七下第二章平行线的性质判定与尺规作图教学辅导方案精编设计.docx
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七下第二章平行线的性质判定与尺规作图教学辅导方案精编设计.docx
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七下第二章平行线的性质判定与尺规作图教学辅导方案精编设计
平行线的判定(基础)知识讲解
【学习目标】
1.熟练掌握平行线的画法;
2.掌握平行公理及其推论;
3.掌握平行线的判定方法,并能运用“平行线的判定方法”,判定两条直线是否平行.
【要点梳理】
要点一、平行线的画法及平行公理
1.平行线的画法
用直尺和三角板作平行线的步骤:
①落:
用三角板的一条斜边与已知直线重合.
②靠:
用直尺紧靠三角板一条直角边.
③推:
沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点.
④画:
沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行.
2.平行公理及推论
平行公理:
经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行.
推论:
如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.
要点诠释:
(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”,而非直线上的点,要区别于垂线的第一性质.
(2)公理中“有”说明存在;“只有”说明唯一.
(3)“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.
要点二、平行线的判定
判定方法1:
同位角相等,两直线平行.如上图,几何语言:
∵ ∠3=∠2
∴ AB∥CD(同位角相等,两直线平行)
判定方法2:
内错角相等,两直线平行.如上图,几何语言:
∵ ∠1=∠2
∴ AB∥CD(内错角相等,两直线平行)
判定方法3:
同旁内角互补,两直线平行.如上图,几何语言:
∵ ∠4+∠2=180°
∴ AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行)
要点诠释:
平行线的判定是由角相等或互补,得出平行,即由数推形.
【典型例题】
类型一、平行公理及推论
1.下列说法中正确的有()
①一条直线的平行线只有一条;②过一点与已知直线平行的直线只有一条;③因为a∥b,c∥d,所以a∥d;④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.
A.1个B2个C.3个D.4
【总结升华】本题主要考察的是“平行公理及推论”的内容,要正确理解必须要抓住关键字词及其重要特征,在理解的基础上记忆,在比较中理解.
举一反三:
【变式】直线a∥b,b∥c,则直线a与c的位置关系是.
类型二、平行线的判定
2.(2015秋•龙岗区期末)已知:
如图,∠C=∠1,∠2和∠D互余,BE⊥FD于点G.求证:
AB∥CD.
【总结升华】此题考查的知识点是平行线的判定,关键是由BE⊥FD及三角形内角和定理得出∠1和∠D互余.
举一反三:
【变式1】(2016•郑州一模)如图,能判定EC∥AB的条件是( )
A.∠B=∠ACEB.∠A=∠ECDC.∠B=∠ACBD.∠A=∠ACE
【变式2】已知,如图,BE平分ABC,CF平分BCD,1=2,求证:
AB//CD.
3.如图所示,由
(1)∠1=∠3,
(2)∠BAD=∠DCB,可以判定哪两条直线平行.
【思路点拨】试着将复杂的图形分解成“基本图形”.
【总结升华】本题探索结论的过程采用了“由因索果”的方法.即在条件下探索由这些条件可推导出哪些结论,再由这些结论推导出新的结论,直到得出结果.
4.在同一平面内,如果两条直线都垂直于同一条直线,那么这两条直线平行吗?
为什么?
【答案与解析】
.
【总结升华】本题的结论可以作为两直线平行的判定方法.
举一反三:
【变式】已知,如图,EFEG,GMEG,1=2,AB与CD平行吗?
请说明理由.
平行线的判定(基础)巩固练习
【巩固练习】
一、选择题
1.下列关于作图的语句正确的是().
A.画直线AB=10厘米.
B.画射线OB=10厘米.
C.已知A,B,C三点,过这三点画一条直线.
D.过直线AB外一点画一条直线和直线AB平行.
2.下列判断正确的个数是().
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行;②两条不相交的直线叫做平行线;③在同一平面内不相交的两条射线是平行线.
A.0个B.1个C.2个D.3个
3.若直线a∥b,b∥c,则a∥c的依据是().
A.平行的性质
B.等量代换
C.平行于同一直线的两条直线平行
D.以上都不对
4.下列说法中不正确的是().
A.同位角相等,两直线平行.
B.内错角相等,两直线平行.
C.同旁内角相等,两直线平行.
D.在同一平面内,垂直于同一条直线的两直线平行.
5.如图所示,给出了过直线
外一点P作已知直线l的平行线的方法,其依据是().
A.同位角相等,两直线平行B.内错角相等,两直线平行
C.同旁内角互补,两直线平行D.以上都不对
6.(2015•福州)下列图形中,由∠1=∠2能得到AB∥CD的是( )
A.
