版高中数学第二讲试验设计初步一正交试验设计法学案新人教A版选修47.docx

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版高中数学第二讲试验设计初步一正交试验设计法学案新人教A版选修47

一　正交试验设计法

[学习目标]

1.了解正交试验设计法的思想及过程.

2.结合实例理解正交试验表及特性.

3.了解直观分析法对试验结果的分析.

[预习导引]

1.正交试验设计法的有关概念

（1）水平：

因素在试验中所取的不同状态称为水平.

（2）正交表符号含义：

正交表Lm（an）.“L”表示正交表，L右下角m表示这张正交表有m行，它意味需要做m次试验.括号里的指数n表示这张表有n列.每列中的数字代表试验的因素，每列可表示一个因素.它意味着最多安排n个因素，括号内的数字a表示表的主要部分只有a个数字，分别是因素的水平.

2.正交试验设计的步骤

（1）明确试验目的，确定试验指标；

（2）选因素，定水平；

（3）选适合的正交表；

（4）安排试验方案；

（5）对试验结果进行直观分析；

（6）获得最佳搭配方案；

（7）分析影响结果的主次因素；

（8）对分析出的最优搭配进行再试验.

3.正交表的特性

（1）每一列中，不同的数字出现的次数相等，即同一因素的任一水平在试验中出现的机会相等.

（2）任意两列，将同一行的两个数字看成有序数对时，每种数对出现的次数相等，即任何两因素的各种水平搭配、在试验中出现的机会也相等.

4.正交试验的结果分析

（1）直观分析法是分析各个因素对试验结果影响大小的一种数学方法.

（2）用Kpq表示正交表中对应第q列中水平p的试验结果之和，kpq表示Kpq的平均值，即kpq＝

.

要点一　正交试验表

例1　在梳棉机上纺粘棉混纱，为了提高质量，确定3个因素，每个因素有2个水平，因素水平如下表：

因素

水平

A

金属针布

B

产量水平（kg）

C速度

（r·min－1）

1

甲地产品

6

238

2

乙地产品

10

320

试验指标为棉结粒数，越小越好.用正交表L4（23）安排试验，4次试验所得试验指标的结果依次为0.35，0.20，0.30，0.40.请画出正交表，并根据正交表找出最优组合及各因素影响的大小.

解　计算各值得：

K11＝0.35＋0.20＝0.55，

K21＝0.30＋0.40＝0.70，

K12＝0.35＋0.30＝0.65，

K22＝0.20＋0.40＝0.60，

K13＝0.35＋0.40＝0.75，

K23＝0.20＋0.30＝0.50，

∴k11＝

K11＝0.275，k21＝

K21＝0.35，

k12＝

K12＝0.325，k22＝

K22＝0.30，

k13＝

K13＝0.375，k23＝

K23＝0.25，

R1＝max{0.275，0.35}－min{0.275，0.35}＝0.075，

R2＝max{0.325，0.30}－min{0.325，0.30}＝0.025，

R3＝max{0.375，0.25}－min{0.375，0.25}＝0.125，

所得结果列表如下：

列号

试验号　　

A

金属针布

B

产量水平（kg）

C

速度（r·min－1）

产量

1

A1（甲地产品）

B1（6）

C1（238）

0.35

2

A1（甲地产品）

B2（10）

C2（320）

0.20

3

A2（乙地产品）

B1（6）

C2（320）

0.30

4

A2（乙地产品）

B2（10）

C1（238）

0.40

k1q＝

K1q

0.275

0.325

0.375

k2q＝

K2q

0.35

0.30

0.25

Rq

0.075

0.025

0.125

由上表可知最优组合为（A2，B1，C1），由于R3>R1>R2，故速度因素起主要作用，金属针布产地次之，产量影响最小.

规律方法　本题考查正交表的画法及正交试验的思想和方法，较全面的考查了正交试验的应用；正交表的特性.

（1）每一列中，不同的数字出现的次数相等；

（2）任意两列，将同一行的两个数字看成有序数对时每种数对出现的次数相等.

跟踪演练1　某正交试验设计所用的正交表是L4（23），则不正确的说法是（　　）

A.这是一个三水平的正交表

B.这个试验的因素有三个

C.需要安排四次试验

D.这是一个二水平正交表

解析　这是一个三因素二水平正交表，需要安排4次试验，故A不正确，选A项.

