新版六年级奥数经典教程讲义.docx
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新版六年级奥数经典教程讲义
2019年新版小学六年级奥数经典教程讲义
第一讲
比较分数的大小.....................
错误!
不决义书签。
第二讲
巧求分数...........................
错误!
不决义书签。
第三讲
分数运算的技巧.....................
错误!
不决义书签。
第四讲
循环小数与分数.....................
错误!
不决义书签。
第五讲
工程问题
(一).....................
错误!
不决义书签。
第六讲
工程问题
(二).....................
错误!
不决义书签。
第七讲
巧用单位“1”......................
错误!
不决义书签。
第八讲
比和比率...........................
错误!
不决义书签。
第九讲
百分数.............................
错误!
不决义书签。
第十讲
商业中的数学.......................
错误!
不决义书签。
第11
讲
圆与扇形...........................
错误!
不决义书签。
第12讲
圆柱与圆锥.........................
错误!
不决义书签。
第13讲
立体图形
(一).....................
错误!
不决义书签。
第14讲
立体图形
(二).....................
错误!
不决义书签。
第15讲
棋盘的覆盖.........................
错误!
不决义书签。
第16
讲
找规律.............................
错误!
不决义书签。
第17
讲
操作问题...........................
错误!
不决义书签。
第18
讲
取整计算...........................
错误!
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第19讲
近似值与估量.......................
错误!
不决义书签。
第20讲
数值代入法.........................
错误!
不决义书签。
第21
讲
列举法.............................
错误!
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第22
讲
列表法.............................
错误!
不决义书签。
第23
讲
图解法.............................
错误!
不决义书签。
第24
讲
时钟问题...........................
错误!
不决义书签。
第25
讲
时间问题...........................
错误!
不决义书签。
第26讲
牛吃草问题.........................
错误!
不决义书签。
第27讲
运筹学初步
(一)...................
错误!
不决义书签。
第28讲
运筹学初步
(二)...................
错误!
不决义书签。
第29讲
运筹学初步(三)...................
错误!
不决义书签。
第30
讲
趣题巧解...........................
错误!
不决义书签。
第一讲比较分数的大小
同学们从一开始接触数学,就有比较数的大小问题。
比较整数、小数的大小的方法比较简单,而比较分数的大小就不那么简单了,所以也就产生了多种多样的方法。