B.
C.
D
二、填空题
7.两条射线或线段平行,是指.
8.如图所示,直线a,b被c所截,∠1=30°,∠2:
∠3=1:
5,则直线a与b的位置关系是________.
9.(2015春•伊宁市校级月考)如图,
(1)要证AD∥BC,只需∠B= ,根据是 ;
(2)要证AB∥CD,只需∠3= ,根据是 .
10.如图,已知若∠1+∠2=180°,则∠3+∠4=,ABCD.
11.小军在一张纸上画一条直线,再画这条直线的平行线,然后依次画前一条直线的平行线,当他画到第十条直线时,第十条直线与第一条直线的位置关系是________.
12.已知直线a、b都过点M,且直线a∥l,b∥l,那么直线a、b是同一条直线,根据是________.
三、解答题
13.(2015春•南平期末)已知:
如图AB⊥BC,BC⊥CD且∠1=∠2,试说明:
BE∥CF.
解:
∵AB⊥BC,BC⊥CD(已知)
∴ = =90°( )
∵∠1=∠2(已知)
∴ = (等式性质)
∴BE∥CF( )
14.(黄石)已知如图,∠ABC=∠ADC,BF、DE分别是∠ABC、∠ADC的角平分线,∠1=∠2,那么CD与AB平行吗?
写出推理过程.
15.如图所示,∠1=60°,∠2=60°,∠3=100°,要使AB∥EF,∠4应为多少度,说明理由.
平行线的判定
(二)
【学习目标】
1.熟练掌握平行线的画法;
2.掌握平行公理及其推论;
3.掌握平行线的判定方法,并能运用“平行线的判定方法”,判定两条直线是否平行.
【要点梳理】
要点一、平行线的画法及平行公理
1.平行线的画法
用直尺和三角板作平行线的步骤:
①落:
用三角板的一条斜边与已知直线重合.
②靠:
用直尺紧靠三角板一条直角边.
③推:
沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点.
④画:
沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行.
2.平行公理及推论
平行公理:
经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行.
推论:
如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.
要点诠释:
(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”,而非直线上的点,要区别于垂线的第一性质.
(2)公理中“有”说明存在;“只有”说明唯一.
(3)“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.
要点二、平行线的判定
判定方法1:
同位角相等,两直线平行.如上图,几何语言:
∵ ∠3=∠2
∴ AB∥CD(同位角相等,两直线平行)
判定方法2:
内错角相等,两直线平行.如上图,几何语言:
∵ ∠1=∠2
∴ AB∥CD(内错角相等,两直线平行)
判定方法3:
同旁内角互补,两直线平行.如上图,几何语言:
∵ ∠4+∠2=180°
∴ AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行)
要点诠释:
平行线的判定是由角相等或互补,得出平行,即由数推形.
【典型例题】
类型一、平行公理及推论
1.在同一平面内,下列说法:
(1)过两点有且只有一条直线;
(2)两条直线有且只有一个公共点;(3)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;(4)过一点有且只有一条直线与已知直线平行.其中正确的个数为:
().
A.1个B.2个C.3个D.4个
【总结升华】对平面几何中概念的理解,一定要紧扣概念中的关键词语,要做到对它们正确理解,对不同的几何语言的表达要注意区分不同表述之间的联系和区别.
举一反三:
【变式】下列说法正确的个数是().
(1)直线a、b、c、d,如果a∥b、c∥b、c∥d,则a∥d.
(2)两条直线被第三条直线所截,同旁内角的平分线互相垂直.
(3)两条直线被第三条直线所截,同位角相等.
(4)在同一平面内,如果两直线都垂直于同一条直线,那么这两直线平行.
A.1个B.2个C.3个D.4个
2.证明:
平行于同一直线的两条直线平行.
【答案与解析】
已知:
如图,
.求证:
.
【总结升华】本题采用的是“反证法”的证明方法,反证法证题的一般步骤:
第一步,反设:
作出与求证结论相反的假设;
第二步,归谬:
将反设作为条件,并由此通过一系列的正确推理导出矛盾;
第三步,结论:
说明反设不成立,从而肯定原命题成立.
类型二、平行线的判定
3.(2015春•荣昌县校级期中)如图,∠ABC=∠ACB,BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,∠DBF=∠F.试说明:
EC∥DF.
【思路点拨】根据BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,得出∠DBF=
∠ABC,∠ECB=
∠ACB,∠DBF=∠ECB,再根据∠DBF=∠F,得出∠ECB=∠F,即可证出EC∥DF.
