数学二真题及答案解析.docx
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数学二真题及答案解析
2014年数学二真题及答案解析
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题:
1:
8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
•••
1
(1)当X0时,若In(12x),(1cosx)—均是比X咼阶的无
(A)(2,)(B)(1,2)(C)(2,1)
(D)囲)
⑵
下列
曲线
中
有渐
近线的是
(
)
(A)yx
sinx
(B)
2.
yxsinx
(C)yx
sin1
x
(D)y
2.1
xsin
x
⑶
设函数f(
x)具有2
阶导数,g(x)
f(0)(1x)f
(1)x,贝y
在区间[0,1]上
(
)
(A)当f(x)
0时,f(x)
g(x)
(B)
当f(x)0时,
f(x)
g(x)
(C)当f(x)
0时,f(x)
»g(x)
(D)
当f(x)0时,
f(x)
g(x)
⑷
丄2
曲线xt2yt2
7上对'
4t1
应于
t1的点处的曲率半径是
(A)1
(叫
(C)1
(D)5.10
(D)1(6)设函数u(x,y)在有界闭区域D上连续,在D的内部
222
具有2阶连续偏导数,且满足」0及-u-40,则
xyxy
()
(A)u(x,y)的最大值和最小值都在D的边界上取得
(B)u(x,y)的最大值和最小值都在D的内部上取得
(C)u(x,y)的最大值在D的内部取得,最小值在D的边界上取得
(D)u(x,y)的最小值在D的内部取得,最大值在D的边界上取得
(C)a2d2b2e2(D)b2e2a2d2
(8)设1,2,3均为3维向量,则对任意常数k,l,向量组1k3,2l3线性无关是向量组
无关的
(C)充分必要条件
(D)既非充分也
要条件
非必要条件
1、填空题:
9:
14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.
((9)
•••
dx
2x5
(10)设f(x)是周期为4的可导奇函数,且
f(x)2(x1),x[0,2],贝Vf(7).
(11)设zz(x,y)是由方程e2yzxy2z4确定的函数,则
dz(2$.
(12)曲线rr()的极坐标方程是r,则L在点
(r,)(-.-)处的切线的直角坐标方程是.
(13)一根长为1的细棒位于x轴的区间[0,1]上,若其线密度xx22x1,则该细棒的质心坐标
x.
(14)设二次型fx1,x,,x3x,2x,22ax,x4乂2冷的负惯性指
数为1,则a的取值范围为.
三、解答题:
15〜23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过
•••
程或演算步骤.
(15)(本题满分10分)
求极限xlim
1
X2t
te'1tdt
1
x2ln1丄
x
(16)(本题满分10分)
已知函数yyx满足微分方程x2y2y1y,且y20,
求yx的极大值与极小
值.
(17)(本题满分10分)
x,y1x2y
设平面区域D
xsin、x2y2dxdy.
dxy
(18)(本题满分10分)
设函数f(u)具有二阶连续导数,
三乍(4zexcosy)e2x,若f(0)0'f(0)0,
4,x0,y0,计算
zf(excosy)满足f(u)的表达式.
(19)(本题满分10分)
设函数f(x),g(x)的区间[a,b]上连续,且f(x)单调增
加,0g(x)1.证明:
(I)0ag(t)dtxa,x[a,b],
设函数f(x)—,x0,1
1x
定义函数列
(20)(本题满分11分)
fn(x),直线x1及x轴所
limnSn
n
f1(x)f(x),f2(x)f(f1(x)),L
fn(x)f(fn1(x)),L,记Sn是由曲线y围成平面图形的面积,求极限
(21)(本题满分11分)
已知函数f(x,y)满足—2(y1),且f(y,y)(y1)2(2y)lny,y
求曲线f(x,y)0所围成的图形绕直线y1旋转所成的
旋转体的体积•
(22)(本题满分11分)
1234
设矩阵A0111,E为三阶单位矩阵.
1203
⑴求方程组Ax0的一个基础解系;(II)求满足ABE的所有矩阵.