对于两个不一样的分数,有分母相同,分子相同以及分子、分母都不相同三种状况,此中前两种状况鉴别大小的方法是:
分母相同的两个分数,分子大的那个分数比较大;分子相同的两个分数,分母大的那个分数比较小。
第三种状况,即分子、分母都不一样的两个分数,往常是采纳通分的方法,使它们的分母相同,化为第一种状况,再比较大小。
因为要比较的分数千差万别,所以通分的方法不必定是最简捷的。
下边我们介绍此外几种方法。
1.“通分子”。
当两个已知分数的分母的最小公倍数比较大,而分子的最小公倍数比较小时,能够把它们化成同分子的分数,再比较大小,这种方法比通分的方法简易。
假如我们把课本里的通分称为“通分母”,那么这里讲的方法能够称为“通分子”。
2.化为小数。
这种方法对任意的分数都合用,所以也叫全能方法。
但在比较大小
时能否简易,就要看详细状况了。
3.先约分,后比较。
有时已知分数不是最简分数,能够先约分。
4.依据倒数比较大小。
5.若两个真分数的分母与分子的差相等、则分母(子)大的分数较
大;若两个假分数的分子与分母的差相等,则分母(子)小的分数较大。
也就是说,
6.借助第三个数进行比较。
有以下几种状况:
(1)对于分数m和n,若m>k,k>n,则m>n。
(2)对于分数m和n,若m-k>n-k,则m>n。
前一个差比较小,所以m<n。
(3)对于分数m和n,若k-m<k-n,则m>n。
注意,
(2)与(3)的差异在于,
(2)中借助的数k小于本来的两个分数m和n;(3)中借助的数k大于本来的两个分数m和n。
(4)把两个已知分数的分母、分子分别相加,获取一个新分数。
新分数必定介于两个已知分数之间,即比此中一个分数大,比另一个分数小。
利用这一点,当两个已知分数不简单比较大小,新分数与此中一个已知分数简单比较大小时,就能够借助于这个新分数。
比较分数大小的方法还有好多,同学们能够在学习中不断发现总结,
但不论哪一种方法,均根源于:
“分母相同,分子大的分数大;分子相同,
分母小的分数大”这一基本方法。
练习1
1.比较以下各组分数的大小:
第二讲巧求分数
我们常常会碰到一些分数的分子、分母发生变化的题目,比如分子或分母加、减某数,或分子与分母同时加、减某数,或分子、分母分别加、减不一样的数,获取一个新分数,求加、减的数,或求本来的分数。
这种题目变化好多,所以解法也不尽相同。
数。
个分数。
,这个分数是多少
在例1~例4中,两次改变的都是分子,或都是分母,假如分子、分母
同时变化,那么会如何呢
数a。
求这个自然数。
例7一个分数的分子与分母之和是23,分母增添19后获取一个新分数,
练习2
是多少
第三分数运算的技巧
于分数的混淆运算,除了掌握常的四运算法外,掌握一些特别的运算技巧,才能提升运算速度,解答的。
1.凑整法
与整数运算中的“凑整法”相同,在分数运算中,充足利用四运
算法和运算律(如交律、合律、分派律),使部分的和、差、、
商成整数、整十数⋯⋯从而使运算获取化。
2.约分法
3.裂项法
若能将每个分数都分解成两个分数之差,并且使中间的分数相互抵
消,则能大大简化运算。
例7在自然数1~100中找出10个不一样的数,使这10个数的倒数的和等于1。
4.代数法
5.分组法
练习3
8.在自然数1~60中找出8个不一样的数,使这8个数的倒数之和等于
1。
答案与提示练习3
。
,6,8,12,20,30,42,56。
。
解:
以前向后,分子与分母之和等于2的有1个,等于3的有2个,
等于4的有3个人⋯⋯一般地,分子与分母之和等于n的有(n-1)个。
分子与分母之和小于9+99=108的有1+2+3+⋯+106=5671(个)
5671+9=5680(个)。
第四循小数与分数
任何分数化小数只有两种果,或许是有限小数,或许是循小数,而循小数又分循小数和混循小数两。
那么,什么的分数能化成有限小数什么的分数能化成循小数、混循小数呢我先看下边的分数。
(1)中的分数都化成了有限小数,其分数的分母只有因数
2和5,
化
