小六数学第17讲工程问题.docx
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小六数学第17讲工程问题
第十八讲工程问题
工程问题指的是与工程建造有关的数学问题。
然而其内容已不仅是工程方面的,还包括水管注水、行路等许多方面。
工程问题常涉及到工作量、工作效率和工作时间,且这三者之间具有如下关系式:
工作量=工作效率×工作时间
工作时间=工作量÷工作效率
工作效率=工作量÷工作时间
工作量指工作的多少,它可以是全部工作量,一般用单位“1”表示;也可是部分工作量,常用分数表示。
例如,工程的一半表示成,工程的三分之一表示成。
工作效率指工作的快慢,也就是单位时间里所干的工作量。
工作效率的单位是一个复合单位,用“工作量/天”或“工作量/时”等表示。
但在不引起误会的情况下,一般不写工作效率的单位。
工程问题可分为两类:
一类是已知具体工作量,另一类是未给具体工作量。
在解答工程问题时,我们要遵循以下原则:
一是工作量没有具体给出的,可设工作量为单位“1”;二是由于工作总量为“1”,那么,参与这项工作的每个人(队)单独做的工作效率可用此人(队)单独做的工作时间的倒数表示。
解题过程中,我们会发现,解答工程问题,常常是围绕找工作效率进行中,有些工作效率可以通过工作时间得到,而有些则要根据“工程”进程变化规律得到。
在解题时,我们要弄清原来的、现在的之间的关系,以两者关系为突破口解答问题。
由于工程问题是研究工作量、工作效率和工作时间三者间关系的问题。
因此我们就要从题目中发掘出三者之中的两者,特别是找出工作效率,这往往是解题的关键,也是本讲的重点内容。
例1:
甲、乙、丙三人合修一堵围墙,甲、乙合修6天完成了,乙、丙合修2天完成余下工程的,剩下的再由甲、乙、丙三人合修5天完成,现领工资共180元,按工作量分配,甲、乙、丙应各领多少元?
思路剖析
此题看上去有点复杂,其实问题的关键在于求出甲、乙、丙三个各自的工作效率。
由已知条件,甲、乙合作6天完成了,故可求出甲、乙两人的工作效率和,即,同样可求出乙、丙两人工作效率以及甲、乙、丙三人工作效率的和。
从而可求出甲、乙、丙三人各自的工作效率,进而根据他们各自完成的工作天数(即工作量)求出他们应领到的工资。
解答
因为甲、乙合修了6天完成工作的,所以甲、乙两人的工作效率和为。
剩下的工作量为,剩下工作量的为,由乙、丙两天完成,所以乙、丙的工作效率和为。
最后剩下的工作量为,由甲、乙、丙三人5天完成,所以甲、乙、丙三个的工作效率和为。
因此,甲的工作效率为。
因此,甲的工作效率为,丙的工作效率为,乙的工作效率为。
进而,甲完成的工作量为,乙完成的工作量为,丙完成的工作量为。
所以,甲应领工资,乙应领工资,丙应领工资
例2:
一项工程,甲单独完成要30天,乙单独完成要45天,丙单独完成要90天。
现由甲、乙、丙三个合作完成此工程。
在工作过程中甲休息了2天,乙休息了3天,丙没有休息,最后把这项工程完成了。
问这项工程前后一共用了多少天?
思路剖析
本题实际上是求丙一共工作了天数,解题的关键在于怎样处理三个人工作时间不一致的问题。
我们可进行如下处理:
以丙的工作天数为所求,把甲、乙两人看作未休息,在工作总量上加上甲、乙丙人未休息所作的工作量,这样就可以看作三个人的工作时间相同,即丙的工作时间,从而求出这个数。
解答
把这项工程看作“1”,指甲休息2天,乙休息3天的工作量加在总工作量上,看成三人的工作时间与丙相同。
答:
完成这项工程前后一共用了17天。
例3:
一项工程,乙队先单独做4天,继而甲、丙两队合做6天,剩下的工程甲队又独做9天才全部完成。
已知乙队完成的是甲队完成的,丙队完成的是乙队完成的2倍。
甲、乙、丙三队独做,各需要多少天完成?