01
02相似•
MM
0n
证明n阶矩阵
(23)(本题满分11分)
11L10L
11L1与0L
MMMM円mM
11L10L
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案
一、选择题:
1:
8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
•••
1
(1)当X0时,若In(12x),(1cosx「均是比X咼阶的无
(A)(2,)(B)(1,2)(C)右)
(D)(0,|)
【答案】B
所以10,故1.
2
1—
当X0时,(1cosx)~t是比X的咼阶无穷小,
2-
所以Z10,即2.
下列曲线
中有渐近线的是
故选B
(A)
yxsinx
(B)yx2sinx
(C)
yx
1sin—
x
(D)yx2sin-
x
【答案】
C
【解析】
关于
C选项:
.1.1
xsinsin
limxlim1limx101
xxxxx
1
sin—x]
x
limsin-0,所以yxsin-存在斜渐近线
Xxx
故选C
⑶设函数f(x)
具有
2阶导数,
g(x)
f(0)(1
在区间[0,1]上
(
)
(A)当f(x)0
时,
f(x)
g(x)
(B)
当
f(x)g(x)
(C)当f(x)0
时,
f(x)
g(x)
(D)
当
f(x)g(x)
【答案】D
【解析】令F(x)
g(x)
f(x)
f(0)(1
x)
f
(1)x
f(x),
F(0)F
(1)
0
x)f
(1)x,贝y
f(x)0时,
f(x)0时,
(x)f(x).
F(x)f(0)f
(1)f(x),F
若f(x)0,
则F(x)0,F(x)在[0,1]上为凸的.
又F(0)故选D.
⑷曲线
F
(1)0,所以当x[0,1]时,F(x)0,从而g(x)f(x).
7
4t
上对应于t1的点处的曲率半径是
1
(A)
)
50
(B)卫
100
(D)5.10【答案】【解析】
dy
dx
d2y
dx2
2t4
2t
dx
2
石
2t
10.10
故选C
(5)设函数f(x)arctanx
若f(x)xf(),
(A)1
(B)3
(c)2
(D)i
【答案】D
【解析】因为凹
f'()7^-2,所以
x1
1lim2lim-
x0xarctanxx0
xf(x)
f(x)
1
1X2
3x2
2
lim2lim
x0xX
故选D.
(6)设函数u(x,y)在有界闭区域D上连续,具有2阶连续偏导数,且满足
xf(x)..xarctanx
0x2f(x)
在D的内部丄0及厶j0,贝V
xyxy
()
(A)u(x,y)的最大值和最小值都在D的边界上取得
(B)u(x,y)的最大值和最小值都在D的内部上取得
(C)u(x,y)的最大值在D的内部取得,最小值在D的边界上取得
(D)u(x,y)的最小值在D的内部取得,最大值在D的边界上取得
【答案】A
222
【解析】记A0,代C相反数
xxyy
则=AC-B20,所以u(x,y)在D内无极值,则极值在边界处取得•
故选A
行列
0ab0
a00b
0ed0
e00d
()
(B)(adbe)2
(A)(adbe)2
(C)a2d2b2e2(D)b2e2a2d2
【答案】B
【解析】由行列式的展开定理展开第一列
a
b
0
a
b
0
a
e
d
0
e
0
0
b
0
0
d
e
d
0
0ab0a00b
0ed0
ad(adbe)be(adbe)
2
(adbe).
(8)设ai,a2,a3均为三维向量,则对任意常数k,l,向量
组aika3,a?
玄线性无关是向量组印包舄线性无关的
()
(B)充分非必
(D)既非充分
(A)必要非充分条件要条件
(C)充分必要条件也非必要条件
【答案】A
10【解析】1k321312301.
k1
1,2,
3线性无关,则
r(A)r(BC)r(C)2,故1k3,213线
性无关.
)举反例.令30,^V1‘2线性无关,但此时
却线性相关.
综上所述,对任意常数k,1,向量1k3,213线性
无关是向量1,2,3线性无关的必要非充分条件
故选A
1、填空题:
9:
14小题,每小题4分,共24分.请将
答案写在答题纸指定位置上.