因40=23×5,含有3个2,1个5,所以化成的小数有三位。
(2)中的分数都化成了循小数,其分数的分母没有因数2
和5。
(3)中的分数都化成了混循环小数,其分数的分母中既含有质因数2
或5,又含有2和5之外的质因数,化成的混循环小数中的不循环部分的位数与
5,所以化成混循环小数中的不循环部分有两位。
于是我们获取结论:
一个最简分数化为小数有三种状况:
(1)假如分母只含有质因数2和5,那么这个分数必定能化成有限小数,并且小数部分的位数等于分母中质因数2与5中个数许多的那个数的个数;
(2)假如分母中只含有2与5之外的质因数,那么这个分数必定能化成纯循环小数;
(3)假如分母中既含有质因数2或5,又含有2与5之外的质因数,那么这个分数必定能化成混循环小数,并且不循环部分的位数等于分母
中质因数2与5中个数许多的那个数的个数。
例1判断以下分数中,哪些能化成有限小数、纯循环小数、混循环小数能化成有限小数的,小数部分有几位能化成混循环小数的,不循环部分有几位
剖析与解:
上述分数都是最简分数,并且
53
32=2,21=3×7,250=2×5,78=2×3×13,
117=33×13,850=2×52×17,
依据上边的结论,获取:
不循环部分有两位。
将分数化为小数是特别简单的。
反过来,将小数化为分数,同学们可能比较熟习将有限小数化成分数的方法,而对将循环小数化成分数的方法就不必定清楚了。
我们分纯循环小数和混循环小数两种状况,解说将循环小数化成分数的方法。
1.将纯循环小数化成分数。
将上两式相减,得将上两式相减,
得从例2、例3能够总结出将纯循
环小数化成分数的方法。
纯循环小数化成分数的方法:
分数的分子是一个循环节的数字构成的数,分母的各位数都是9,9
的个数与循环节的位数相同。
2.将混循环小数化成分数。
将上两式相减,得
将上两式相减,得
从例4、例5能够总结出将混循环小数化成分数的方法。
混循环小数化成分数的方法:
分数的分子是小数点后边第一个数字到第一个循环节的末位数字所构成的数,减去不循环数字所构成的数所得的差;分母的头几位数字是
9,末几位数字都是0,此中9的个数与循环节的位数相同,0的个数与不循环部分的位数相同。
掌握了将循环小数化成分数的方法后,就能够正确地进行循环小数
的运算了。
例6计算以下各式:
练习4
1.以下各式中哪些不正确为何
2.划去小数0.后边的若干位,再添上表示循环节的两个圆点,获取
一个循环小数,比如。
请找出这样的小数中最大的与最小的。
3.将以下纯循环小数化成最简分数:
4.将以下混循环小数化成最简分数:
5.计算以下各式:
答案与提示练习4
1.
(1)(3)(4)不正确。
1表示,
第五讲工程问题
(一)
顾名思义,工程问题指的是与工程建筑有关的数学识题。
其实,这种题目的内容已不只是是工程方面的问题,也括行路、水管灌水等很多内容。
在剖析解答工程问题时,一般常用的数目关系式是:
工作量=工作效率×工作时间,
工作时间=工作量÷工作效率,
工作效率=工作量÷工作时间。
工作量指的是工作的多少,它能够是所有工作量,一般用数
也可
工作效率指的是干工作的快慢,
其意义是单位时间里所干的工作量。
单位时间的选用,依据题目需要,能够是天,也能够是时、分、秒等。
工作效率的单位是一个复合单位,表示成“工作量/天”,或“工作量/时”等。
但在不惹起误解的状况下,一般不写工作效率的单位。
例1独自干某项工程,甲队需100天达成,乙队需150天达成。
甲、乙两队合干50天后,剩下的工程乙队干还需多少天
剖析与解:
以所有工程量为单位1。
甲队独自干需100天,甲的工作效
例2某项工程,甲独自做需36天达成,乙独自做需45天达成。
假如开
工时甲、乙两队合做,半途甲队退出转做新的工程,那么乙队又做了18
天才达成任务。
问:
甲队干了多少天
剖析:
将题目的条件倒过来想,变为“乙队先干18天,后边的工作甲、乙两队合干需多少天”这样一来,问题就简单多了。
答:
甲队干了12天。
例3独自达成某工程,甲队需10天,乙队需15天,丙队需20天。