【总结升华】此题考查了平行线的判定,用到的知识点是同位角相等,两直线平行,关键是证出∠ECB=∠F.
举一反三:
【变式】一个学员在广场上驾驶汽车,两次拐弯后,行驶的方向与原来的方向相同,这两次拐弯的角度可能是()
A.第一次向左拐30°,第二次向右拐30°
B.第一次向右拐50°,第二次向左拐130°
C.第一次向右拐50°,第二次向右拐130°
D.第一次向左拐50°,第二次向左拐130°
提示:
“方向相同”有两层含义,即路线平行且方向相同,在此基础上准确画出示意图.
图B显然不同向,因为路线不平行.
图C中,∠1=180°-130°=50°,路线平行但不同向.
图D中,∠1=180°-130°=50°,路线平行但不同向.
只有图A路线平行且同向,故应选A.
4.如图所示,已知∠B=25°,∠BCD=45°,∠CDE=30°,∠E=10°.试说明AB∥EF的理由.
解法1:
如图所示,在∠BCD的内部作∠BCM=25°,在∠CDE的内部作∠EDN=10°.
∵∠B=25°,∠E=10°(已知),
∴∠B=∠BCM,∠E=∠EDN(等量代换).
∴AB∥CM,EF∥DN(内错角相等,两直线平行).
又∵∠BCD=45°,∠CDE=30°(已知),
∴∠DCM=20°,∠CDN=20°(等式性质).
∴∠DCM=∠CDN(等量代换).
∴CM∥DN(内错角相等,两直线平行).
∵AB∥CM,EF∥DN(已证),
∴AB∥EF(平行线的传递性).
解法2:
如图所示,分别向两方延长线段CD交EF于M点、交AB于N点.
∵∠BCD=45°,∴∠NCB=135°.
∵∠B=25°,
∴∠CNB=180°-∠NCB-∠B=20°(三角形的内角和等于180°).
又∵∠CDE=30°,∴∠EDM=150°.
又∵∠E=10°,
∴∠EMD=180°-∠EDM-∠E=20°(三角形的内角和等于180°).
∴∠CNB=∠EMD(等量代换).
所以AB∥EF(内错角相等,两直线平行).
【总结升华】判定两条直线平行的方法有四种,选择哪种方法要根据问题提供的条件来灵活选取.
举一反三:
【变式】(2015秋•巨野县期末)如图,已知∠BED=∠B+∠D,求证:
AB∥CD.
平行线的判定(提高)巩固练习
【巩固练习】
一、选择题
1.下列说法中正确的有().
①一条直线的平行线只有一条.
②过一点与已知直线平行的直线只有一条.
③因为a∥b,c∥d,所以a∥d.
④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.
A.1个B.2个C.3个D.4个
2.如果两个角的一边在同一直线上,另一边互相平行,则这两个角().
A.相等B.互补C.互余D.相等或互补
3.(2015•黔南州)如图,下列说法错误的是( )
A.若a∥b,b∥c,则a∥cB.若∠1=∠2,则a∥c
C.若∠3=∠2,则b∥cD.若∠3+∠5=180°,则a∥c
4.一辆汽车在广阔的草原上行驶,两次拐弯后,行驶的方向与原来的方向相同,那么这两次拐弯的角度可能是().
A.第一次向右拐40°,第二次向右拐140°.
B.第一次向右拐40°,第二次向左拐40°.
C.第一次向左拐40°,第二次向右拐140°.
D.第一次向右拐140°,第二次向左拐40°.
5.如图所示,下列条件中,不能推出AB∥CE成立的条件是().
A.∠A=∠ACEB.∠B=∠ACEC.∠B=∠ECDD.∠B+∠BCE=180°
6.(绍兴)学习了平行线后,小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法,她是通过折一张半透明的纸得到的(如图,
(1)—(4)):
从图中可知,小敏画平行线的依据有().
①两直线平行,同位角相等.②两直线平行,内错角相等.③同位角相等,两直线平行.
④内错角相等,两直线平行.
A.①②B.②③C.③④D.④①
二、填空题
7.(2015春•高密市月考)如图,在下列条件中:
①∠DAC=∠ACB;②∠BAC=∠ACD;③∠BAD+∠ADC=180°;④∠BAD+∠ABC=180°.其中能使直线AB∥CD成立的是 .(填序号)
8.如图,DF平分∠CDE,∠CDF=55°,∠C=70°,则________∥________.