•••
(9)
11
dx
x2x5
【答案】I
【解析】
(10)设f(x)是周期为4的可导奇函数,且f(x)2(x1),x[0,2],贝Vf(7).
【答案】1
【解析】f'X2x1,x0,2且为偶函数
贝yf'x2x1,x2,0
又fxx22xc且为奇函数,故c=0
2
fxx2x,x2,0
又Qfx的周期为4,f7f11
(11)设zz(x,y)是由方程e2yzxy2z4确定的函数,则
dz
(2,2)
【解析】对e2yzx
彳方程两边同时对x,y求偏导
4
【答案】冷呦
2yzzz
e2y1一
x
e2yz(2z2^z)2y
y
1
当x2,y
(舅)
,11
2y(2,2)
1
2(dxdy)
(12)曲线艸n&的极坐标方程是r,则L在点
故dz
(1,1)
11
dx()dy
22
(r,)(2,2)处的切线的直角坐标方程是
【答案】
【解析】
由直角坐标和极坐标的关系
xrcoscos
yrsinsin
于是r,
2,2,对应于x,y
dy
切线斜率乎先
dxdx
d
所以切线方程为
cossin
cossin
dy
dx
即『=2x-
2
(13)一根长为
线密度
x轴的区间[0,1]上,若其,则该细棒的质心坐标
1的细棒位于
2
xx2x1
1
xdx=
0
2
x2x1dx
3
x21
§XX0
【答案】10
11
12=11
5=20
3
(13)设二次型fX1,X2,X3xjX;2aXjX34X2X3的负惯性指数
是1,则a的取值范围.
【解析】配方法:
fX1,X2,X3
【答案】2,2
22222
x1ax3ax3x22x34x3
由于二次型负惯性指数为1,所以4a20,故2a2.三、解答题:
15〜23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过
•••
程或演算步骤.
(15)(本题满分10分)
X21
t2et1tdt
求极限讪1—
Xx2ln1丄
lim
x
x1
it2(&1)tdt
x1
【解析】lim亠*:
X21
x2ln(1-)
x
2—
lim[x(ex1)x]
x
lim丄丄
t02t2
ttt
..e1t.e1lim2limtotto2t
(16)(本题满分10分)
已知函数yyX满足微分方程x2y2y1y,且y20,求yx的极大值与极小
值.
【解析】
由x2y2y1y,得
(y21)y1x2
①
此时上面方程为变量可分离方程,解的通解为
又由①可得
y(x)
1x2
y21
由y
(2)0得c彳
当y(x)0时,x1,且有:
x1,y(x)0
1x1,y(x)0
x1,y(x)0
所以y(x)在x1处取得极小值,在x1处取得极大
y
(1)0,y
(1)1即:
y(x)的极大值为1,极小值为0.
(17)(本题满分10分)
设平面区域Dx,y|1
/22
xsin-xy
dxdy.
dxy
【解析】D关于yx对称,满足轮换对称性,则:
xsin(x2y2)
y
Ixsin(x2y2)
D
22
亠dxdy
X2y24,x0,y0,计算
ysin(.x2y2),,
dxdy
xy
」」1xsin(Jx2y2)dxdy
xy2dxy
ysin(;x2y2)dxdy
xy
sin(
1
2
4(
1
4
1
4
sinr
rdr
rdcos
r
2
.2
rr1
cosrdr
1
1.
■2
sin
r1
d
cos
2
1
2
3
4
zf(excosy)满足
(18)(本题满分10分)
设函数f(u)具有二阶连续导数,
2
z
~2
y
(4z
excosy)e2x,若f(0)0,f'(0)0,
求f(u)
的表达式.