答案　A

要点二　正交试验设计

例2　某种型号轴承的退火质量受到上升温度、保温时间、出炉温度的影响，且各有2种选择.上升温度：

800℃，820℃；保温时间：

6h，8h；出炉温度：

400℃，500℃.

（1）选用合适的正交表安排试验；

（2）给出具体的试验方案.

解　

（1）根据题设，

该试验问题中，

轴承的退火质量受到上升温度、保温时间、出炉温度这3个因素的影响，

每个因素又有2种选择，

故是一个3因素2水平试验设计问题，

故应选择2水平正交表，

常用的2水平正交表有L4（23），L8（27），L12（211）.

根据列数不少于因素个数且试验次数最少的原则，

应选正交表L4（23）安排试验.

（2）根据

（1）选定的正交表L4（23），

将3个因素——上升温度、保温时间、出炉温度各对应正交表的一列，

再在各因素对应的列中，

数字1，2分别对应相应因素的两个水平，

获得具体的试验方案如下表：

列号

试验号

A

上升温度（℃）

B

保温时间（h）

C

出炉温度（℃）

1

800

6

400

2

800

8

500

3

820

8

400

4

820

6

500

规律方法　这里给出的只是一种试验方案，

因为3个因素与正交表的3列之间的对应并不是唯一的，

事实上，3个因素与正交表的3列间的不同对应共有3！

＝6（种），从而，可以得到6种不同的试验设计方案，

具体试验时，只要取其中一种方案进行试验即可.

跟踪演练2　用大白鼠试验，来了解正氟醚的毒性，观察的指标是细胞的色素，已知试验考察的因素有三个：

诱导药物A，是否使用正氯醚B和大白鼠性别C，且每个因素可以取两个水平：

诱导药物：

A1＝生理盐水，A2＝戊巴比妥；

是否使用正氟醚：

B1＝不用正氟醚，B2＝用正氟醚；

大白鼠性别：

C1＝雄性大白鼠，C2＝雌性大白鼠.

试选择恰当的正交表，并把相关因素填入正交表.

解　由于这是3因素2水平的试验，因此选择正交表L4（23），

将三个因素分别填入1，2，3三列上，如图所示：

列号

试验号　　

A

诱导药物

B

是否使用正氟醚

C

大白鼠性别

1

A1（生理盐水）

B1（不用正氟醚）

C1（雄性大白鼠）

2

A1（生理盐水）

B2（用正氟醚）

C2（雌性大白鼠）

3

A2（戊巴比妥）

B1（不用正氟醚）

C2（雌性大白鼠）

4

A2（戊巴比妥）

B2（用正氟醚）

C1（雄性大白鼠）

要点三　正交试验结果的分析

例3　下图是根据某农作物正交试验后的计算结果绘成的产量和因素的关系图（因素及取值如表所示）.

因素

施肥量（kg/亩）

A

种植密度

（株/亩）B

施肥次数D

水平1

260

3700

分两次施完

水平2

200

3200

分三次施完

（1）最佳的生产组合形式为________.

（2）各因素影响产量的主次关系为________________________.（由主到次写出）

解　

（1）k11的大小反映了A1对试验结果的影响，k21的大小反映了A2对试验结果的影响；k12的大小反映了B1对试验结果的影响，k22的大小反映了B2对试验结果的影响；k13反映了C1对试验结果的影响，k23的大小反映了C2对试验结果的影响.由k11>k21可知在A1、A2中应该选择A1，由k12

（2）可以借助R的大小来确定因素对试验结果影响的主次.

∵R2＝40>R3＝27>R1＝10.

∴影响产量的各因素中种植密度影响最大，其次是施肥次数，施肥量再次之.

答案　

（1）（A1，B2，C2）

（2）种植密度>施肥次数>施肥量

规律方法　1.Kpq表示Lm（np）中第q列中水平p的试验结果之和.

2.可以用R的大小来确定因素对试验结果影响的主次.

跟踪演练3　考察下表所列的对胶鞋弯曲性能有影响的3个因素和2个水平，选取主要因素及较好的配方.

因素

水平　　

A

促进剂总量

B

炭黑品种

C

硫碘用量

1

1.5

甲类炭黑

2.5

2

1.0

乙类炭黑

2.0

解：

首先，要找出适合试验要求的正交表.该题中有2个水平，自然应在2水平的正交表中选.又因为有3个因素，而列数不小于因素个数的最小2水平正交表是L4（23），如表1所示.