思路剖析
已知乙队完成的是甲队完成的,丙队完成的是乙队完成的2倍,按“甲、乙、丙三队共同完成一项工程”为等量关系列方程分别求出甲、乙、丙各完成全部工程的几分之几。
然后用甲、乙、丙完成任务的几分之几:
即甲、乙、丙各自的工作量,分别除以各自的工作时间,就可得到他们各自的工作效率,进而求出甲、乙、丙三队独做各需要多少天。
解答
设甲队完成了x,则乙队完成了,丙队完成了。
因此,甲队独做时间为:
,乙单独做时间为:
,丙队独做时间为:
。
答:
甲、乙、丙独做分别需要30、24、18天。
例4:
一个水池装了一根进水管和3根粗细相同的出水管。
单开一根进水管20分钟可将水池注满,单开一根出水管45分钟可将水池的水放完。
现在水池中有池水,4根水管一起打开,多少分钟后水池的水还剩下?
思路剖析
由题目条件知,水池原有水,减至,所以水池的水减少了,因此我们要从“放水”这个角度来考虑问题。
由于既有进水,又有出水,所以放水的工作效率应为放水效率与进水效率的差。
解答
因为一根进水管20分钟可将水池注满,所以它的进水效率为。
一根出水管45分钟可将水池水放完。
所以一根出水管放水效率为。
水池原有水,后减少到,所以放水量为。
4根水管齐开,流水的工作效率为。
所以,花费的时间为。
答:
需16分钟。
例5:
2个蟹将和4个虾兵能打扫龙宫的,8个蟹将和10虾兵在同样的时间里就能打扫完全部龙宫,如果单让蟹将去打扫与单让虾兵去打扫进行比较,那么要打扫完全部龙宫,虾兵比蟹将要多几个?
思路剖析
我们把打扫完全部龙宫的工作量看作“1”,那么由题目知,2个蟹将和4个虾兵完成,8个蟹将和10个虾兵完成“1”。
两相比较可知,当把第一个条件转化成2×4个蟹将和4×4个虾兵完成,就能消去蟹将,得出(4×4-10)个虾兵完成。
这既可看作(4×4-10)个虾兵能打扫完全部龙宫的,也可看作(4×4-10)个虾兵占所需虾兵总数的。
根据后者就可以比较简捷地求出单让虾兵打扫需要多少个,进而求出单让蟹将打扫需要多少个,使问题得到解决。
解答
单让虾兵打扫所需要的个数为
单让蟹将打扫所需要的个数为
所以,虾兵与蟹将要多30-12=18(个)。
例6:
一比工人到甲、乙两上工地进行清理工作,甲工地的工作量是乙工地工作量的倍。
上午去甲工地,其他工人到乙工地,到傍晚时,甲工地的工作已做完,乙工地的工作还需4名工人再做一天。
那么这批工人有多少人?
思路剖析
题目本身比较复杂,涉及的“量”与“关系”比较多,然而解题的关键在于抓住“甲工地的工作做完,乙工地的工作还需4名工人再做1天”找到乙工地剩余工作量相当于甲工地的几分之几。
解答
根据上午去甲工地人数是去乙工地人数的3倍,可知上午去甲工地人数是这批工人的,去乙工地人数是这批工人的。
又下午去甲工地人数是这批工人,可知去乙工地人数是这批工人的。
由此可知,甲工地上、下午所完成的工作量之比是,即上午完成甲工地总工作量的,下午完成甲工地总工作量的。
这样,上午乙工地完成的工作量相当于甲工地的,下午乙工地完成的工作量相当于甲工地的,这样乙工地剩余的工作量相当于甲工地的。
因为乙工地剩下的工作量还需要4名工人再做1天,所以这批工人数是。
例7:
一个空水池有甲、乙两根进水管和一根排水管,单开甲管需5分钟注满水池,单开乙管需10分钟注满水池,满池水如果单开排水管需要6分钟流尽。
某次池中无水,打开甲管若干分钟后,发现排水管未关上,随即关上排水管,同时打开乙管。
又过了同样时间,水池的注了水。
如果继续注满水池,前后一共花了多少时间?
