高中数学离散型随机变量的均值综合测试题含答案.docx

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高中数学离散型随机变量的均值综合测试题含答案

高中数学离散型随机变量的均值综合测试题（含答案）

　　选修2-32.3.1离散型随机变量的均值

一、选择题

1．若X是一个随机变量，则E（X－E（X））的值为（）

A．无法求B．0

C．E（X）D．2E（X）

[答案]　B

[解析]　只要认识到E（X）是一个常数，则可直接运用均值的性质求解．

∵E（aX＋b）＝aE（X）＋b，而E（X）为常数，

E（X－E（X））＝E（X）－E（X）＝0.

2．设E（）＝10，E（）＝3，则E（3＋5）＝（）

A．45　B．40　

C．30　D．15

[答案]　A

3．今有两台独立工作在两地的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达台数为X，则E（X）＝（）

A．0.765B．1.75

C．1.765D．0.22

[答案]　B

[解析]　设A、B分别为每台雷达发现飞行目标的事件，X的可能取值为0、1、2，

P（X＝0）＝P（AB）＝P（A）P（B）＝（1－0.9）（1－0.85）＝0.015.

P（X＝1）＝P（AB＋AB）＝P（A）P（B）＋P（A）P（B）＝0.90.15＋0.10.85＝0.22.

P（X＝2）＝P（AB）＝P（A）P（B）＝0.90.85

＝0.765.

E（X）＝00.015＋10.22＋20.765＝1.75.

4．设随机变量X的分布列如下表所示且E（X）＝1.6，则a－b＝（）

X0123

P0.1ab0.1

A.0.2B．0.1

C．－0.2D．－0.4

[答案]　C

[解析]　由0.1＋a＋b＋0.1＝1，得a＋b＝0.8，①

又由E（X）＝00.1＋1a＋2b＋30.1＝1.6，

得a＋2b＝1.3，②

由①②解得a＝0.3，b＝0.5，a－b＝－0.2，故应选C.

5．已知随机变量，其中＝10＋2，且E（）＝20，若的分布列如下表，则m的值为（）

1234

P14

mn112

A.4760B.3760

C.2760D.18

[答案]　A

[解析]　＝10＋2E（）＝10E（）＋220＝10）＋2）＝9595＝114＋2m＋3n＋4112，又14＋m＋n＋112＝1，联立求解可得m＝4760，故选A.

6．（2019浙江）有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取到次品的个数，则E（X）等于（）

A.35B.815

C.1415D．1

[答案]　A

[解析]　X＝1时，P＝C17C13C210；X＝2时，P＝C23C210.

E（X）＝1C17C13C210＋2C23C210＝73＋23C210＝35，

故选A.

7．（2019福建福州）已知某一随机变量X的概率分布列如下表，E（X）＝6.3，则a值为（）

X4a9

P0.50.1b

A.5B．6

C．7D．8

[答案]　C

[解析]　由分布列性质知：

0.5＋0.1＋b＝1，b＝0.4，E（X）＝40.5＋a0.1＋90.4＝6.3，a＝7，故选C.

8．（2019新课标全国理，6）某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的均值为（）

A．100B．200

C．300D．400

[答案]　B

[解析]　本题以实际问题为背景，考查的事件的均值问题．

记“不发芽的种子数为”，则～B（1000,0.1），所以E（）＝10000.1＝100，而X＝2，故EX＝E

（2）＝2E（）＝200，故选B.

二、填空题

9．（2019上海理，6）随机变量的概率分布列由下图给出：

x78910

P（＝x）0.30.350.20.15

则随机变量的均值是________．

[答案]　8.2

[解析]　本小题考查随机变量的均值公式．

E（）＝70.3＋80.35＋90.2＋100.15＝8.2.

10．已知某离散型随机变量X的数学期望E（X）＝76，X的分布列如下：

X0123

Pa13

16

b

则a＝________.

[答案]　13

[解析]　E（X）＝76＝0a＋113＋216＋3bb＝16，又P（X＝0）＋P（X＝1）＋P（X＝2）＋P（X＝3）＝1a＋13＋16＋16＝1a＝13.

11．从1、2、3、4、5这5个数字中任取不同的两个，则这两个数之积的数学期望是________．

[答案]　8.5

[解析]　从1、2、3、4、5中任取不同的两个数，其乘积X的值为2、3、4、5、6、8、10、12、15、20，取每个值的概率都是110，E（X）＝110（2＋3＋4＋5＋6＋8＋10＋12＋15＋20）＝8.5.

12．设p为非负实数，随机变量X的概率分布为：

X012

P12－p

p12

则E（X）的最大值为________．

[答案]　32

[解析]　由表可得012－p1，01，从而得P[0，12]，期望值E（X）＝0（12－p）＋1p＋212＝p＋1，当且仅当p＝12时，E（X）最大值＝32.

三、解答题

13．盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池，现在无放回地每次取一节电池检验，试回答下列问题：

（1）若直到取到好电池为止，求抽取次数的分布列及均值；

（2）若将题设中的无放回改为有放回，求检验5次取到好电池个数X的数学期望．

[解析]　

（1）可取的值为1、2、3，

则P（＝1）＝35，P（＝2）＝2534＝310，

P（＝3）＝25141＝110，

抽取次数的分布列为：

123

P35

310

110

E（）＝135＋2310＋3110＝1.5.