表1

列号

试验号　　　　

1

2

3

1

1

1

1

2

1

2

2

3

2

1

2

4

2

2

1

安排试验方案.将促进剂总量A，炭黑品种B，硫磺用量C三个试验因素分别填入三列上.哪一个因素安排在哪一列是任意的（如表2所示）.

表2

　列号

试验号　　

A

促进剂总量

B

炭黑品种

C

硫横用量

1

A1（1.5）

B1（甲）

C1（2.5）

2

A1（1.5）

B2（乙）

C2（2.0）

3

A2（1.0）

B1（甲）

C2（2.0）

4

A2（1.0）

B2（乙）

C1（2.5）

按照这个安排需要做4次试验.第一个试验就是按照表2的第1行排出的水平组合（A1，B1，C1），在促进剂总量为1.5，炭黑品种为甲类，硫磺用量为2.5的条件下完成；第二个试验就是按照表2的第2行排出的水平组合（A1，B2，C2），在促进剂总量为1.5炭黑品种为乙类，硫磺用量为2.0条件下完成；等等.

经过试验，将试验的结果（弯曲次数）列在表3中.

表3

列号

试验号　　

A

促进剂总量

B

炭黑品种

C

硫磺用量

试验结果弯曲次数（万次）

1

A1（1.5）

B1（甲）

C1（2.5）

1.5

2

A1（1.5）

B2（乙）

C2（2.0）

1.5

3

A2（1.0）

B1（甲）

C2（2.0）

3.0

4

A2（1.0）

B2（乙）

C1（2.5）

2.5

k1q＝

K1q

1.5

2.3

2.0

k2q＝

K2q

2.8

2.0

2.3

Rq

1.3

0.3

0.3

接着用直观分析方法试验结果.根据k值和R值的定义，先计算k值，然后计算R值（表3）.

画弯曲次数和因素的关系图：

从表3和关系图中可以看出，因素A——促进剂总量两个水平对产量的影响中，k21值最大，即水平2的时候弯曲次数较高，所以在A1，A2中应该选择A2.同理，在B1，B2中选择B1，在C1，C2中选择C2，所以组合（A2，B1，C2）是最佳生产条件.比较R1，R2，R3的大小，有R1>R2＝R3，说明促进剂总量（A）是主要因素，炭黑品种（B）与硫磺用量（C）其次.

1.用正交试验设计法安排试验，其步骤一般有：

（1）明确试验目的，确定试验指标；

（2）选因素，定水平，水平选得越准确，试验效果越显著；

（3）根据问题的具体情况选一张合适的正交表；

（4）利用正交表安排试验方案；

（5）对试验结果进行直观分析，计算同一因素同一水平的结果的平均值，找出每个因素的最好水平；

（6）获得最佳搭配方案，将每个因素中的最好水平进行搭配，得到最佳答案；

（7）分析影响结果的主次因素，即根据R值的大小，R值越大，说明这一因素对试验结果影响越大；

（8）对分析出的最优搭配进行试验，若效果比较满意，试验可告一段落.

2.直观分析法是分析各个因素对试验结果影响大小的一种数学方法.主要分析的是：

（1）对同因素中将相同水平的结果相加，找出每个因素的最好水平；

（2）寻找每个因素中的最好水平进行搭配，得到最佳答案；

（3）计算各个水平最好值与最差值的大小R值，由R的值的大小确定因素对试验结果影响的主次.

一、基础达标

1.为提高某种药品的合成率，对工序进行试验.各因素及其水平如下表所示，如何用正交试验法设计试验？

因素

水平

A

B

C

D

温度（℃）

甲醇纳量（mL）

加工时间（min）

缩合剂量（mL）

1

25

3

30

0.9

2

35

4

35

1.2

3

45

5

40

1.5

可选用以下哪种正交表进行试验（　　）

A.L4（23）B.L8（27）

C.L9（34）D.L12（211）

解析　因为是4因素3水平，所以选择L9（34）.

答案　C

2.右表是正交表L4（23）的一

试验号因素

A

B

C

1

1

1

1

2

1

2

2

3

2

1

2

4

2

2

1

部分，则表中安排的第三个试验组合是（　　）

A.A1B1C1

B.A1B2C2

C.A2B1C2

D.A2B2C1

解析　该表表示3因素2水平，第三个试验安排的是A因素的2水平B因素的1水平和C因素的2水平，即A2B1C2.