9.规律探究:
同一平面内有直线a1,a2,a3…,a100,若a1⊥a2,a2∥a3,a3⊥a4…,按此规律,a1和a100的位置是________.
10.已知两个角的两边分别平行,其中一个角为40°,则另一个角的度数是
11.直线
同侧有三点A、B、C,如果A、B两点确定的直线
与B、C两点确定的直线
都与
平行,则A、B、C三点,其依据是
12.如图,AB⊥EF于点G,CD⊥EF于点H,GP平分∠EGB,HQ平分∠CHF,则图中互相平行的直线有.
三、解答题
13.(2015春•兴平市期末)如图,已知∠A=∠F,∠C=∠D,试说明BD∥CE.
14.小敏有一块小画板(如图所示),她想知道它的上下边缘是否平行,而小敏身边只有一个量角器,你能帮助她解决这一问题吗?
15.如图,把一张长方形纸条ABCD沿AF折叠,已知∠ADB=20°,那么∠BAF为多少度时,才能使AB′∥BD?
16.如图所示,由∠1=∠2,BD平分∠ABC,可推出哪两条线段平行,写出推理过程,如果推出另两条线段平行,则应将以上两条件之一作如何改变?
平行线的性质及尺规作图
(一)
【学习目标】
1.掌握平行线的性质,并能依据平行线的性质进行简单的推理.
2.了解平行线的判定与性质的区别和联系,理解两条平行线的距离的概念.
3.了解尺规作图的基本知识及步骤;
4.通过用尺规作图活动,进一步丰富对“平行线及角”的认识.
【要点梳理】
要点一、平行线的性质
性质1:
两直线平行,同位角相等;
性质2:
两直线平行,内错角相等;
性质3:
两直线平行,同旁内角互补.
要点诠释:
(1)“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容,切不可忽视前提“两直线平行”.
(2)从角的关系得到两直线平行,是平行线的判定;从平行线得到角相等或互补关系,是平行线的性质.
要点二、两条平行线的距离
同时垂直于两条平行线,并且夹在这两条平行线间的线段的长度,叫做这两条平行线
的距离.
要点诠释:
(1)求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点,向另一条直线作垂线,垂线段的长度就是两条平行线的距离.
(2)两条平行线的位置确定后,它们的距离就是个定值,不随垂线段的位置的改变而改变,即平行线间的距离处处相等.
要点三、尺规作图
1.定义:
尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图.
要点诠释:
(1)只使用圆规和直尺,并且只准许使用有限次,来解决不同的平面几何作图题.
(2)直尺必须没有刻度,无限长,且只能使用直尺的固定一侧.只可以用它来将两个点连在一起,不可以在上面画刻度.
(3)圆规可以开至无限宽,但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度.
2.八种基本作图(有些今后学到):
(1)作一条线段等于已知线段.
(2)作一个角等于已知角.
(3)作已知线段的垂直平分线.
(4)作已知角的角平分线.
(5)过一点作已知直线的垂线.
(6)已知一角、一边做等腰三角形.
(7)已知两角、一边做三角形.
(8)已知一角、两边做三角形.
【典型例题】
类型一、平行线的性质
1.(2015秋•昌邑市期末)已知:
如图,AB∥DC,点E是BC上一点,∠1=∠2,∠3=∠4.求证:
AE⊥DE.
【思路点拨】过E作EF∥AB,再由条件AB∥DC,可得EF∥AB∥CD,根据平行线的性质可得∠1=∠5,∠4=∠6,然后可得∠5+∠6=
∠BEF+
∠FEC=90°,进而得到结论.
【总结升华】此题主要考查了平行线的性质,关键是掌握两直线平行,内错角相等.
举一反三:
【变式】(2015•泰州)如图,直线l1∥l2,∠α=∠β,∠1=40°,则∠2= .
类型二、两平行线间的距离
2.如图所示,直线l1∥l2,点A、B在直线l2上,点C、D在直线l1上,若△ABC的面积为S1,△ABD的面积为S2,则().
A.S1>S2B.S1=S2C.S1<S2D.不确定
【总结升华】三角形等面积问题常与平行线间距离处处相等相结合.
举一反三:
【变式】如图,在两个一大一小的正方形拼成的图形中,小正方形的面积是10平方厘米,阴影部分的面积为平方厘米.
类型三、尺规作图
3.已知:
∠AOB.
利用尺规作:
∠A′O′B′,使∠A′O′B′=2∠AOB.
【思路点拨】先作一个角等于∠AOB,在这个角的外部再作一个角等于∠AOB,那么图中最大的角就是所求的角.
