11
3.贝叶斯公式
定理
设试验E的样本空间为S.A为E的事件,B1
B2,L,Bn为S的一个划分,且P(A)0,P(Bi)0,
(i1,2,L,n),则
P(BiA)
n
P(ABi)P(Bi)
)P(B
i1,2,L,n.
称此为贝叶斯公式.
∑j1P(ABjj)
证明
P(BiA)
P(BiA)
P(A)
n
P(ABi)P(Bi)
)P(B
i1,2,L,n.
∑j1P(ABjj)
例7某电子设备制造厂所用的元件是由三家元
件制造厂提供的.根据以往的记录有以下的数据:
元件制造厂
1
2
3
次品率
0.02
0.01
0.03
提供元件的份额
0.15
0.80
0.05
设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的,且
无区别的标志.
(1)在仓库中随机地取一只元件,求它是次品的
概率;
(2)在仓库中随机地取一只元件,若已知取到的是
次品,为分析此次品出自何厂,需求出此次品由三
家工厂生产的概率分别是多少.试求这些概率.
解设A表示“取到的是一只次品”,Bi(i1,2,3)
表示“所取到的产品是由第i家工厂提供的”.
则
B1,B2,B3是样本空间S的一个划分,
且
P(B1)0.15,
P(B2)0.80,
P(B3)0.05,
P(AB1)0.02,
P(AB2)0.01,
P(AB3)0.03.
(1)由全概率公式得
P(A)P(AB1)P(B1)P(AB2)P(B2)P(AB3)P(B3)
0.0125.
(2)由贝叶斯公式得
P(B1A)
P(AB1)P(B1)
P(A)
0.02⋅0.15
0.0125
=0.24.
P(B2A)=
P(B3A)=
P(AB2)P(B2)
P(A)
P(AB3)P(B3)
P(A)
=0.64,
=0.12.
故这只次品来自第2家工厂的可能性最大.
例8对以往数据分析结果表明,当机器调整得
良好时,产品的合格率为98%,而当机器发生某
种故障时,其合格率为55%.每天早上机器开动
时,机器调整良好的概率为95%.试求已知某日
早上第一件产品是合格品时,机器调整得良好的
概率是多少?
解设A为事件“产品合格”,
B为事件“机器调整良好”.
则有
P(AB)=0.98,
P(AB)=0.55,
P(B)=0.95,
P(B)=0.05,
由贝叶斯公式得所求概率为
P(BA)=
P(AB)P(B)
P(AB)P(B)+P(AB)P(B)
=
0.98⋅0.95
0.98⋅0.95+0.55⋅0.05
=0.97.
即当生产出第一件产品是合格品时,此时机器调
整良好的概率为0.97.
先验概率与后验概率
上题中概率0.95是由以往的数据分析得到的,叫
做先验概率.
而在得到信息之后再重新加以修正的概率0.97
叫做后验概率.
例9
根据以往的临床记录,某种诊断癌症的试
验具有如下的效果:
若以A表示事件“试验反应
为阳性”,以C表示事件“被诊断者患有癌症”,则
有P(AC)=0.95,P(AC)=0.95.现在对自然人群
进行普查,设被试验的人患有癌症的概率为0.005,
即P(C)=0.005,试求P(CA).
解
因为P(AC)=0.95,
P(AC)=1−P(AC)=0.05,
P(C)=0.005,
P(C)=0.995,
由贝叶斯公式得所求概率为
P(CA)=
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