答案　C

3.正交试验设计中，因素的选取（　　）

A.要选取那些对试验结果影响不大的次要的因素

B.要选取那些难于控制的因素

C.要选取那些过去已经了解清楚的因素

D.要根据试验目的，结合实践经验，考察与试验目的关系重要的因素

解析　正交试验的目的：

是通过较少次数的试验获得试验数据并对其进行分析，确定影响试验指标的主要因素，从而得到较好的因素水平组合，故选D.

答案　D

4.如图是某正交试验设计中绘制的产量与因素关系图，由此图可知（　　）

A.影响试验结果最主要的是因素Ⅰ

B.影响试验结果最主要的是因素Ⅱ

C.影响试验结果最主要的是因素Ⅲ

D.因表中数据不全，无法分清哪一个因素影响最大

解析　因为R3最大，故影响试验结果最主要的是因素Ⅲ.

答案　C

5.右图是根据一个三因素三水平正交试验结果绘制的因素关系图，设试验结果越大越好，则因素的最优搭配为（　　）

A.（A3，B2，C2）

B.（A1，B2，C1）

C.（A3，B2，C3）

D.（A3，B1，C3）

解析　∵max{kq1}＝k31，max{kq2}＝k22，

max{kq3}＝k23，

∴最佳组合为（A3，B2，C2），所以答案为A.

答案　A

6.下面正交试验设计方案中，第1号试验中因素C的水平为________；第2号试验中因素C的水平为__________；第5号试验中因素A的水平为__________，B为__________；第6号试验中因素B的水平为__________.

列号

试验号

A

B

C

D

1

1

1

2

1

2

3

1

3

3

4

2

1

2

5

3

6

2

1

7

3

1

3

8

3

2

1

9

3

3

2

解析　根据正交表的特征，可知答案为1，2，2，2，3.

答案　1，2，2，2，3

二、能力提升

7.下表是正交试验设计表的一部分，根据此表可知表中①，②分别是__________、__________.

列号

试验号

上升温度A（℃）

保温时间B（s）

出炉温度C（℃）

试验结果

1

A1

B1

C1

2

A1

B2

C2

3

A2

B1

C2

4

A2

B2

C1

k1q＝

K1q

62.5

①＝？

k2q＝

K2q

67.5

57.5

Rq

5

②＝？

解　根据直观分析法的计算可知：

①＋57.5＝62.5＋67.5，得①＝72.5，由72.5－57.5＝15，知②处为15.答案：

72.5，15.

8.下表给出L9（34）中有一处错误，错误处在该表的列号为__________，试验号为__________.

列号

试验号

1

2

3

4

1

1

1

1

1

2

1

2

2

2

3

1

3

3

3

4

2

1

2

3

5

2

2

3

1

6

2

3

1

2

7

3

1

3

2

8

3

2

1

3

9

3

3

1

1

解析　第3列有4个1，2个2，3个3，

所以其中的1个1应为2.

若试验号为1，6，8处的1改为2，

则与正交表的特性“任意两列将同一行的两个数字看成有序数对时，每种数对出现的次数相等”这一特征矛盾，

而试验号9处3列1改为2能使正交表满足正交表的特性.

答案　3，9

9.某车间用车床加工零件，为提高工效，对车速、走刀量、吃刀深度进行正交试验，各因素及其水平如下表：

因素

水平

A

车速（r/min）

B

走刀量（mm/r）

C

吃刀深度（mm）

1

480

0.30

2.5

2

600

0.20

1.7

3

760

0.15

2.0

用L9（34）安排实验，试验结果如下表：

列号

试验号

A

车速（r/min）

B

走刀量（mm/r）

C

吃刀深度（mm）

D

工时

1

480

0.30

2.5

1′28″

2

480

0.20

1.7

2′25″

3

480

0.15

2.0

3′10″

4

600

0.30

1.7

1′20″

5

600

0.20

2.0

2′02″

6

600

0.15

2.5

2′38″

7

760

0.30

2.0

58″

8

760

0.20

2.5

1′38″

9

760

0.15

1.7

2′06″

k1q

k2q

k3q

（1）将上表补充完整；

（2）求K32的值；

（3）解释k32的实际意义.