开
始三个队一同干,因工作需要甲队半途撤走了,结果一共用了6天达成这一工程。
问:
甲队实质工作了几日
剖析与解:
乙、丙两队从头至尾工作了6天,去掉乙、丙两队6天的工作量,剩下的是甲队干的,所以甲队实质工作了
例4一批零件,张师傅独做20时达成,王师傅独做30时达成。
假如两人同时做,那么达成任务时张师傅比王师傅多做60个零件。
这批零件共有多少个
剖析与解:
这道题能够分三步。
第一求出两人合作达成需要的时间,
例5一水池装有一个放水管和一个排水管,单开放水管5时可将空池灌
满,单开排水管7时可将满池水排完。
假如一开始是空池,翻开放水管
1时后又翻开排水管,那么再过多长时间池内将积有半池水
例6甲、乙二人同时从两地出发,相向而行。
走完整程甲需60分钟,乙需40分钟。
出发后5分钟,甲因忘带东西而返回出发点,取东西又耽搁了5分钟。
甲再出发后多长时间两人相遇
剖析:
这道题看起来像行程问题,但是既没有行程又没有速度,所
以不可以用时间、行程、速度三者的关系来解答。
甲出发5分钟后返回,
路上耽搁10分钟,再加上取东西的5分钟,等于比乙晚出发15分钟。
我们将题目改述一下:
达成一件工作,甲需60分钟,乙需40分钟,乙
先干15分钟后,甲、乙合干还需多少时间由此看出,这道题应当用工程问题的解法来解答。
答:
甲再出发后15分钟两人相遇。
练习5
1.某工程甲独自干10天达成,乙独自干15天达成,他们合干多少天才可达成工程的一半
2.某工程甲队独自做需48天,乙队独自做需36天。
甲队先干了6
天后转交给乙队干,此后甲队从头回来与乙队一同干了10天,将工程做完。
求乙队在中间独自工作的天数。
3.一条沟渠,甲、乙两队合挖需30天竣工。
此刻合挖12天后,剩下的乙队独自又挖了24天挖完。
这条沟渠由甲队独自挖需多少天
则达成任务时乙比甲多植50棵。
这批树共有多少棵
5.修一段公路,甲队独做要用40天,乙队独做要用24天。
此刻两队同时从两头动工,结果在距中点750米处相遇。
这段公路长多少米
6.蓄水池有甲、乙两个进水管,单开甲管需18时注满,单开乙管需24
时注满。
假如要求12时注满水池,那么甲、乙两管起码要合开多长时
间
7.两列火车从甲、乙两地相向而行,慢车从甲地到乙地需8时,比快车
从40千米。
求甲、乙两地的距离。
答案与提示练习5
天。
天。
棵。
5.6000米。
时。
提示:
甲管12时都开着,乙管开
千米。
第六讲工程问题
(二)
上一讲我们叙述的是已知工作效率的较简单的工程问题。
在较复杂的工程问题中,工作效率常常隐蔽在题目条件里,这时,只需我们灵巧运用基本的剖析方法,问题也不难解决。
例1一项工程,假如甲先做5天,那么乙接着做20天可达成;假如甲先做20天,那么乙接着做8天可达成。
假如甲、乙合做,那么多少天能够达成
剖析与解:
本题没有直接给出工作效率,为了求出甲、乙的工作效率,我们先画出表示图:
从上图可直观地看出:
甲15天的工作量和乙12天的工作量相等,即甲5天的工作量等于乙4天的工作量。
于是可用“乙工作4天”等量替代题中“甲工作5天”这一条件,经过此替代可知乙独自做这一工程
需用20+4=24(天)
甲、乙合做这一工程,需用的时间为
例2一项工程,甲、乙两队合作需6天达成,此刻乙队先做7天,
而后
么还要几日才能达成
剖析与解:
题中没有告诉甲、乙两队独自的工作效率,只知道他们
合作
们把“乙先做7天,甲再做4天”的过程转变为“甲、乙合做4天,乙
再独自
例3独自达成一件工作,甲按规准时间可提早2天达成,乙则要超
过规准时间3天才能达成。
假如甲、乙二人合做2天后,剩下的持续由
乙独自做,那么恰幸亏规准时间达成。
问:
甲、乙二人合做需多少天完
成
剖析与解:
乙独自做要超出3天,甲、乙合做2天后乙持续做,恰巧准时达成,说明甲做2天等于乙做3天,即达成这件工作,乙需要的时间是甲的
,乙需要10+5=15(天)。
甲、乙合作需要