【答案与解析】
作法一:
如图
(1)所示,
(1)以点O圆心,任意长为半径画弧,交OA于点A′,交OB于点C;
(2)以点C为圆心,以CA′的长为半径画弧,交前面的弧于点B′;
(3)过点B′作射线OB′,则∠A′O′B′就是所求作的角.
作法二:
如图
(2)所示,
(1)画射线O′A′;
(2)以点O为圆心,以任意长为半径画弧,交OA于点C,交OB于点D;
(3)以点O′为圆心,以OC的长为半径画弧,交O′A′于点E;
(4)以点E为圆心,以CD的长为半径画弧,交前面的弧于点F,再以点F为圆心,以CD的长为半径画弧,交前面的弧于点B′;
(5)画射线O′B′,则∠A′O′B′就是所求作的角.
【总结升华】本题考查作一个倍数角等于已知角,需注意作第二个角的时候应在第一个角的外部.作法一在已知角的基础上作图较为简便一些.
类型四、平行的性质与判定综合应用
4.如图所示,AB∥EF,那么∠BAC+∠ACE+∠CEF=()
A.180°B.270°C.360°D.540°
【总结升华】这是平行线性质与平行公理的推论的综合应用,利用“两直线平行,同旁内角互补,”可以得到∠BAC+∠ACE+∠CEF=360°.
举一反三:
【变式】如图所示,如果∠BAC+∠ACE+∠CEF=360°,则AB与EF的位置关系.
平行线的性质及尺规作图(基础)巩固练习
【巩固练习】
一、选择题
1.下列说法:
①两直线平行,同旁内角互补;②内错角相等,两直线平行;③同位角相等,两直线平行;④垂直于同一条直线的两条直线平行,其中是平行线的性质的是().
A.①B.②和③C.④D.①和④
2.如图所示,AB∥CD,若∠2是∠1的2倍,则∠2等于().
A.60°B.90°C.120°D.150°
3.下列图形中,由AB∥CD,能得到∠1=∠2的是().
4.(2016•安徽模拟)如图,AB∥CD,DE⊥CE,∠1=34°,则∠DCE的度数为( )
A.34°B.56°C.66°D.54°
5.(南通)如图所示,已知AD与BC相交于点O,CD∥OE∥AB.如果∠B=40°,∠D=30°,则∠AOC的大小为().
A.60°B.70°C.80°D.120°
6.(山东德州)如图所示,直线l1//l2,∠1=40°,∠2=75°,则∠3等于().
A.55°B.30°C.65°D.70°
二、填空题
7.如图,AB∥CD,BC∥AD.AC⊥BC于点C,CE⊥AB于点E,那么AB、CD间的距离是________的长,BC、AD间的距离是________的长.
8.画线段AB,延长线段AB到点C,使BC=2AB;反向延长AB到点D,使AD=AC,则线段CD=______AB.
9.(浙江湖州)如图所示,已知CD平分∠ACB,DE∥AC,∠1=30°,则∠2=______度.
10.如图,在四边形ABCD中,若∠A+∠B=180°,则∠C+∠D=_______.
11.将两张矩形纸片如图所示摆放,使其中一张矩形纸片的一个顶点恰好落在另一张矩形纸片的一条边上,则∠1+∠2=________.
12.(2016春•鄂城区月考)如图,已知AB∥CD,∠α= .
三.解答题
13.如图,已知AB∥CD,MG、NH分别平分∠BMN与∠CNM,试说明NH∥MG?
14.如图,a∥b∥c,∠1=60°,∠2=36°,AP平分∠BAC,求∠PAQ的度数.
15.(2015春•东莞校级期末)如图,已知直线l1∥l2,直线l3和直线l1、l2交于点C和D,在C、D之间有一点P,如果P点在C、D之间运动时,问∠PAC,∠APB,∠PBD之间的关系是否发生变化.若点P在C、D两点的外侧运动时(P点与点C、D不重合),试探索∠PAC,∠APB,∠PBD之间的关系又是如何?
平行线的性质及尺规作图
(二)
【学习目标】
1.掌握平行线的性质,并能依据平行线的性质进行简单的推理;
2.了解平行线的判定与性质的区别和联系,理解两条平行线的距离的概念;
3.了解尺规作图的基本知识及步骤;
4.通过用尺规作图活动,进一步丰富对“平行线及角”的认识.
【要点梳理】
要点一、平行线的性质
性质1:
两直线平行,同位角相等.
性质2:
两直线平行,内错角相等.
性质3:
两直线平行,同旁内角互补.
要点诠释:
(1)“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容,切不可忽视前提“两直线平行
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