解　

（1）k11＝

＝2′21″，

k21＝

＝2′，

k31＝

＝1′34″，

k12＝

＝1′15″，

k22＝

＝2′02″，

k32＝

＝2′38″，

k13＝

＝1′55″，

k23＝

＝1′57″，

k33＝

＝2′03″.

（2）K32＝3k32＝7′54″.

（3）因为k32是第三个因素吃刀深度的第二个水平参与的3次试验结果的平均值.3次试验中，

第一个因素车速的每个水平各参与了一次试验，

在平均过程中，

第一个因素的影响被消除了.

同样，第二个因素对实验结果的影响也被消除了.

随机误差有正有负，

在求平均的过程中，

可以部分地正负抵消，

故k32的实际意义是：

它主要反映了第三个因素的第二个水平对试验结果的影响.

三、探究与创新

10.为改进生产工艺，提高白地霉核酸的回收率，选择3种白地霉核酸含量（%）（7.4，8.7，6.2），3种腌制时间（h）（24，4，1），3种pH（4.8，6.0，9.0），3种加水量（1∶4，1∶3，1∶2）进行正交试验，选用正交表L9（34）安排试验，试验数据如下表：

列号

试验号

A

白地霉核酸含量（%）

B

腌制时间（h）

C

pH

D

加水量

纯核酸回收率（%）

1

1

1

1

1

29.8

2

1

2

2

2

41.3

3

1

3

3

3

59.9

4

2

1

2

3

24.3

5

2

2

3

1

50.6

6

2

3

1

2

58.2

7

3

1

3

2

30.9

8

3

2

1

3

20.4

9

3

3

2

1

73.1

（1）求kpq，p＝1，2，3，q＝1，2，3，4及R1，R2，R3的值；

（2）解释k14的实际意义；

（3）解释R4的实际意义；

（4）找出影响回收率的主要因素；

（5）用直观分析法求出最好的工艺条件；

（6）绘制因素关系图.

解　

（1）k11＝

＝43.67，

k21＝

＝44.37，

k31＝

＝41.47，

k12＝

＝28.33，

k22＝

＝37.43，

k32＝

＝63.73，

k13＝

＝36.13，

k23＝

＝46.23，

k33＝

＝47.13，

k14＝

＝51.17，

k24＝

＝43.47，

k34＝

＝34.87，

R1＝max{k11，k21，k31}－min{k11，k21，k31}

＝44.37－41.47＝2.9，

R2＝max{k12，k22，k32}－min{k12，k22，k32}

＝63.73－28.33＝35.4，

R3＝max{k13，k23，k33}－min{k13，k23，k33}

＝47.13－36.13＝11，

R4＝max{k14，k24，k34}－min{k14，k24，k34}

＝51.17－34.87＝16.3.

（2）由于k14是9次试验中，

对应于因素D的第一个水平的各次试验结果的平均值，

虽说用于计算k14的试验结果中有因素A，B，C参与了试验，

但A的各水平都参与了1次，

B的各水平也各参与了1次，

C的各水平也各参与了1次，

在求平均值的过程中，

它们的不同水平对试验结果的影响被消除了.

另外，由于随机误差有正有负，

在求平均值的过程中，

正、负误差会有所抵消，

因此，k14主要反映了因素D的第一个水平对试验结果的影响，

即工艺中加水量为1∶4时对纯核酸回收率的影响.

（3）由于R4＝max{k14，k24，k34}－min{k14，k24，k34}，

它是因素D的3个不同水平下回收率的平均值的最大值与最小值之差，

因此，

它主要说明因素D的不同水平对回收率的影响大小.

这里，R4＝16.3，

说明因素D的不同水平对回收率的影响较大，

因素D是影响回收率的重要因素.

（4）根据

（1）的计算结果R2＞R4＞R3＞R1可知，

影响回收率的主要因素是B，

其次是D，C，

而R1＝2.9相对于R2，R3，R4，

要小得多，

故A的影响较小，不太显著.

（5）根据前面计算知，

max{k11，k21，k31}＝k21，max{k12，k22，k32}＝k32，

max{k13，k23，k33}＝k33，max{k11，k24，k34}＝k14.

从而，由直观分析法找出最好的配方为：

白地霉核酸含量8.7%，

腌制时间1h，pH9.0，加水量1∶4.

（6）因素关系图如图所示：