（2）每次检验取到好电池的概率均为35，

故X～B（n，p），即X～B（5，35），

则E（X）＝535＝3.

14．（2019江西理，18）某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门．首次到达此门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道．若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门．再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止．令表示走出迷宫所需的时间．

（1）求的分布列；

（2）求的数学期望（均值）．

[解析]　本题考查学生的全面分析能力，考查学生对事件概率的求解能力以及对文字描述的理解能力．解本题的两个关键点是：

一是的所有取值，二是概率．

解：

（1）的所有可能取值为：

1,3,4,6

P（＝1）＝13，P（＝3）＝16，P（＝4）＝16，P（＝6）＝13，所以的分布列为：

1346

P13

16

16

13

（2）E（）＝113＋316＋416＋613＝72（小时）

15．购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10000元的赔偿金．假定在一年度内有10000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10000元的概率为1－0.999104.

（1）求一投保人在一年度内出险的概率p；

（2）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：

元）．

[解析]　解答第

（1）题运用对立事件的概率公式，建立方程求解．

解答第

（2）题运用二项分布的期望公式，建立不等式求解．

各投保人是否出险相互独立，且出险的概率都是p，记投保的10000人中出险的人数为，则～B（104，p）．

（1）记A表示事件：

保险公司为该险种至少支付10000元赔偿金，则A发生当且仅当＝0，P（A）＝1－P（A）＝1－P（＝0）＝1－（1－p）104，

又P（A）＝1－0.999104，

故p＝0.001.

（2）该险种总收入为10000a元，支出是赔偿金总额与成本的和．

支出：

10000＋50000，

盈利：

＝10000a－（10000＋50000），

盈利的期望为：

E（）＝10000a－10000E（）－50000，

由～B（104,10－3）知，E（）＝1000010－3，

E（）＝104a－104E（）－5104

＝104a－10410410－3－5104.

E（0104a－10410－5104a－10－5a15（元）．

故每位投保人应交纳的最低保费为15元．

16．（2009全国Ⅰ理19）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立，已知前2局中，甲、乙各胜1局．

（1）求甲获得这次比赛胜利的概率；

（2）设X表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求X的分布列及均值．

[解析]　设Ai表示事件：

第i局甲获胜，i＝3,4,5，

Bj表示事件：

第j局乙获胜，j＝3,4.

（1）记B表示事件：

甲获得这次比赛的胜利

因前两局中，甲、乙各胜一局，故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而B＝A3A4＋B3A4A5＋A3B4A5.

由于各局比赛结果相互独立，故

P（B）＝P（A3A4）＋P（B3A4A5）＋P（A3B4A5）

＝P（A3）P（A4）＋P（B3）P（A4）P（A5）＋P（A3）P（B4）P（A5）＝0.60.6＋0.40.60.6＋0.60.40.6＝0.648.

（2）X的可能取值为2,3.

由于各局比赛结果相互独立，所以

P（X＝2）＝P（A3A4＋B3B4）＝P（A3A4）＋P（B3B4）＝P（A3）P（A4）＋P（B3）P（B4）＝0.60.6＋0.40.4＝0.52，

P（X＝3）＝1－P（X＝2）＝1－0.52＝0.48.

故X的分布列为

这个工作可让学生分组负责收集整理,登在小黑板上,每周一换。

要求学生抽空抄录并且阅读成诵。

其目的在于扩大学生的知识面,引导学生关注社会,热爱生活,所以内容要尽量广泛一些,可以分为人生、价值、理想、学习、成长、责任、友谊、爱心、探索、环保等多方面。

如此下去,除假期外,一年便可以积累40多则材料。

如果学生的脑海里有了众多的鲜活生动的材料,写起文章来还用乱翻参考书吗?

X23

“教书先生”恐怕是市井百姓最为熟悉的一种称呼，从最初的门馆、私塾到晚清的学堂，“教书先生”那一行当怎么说也算是让国人景仰甚或敬畏的一种社会职业。

只是更早的“先生”概念并非源于教书，最初出现的“先生”一词也并非有传授知识那般的含义。

《孟子》中的“先生何为出此言也？

”；《论语》中的“有酒食，先生馔”；《国策》中的“先生坐，何至于此？

”等等，均指“先生”为父兄或有学问、有德行的长辈。

其实《国策》中本身就有“先生长者，有德之称”的说法。

可见“先生”之原意非真正的“教师”之意，倒是与当今“先生”的称呼更接近。

看来，“先生”之本源含义在于礼貌和尊称，并非具学问者的专称。

称“老师”为“先生”的记载，首见于《礼记?

曲礼》，有“从于先生，不越礼而与人言”，其中之“先生”意为“年长、资深之传授知识者”，与教师、老师之意基本一致。

P0.520.48

宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。

至元明清之县学一律循之不变。

明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。

到清末，学堂兴起，各科教师仍沿用“教习”一称。

其实“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级的教育生员。

而相应府和州掌管教育生员者则谓“教授”和“学正”。

“教授”“学正”和“教谕”的副手一律称“训导”。

于民间，特别是汉代以后，对于在“校”或“学”中传授经学者也称为“经师”。

在一些特定的讲学场合，比如书院、皇室，也称教师为“院长、西席、讲席”等。

E（X）＝2P（X＝2）＋3P（X＝3）＝20.52＋30.48＝2.48.