思路剖析
一方面,可以根据:
,列出方程来求解。
另外,由题目知甲、乙管及排水管的工效率以及两上阶段所用时间相等,可求出工作效率和,进而求解。
解答
☆解法一:
设打甲管未发现排水管关上这段时间为x分钟,列出方程得:
那么注满水池共需
☆解法二:
由题目知:
甲管的工作效率为,排水管的工作效率为,那么在单开甲管,没有发现排水管未关上这段时间内,每分钟只能注入:
的水;又关上排水管,同时打开乙管后每分钟注入:
的水。
我们又知道这段时间相等。
所以,可以认为用的工作效率之和注水若干分钟后,水池注入,以后继续注水时间为。
因此,注满水池,前后一共花了1.5+2.5=4(分钟)。
答:
注满水池共用4分钟。
例8:
一件工作,甲做了5小时以后由乙来做,3小时可以完成。
乙做9小时后由甲来做,也是3小时可以完成,那么甲做1小时后由乙来做,多少小时可以完成?
思路剖析
我们根据题目条件可以利用下面两个等式来解题:
甲5小时的工作量+乙3小时的工作量=“1”
(1)
甲3小时的工作量+乙9小时的工作量=“1”
(2)
比较
(1)式、
(2)式可得:
甲的工作效率是乙的3倍。
因此,甲做了5小时工作后,由乙接做3小时可以完成。
可以看作甲单独做6小时完成全部工作,所以甲的工作效率为,那么乙的工作效率为。
解答
☆解法一:
因甲的工作效率是乙的(9-3)÷(5-3)=3(倍),甲的工作效率是。
所以,乙要完成全部工作还需
☆解法二:
因甲的工作效率是乙的(9-3)÷(5-3)=3(倍),乙的工作效率是。
所以,乙要完成全部工作还需。
点津
工程问题往往数量关系复杂,题型多样,富于变化,这就要求我们在解答过程中抓住关键,即工作效率或工作效率和,这也是不易掌握、容易出错的地方。
有的时候工作效率是在题目中直接给出来的,如例2、例4等,而有时工作效率并未直接给出,需要我们根据题意自己确定,如例1等。
这就要求我们费一番脑筋,认真分析数量关系,进而求解。
在学习本讲知识时,还需注意多从不同角度入手考虑问题,试着一题多解,逐步提高解题能力。
A
1.有一项工作,甲单独工作需要6天完成,乙单独工作需要30天完成。
(1)请问:
甲、乙二人合作需要几天完成?
(2)如果甲先单独工作了3天,乙才参加工作,请问:
乙参加进来后几天完成这项工作?
(3)如果甲、乙合做这项工作,但是中途甲休息了一天,请问:
完成这项工作一共用了几天时间?
分析与解答:
(1)因甲单独6天完成这项工作,所以甲的工作效率为,同样乙的工作效率为
甲、乙两人合做的工作效率就应为
+=
所以甲、乙合做需要的天数为
1÷=5(天)
(2)甲先做3天,完成的工作量为×3=,剩余工作量为。
甲、乙合做完成乘余工作所用的时间应为
÷(+)=÷=
(3)甲、乙共同工作,但甲中途休息了一天,可以这样考虑:
假设甲不休息,那么甲、乙两人完成的总的工作量为1+=
因此完成这件工作所花费的时间应为
(1+)÷(+)==
2.一件工作,甲、乙两人合作30天可以完成,共同做了6天后,甲离开了,由乙继续做了40天才完成。
请问:
如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天?
解答:
共做了6天后,
原来,甲做24天,乙做24天,
现在,甲做0天,乙做40=(24+16)天。
这说明原来甲24天做的工作,可由乙做16天来代替。
因此甲的工作效率是乙的工作效率的=
如果乙独做,所需时间是
30+30×=50(天)
如果甲独做,所需时间是
50÷=75(天)
答:
甲单独做需要75天,乙单独做需要50天。
3.一件工作,甲5小时先完成了,乙6小时又完成了剩下任务的一半,最后余下的部分由甲、乙二人合作,请问:
还需要多少时间才能完成?
分析:
这道题是工程问题与分数应用题的复合题。
解题时先要分别求出甲、乙工作效率,再把余下的工作量转化为占单位“1”(总工作量)的几分之几?
解:
甲工作效率:
÷5=
乙工作效率:
(1-)×÷6=
余下部分甲、乙合作需要几小时:
(1-)×(1-)÷(+)=(小时)
答:
还需要小时才能完成任务。
4.某工程先由甲独做63天,再由乙单独做28天即可完成;如果由甲、乙两人合作,需48天完成。
现在甲先单独做42天,然后再由
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