例4放满一个水池的水,若同时翻开1,2,3号阀门,则20分钟能够达成;若同时翻开2,3,4号阀门,则21分钟能够达成;若同时
翻开1,3,4号阀门,则28分钟能够达成;若同时翻开
1,2,4号阀
门,则30分钟能够达成。
问:
假如同时翻开1,2,3,4号阀门,那么多少分钟能够达成
剖析与解:
同时翻开1,2,3号阀门1分钟,再同时翻开2,3,4号阀门1分钟,再同时翻开1,3,4号阀门1分钟,再同时翻开1,2,4号阀门1分钟,这时,1,2,3,4号阀门各翻开了3分钟,放水量等
于一
例5某工程由一、二、三小合干,需要8天达成;由二、三、四小合干,需要10天达成;由一、四小合干,需15天达成。
假如按一、二、三、四、一、二、三、四、⋯⋯的序,每个小干一天地流干,那么工程由哪个最后达成
剖析与解:
与例4似,可求出一、二、三、四小的工作效率之
和是
例6甲、乙、丙三人做一件工作,原划按甲、乙、丙的序每人一天流去做,恰巧成天做完,并且束工作的是乙。
若按乙、丙、甲的序流
件工作,要用多少天才能达成
剖析与解:
把甲、乙、丙三人每人做一天称一。
在一中,无先后,达成的工作量都相同。
所以三种序前面若干达成的工作量及用的天数都相同(下虚左),相差的就是最后一(下虚右)。
由最后一达成的工作量相同,获取
6
1.甲、乙二人同开始加工一批零件,每人加工零件数的一半。
甲完
成
有多少个
需的相等。
:
甲、乙独做各需多少天
3.加工一批零件,王傅先做6李傅再做12可达成,王
傅先做8李傅再做
人合做,需要多少小
9也可达成。
在王傅先做
2,剩下的两
独修各需几日
5.蓄水池有甲、乙、丙三个水管,甲、乙、丙管独灌一池水挨次需要10,12,15。
上午8点三个管同翻开,中甲管因故关,果到下午2点水池被灌。
:
甲管在何被关
6.独达成某工作,甲需9,乙需12。
假如依据甲、乙、甲、乙、⋯⋯的序流工作,每次1,那么达成工作需要多
7.一项工程,乙独自干要17天达成。
假如第一天甲干,次日乙干,这样交替轮番干,那么恰巧用成天数达成;假如第一天乙干,次日甲干,这样交替轮番干,那么比上一次轮番的做法多用半天竣工。
问:
甲独自干需要几日
答案与提示练习6
个。
2.甲18天,乙12天。
3.7.2时。
解:
由下页图知,王干2时等于李干3时,所以独自干李需
12+6÷2×3=21(时),王需21÷3×2=14(时)。
所求为
5.上午9。
15分。
7.8.5天。
解:
假如两人流做完的天数是偶数,那么不甲先是乙先,两种流做的方式达成的天数必然相同(左下)。
甲乙甲乙⋯⋯甲乙甲乙甲乙⋯⋯甲乙甲
在乙先比甲先要多用半天,所以甲先,达成的天数必定是奇数,于是获取右上,此中虚左的工作量相同,右的工作量也相同,明乙做1天等于甲做半天,所以乙做17天等于甲做天。
第七巧用位“1”
在工程中,我常常工作量位“1”。
在多分数用
中,都会碰到位“1”的,依据目条件正确使用位“1”,能
使解答的思路更清楚,方法更捷。
剖析:
因为第一天、次日都是与全书比较,所以应以全书的页数为单位
答:
这本故事书共有240页。
剖析与解:
本题条件中单位“1”的量在变化,挨次是“全书的页数”、“第一天看后余下的页数”、“次日看后余下的页数”,出现
了3个不一样的单位“1”。
依据旧规思路,需要一致单位“1”,转变分率。
但在本题中,不一致单位“1”反而更方便。
我们先把全书当作“1”,
当作“1”,就能够求出第三天看后余下的部分占全书的
共有多少本图书
剖析与解:
故事书增添了,图书的总数随之增添。
题中出现两个分
率,
这给计算带来好多不便,需要一致单位“1”。
一致单位“1”的一个诀窍就是抓“不变量”为单位“1”。
本题中故事书、图书总数都发生了变化,而其余书的本数没有变,能够以
图书馆本来共有图书
剖析与解:
与例3近似,甲、乙组人数都发生了变化,不变量是甲、乙组的总人数,所以以甲、乙组的总人数为单位“1”。
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