z
ecosy,
x
x
esiny
f(excosy)excosy^zf(excosy)
y
2
z
~2
x
f(excosy)
x
ecosy
x
ecosy
f(excosy)excosy,
2
z
~2
y
22
zz
~~2+2
xy
f(excosy)
x
esiny
x
esiny
f(excosy)excosy
4z
x
ecosy
2xe
x
fecosy
,代入得,
2x
e
[4fexcosy
x2x
ecosy]e
x
ecosy
4f
x
ecosy
x
ecosy,
y=t,得f特征方程
x
ecos
4ftt
0,2
得齐次方程通解
2t
Ge
2t
c2e
设特解y*atb,
代入方程得a
-J,b0,特解
4
则原方程通解为
y=ft&e2tc2e2t
由f00,f'00,得Ci—,C2丄,贝y
16161
12u12u1
y=fu—e—e-u
16164'
(19)(本题满分10分)
设函数f(x),g(x)在区间[a,b]上连续,且f(x)单调增
加,0g(x)1,证明:
(I)0ag(t)dtxa,x[a,b],
b
ag(t)dtb
(II)af(x)dxf(x)g(x)dx.
aa
【解析】(I)由积分中值定理:
gtdtgxa,[a,x]
Q0gx1,0gxaxa
x
0agtdtXa
(II)直接由0gx1,得到
xx
0gtdt1dt=xa
aa
u
(II)令Fu:
fxgxdxIagtdtfxdx
'u
Fufugufagtdtgu
a
u
gufufagtdt
a
由(I)矢口0agtdtuaaaagtdtu
又由于fx单增,所以fUfa:
gtdt0
F'u0,Fu单调不减,FuFa0
取ub,得Fb0,即(II)成立.
(20)(本题满分11分)
设函数f(x)亠,x0,1,定义函数列
1x
f1(x)f(x),f2(x)f(f1(x))丄,fn(x)f(fn1(X)),L,记Sn是由曲线yfn(x),直线x1及x轴所围成平面图形的面积,求极限limnSn.
【解析】
f1(x)
x
r?
f2(x)
Sn
1
n
1
n
1
0fn(x)dx
11dx-
n
1
Pln(1n
1
0
I1
01
n)
..ln(1n)lim
nn
x1x
—dx—
1nx0
11
dx2ln(1nx)
nxnn
xx
f3(X)
12x13x
1nx
1
0
丄,fn(X)
x
1nx
limnSn1
n
(21)(本题满分
已知函
1lim也山
Xx
11分)
数f(x,y)
1lim—1
x1x
十2(y1),
n
f(y,y)(y1)2(2y)lny,求曲线f(x,y)0所围成的图形绕直线y1旋转所成的旋转体的体积.
【解析】因为—2(y1),所以f(x,y)y22y(x),其中(x)为y
待定函数.
又因为f(y,y)(y1)22ylny,则(y)12ylny,从而
2
Inxd
1
(22)(本题满分11分)
E为三阶单位矩阵.
设矩阵
34
11
03
(I)求方程组Ax0的一个基础解系;
(II)求满足ABE的所有矩阵B.
【解析】
1
23
41
00
12
341
00
A
E
0
11
10
10
01
110
10
1
20
30
01
04
311
01
12
34
1
001
001
261
01
11
0
100
102
131
00
13
1
410
013
141
(I)Ax
0的
基础解系
为
1,2,3,1
T
(II)e
1,0,0
T
e2
0,1,0T
es
0,0,1T
Axei的通解为xki
Axe的通解为xk2
Axe3的通解为xk3
2k16k21k3
k1,k2,k3为任意常数)
B12k132k212k3
B13k143k213k3
k1k2k3
(23)(本题满分11分)
0L
与0L
MM
0L
01
02相似.
MM
0n
1
2
B=00L1,M
n
11L1
证明n阶矩阵
11L1MMMM
11L1
1M
1LL1,M
1
,0(n1重).
n的特征向量为(1,1L,1)T;r(A)1,故Ax0基
0有
解析】已知A
则A的特征值为
A属于
础解系有n1个线性无关的解向量,即A属于
n1个线性无关的特征向量;故
n0.
■O
0
B的特征值为n,0(n1重),同理B属于0有n1
A相似于对角阵
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二个线性无关的特征向量,故B相似于对角阵由相似关系的传递性,A相似于B.
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