函数的极值与导数一.docx

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函数的极值与导数一

1．3.2　函数的极值与导数

（一）

学习目标

　1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件．

知识点一　函数的极值点和极值

思考　观察函数y＝f（x）的图象，指出其极大值点和极小值点及极值．

答案　极大值点为e，g，i，极大值为f（e），f（g），f（i）；极小值点为d，f，h，极小值为f（d），f（f），f（h）．

梳理　

（1）极小值点与极小值

若函数y＝f（x）在点x＝a的函数值f（a）比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′（a）＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′（x）<0，右侧f′（x）>0，就把点a叫做函数y＝f（x）的极小值点，f（a）叫做函数y＝f（x）的极小值．

（2）极大值点与极大值

若函数y＝f（x）在点x＝b的函数值f（b）比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′（b）＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′（x）>0，右侧f′（x）<0，就把点b叫做函数y＝f（x）的极大值点，f（b）叫做函数y＝f（x）的极大值．

（3）极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值．

知识点二　函数极值的求法与步骤

（1）求函数y＝f（x）的极值的方法

解方程f′（x）＝0，当f′（x0）＝0时，

①如果在x0附近的左侧函数单调递增，即f′（x）>0，在x0的右侧函数单调递减，即f′（x）<0，那么f（x0）是极大值；

②如果在x0附近的左侧函数单调递减，即f′（x）<0，在x0的右侧函数单调递增，即f′（x）>0，那么f（x0）是极小值．

（2）求可导函数f（x）的极值的步骤

①确定函数的定义区间，求导数f′（x）；

②求方程f′（x）＝0的根；

③列表；

④利用f′（x）与f（x）随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值．

1．导数为0的点一定是极值点．（　×　）

2．函数的极大值一定大于极小值．（　×　）

3．函数y＝f（x）一定有极大值和极小值．（　×　）

4．极值点处的导数一定为0.（　×　）

类型一　求函数的极值点和极值

例1　求下列函数的极值．

（1）f（x）＝

－2；

（2）f（x）＝

.

考点　函数在某点处取得极值的条件

题点　不含参数的函数求极值问题

解　

（1）函数f（x）的定义域为R.

f′（x）＝

＝－

.

令f′（x）＝0，得x＝－1或x＝1.

当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x

（－∞，－1）

－1

（－1,1）

1

（1，＋∞）

f′（x）

－

0

＋

0

－

f（x）

↘

极小值

↗

极大值

↘

由上表可以看出，当x＝－1时，函数有极小值，且极小值为f（－1）＝－3；

当x＝1时，函数有极大值，且极大值为f

（1）＝－1.

（2）函数f（x）＝

的定义域为（0，＋∞），

且f′（x）＝

.

令f′（x）＝0，解得x＝e.

当x变化时，f′（x）与f（x）的变化情况如下表：

x

（0，e）

e

（e，＋∞）

f′（x）

＋

0

－

f（x）

↗

极大值

↘

因此，x＝e是函数的极大值点，极大值为f（e）＝

，没有极小值．

反思与感悟　函数极值和极值点的求解步骤

（1）确定函数的定义域．

（2）求方程f′（x）＝0的根．

（3）用方程f′（x）＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格．

（4）由f′（x）在方程f′（x）＝0的根左右的符号，来判断f（x）在这个根处取极值的情况．

特别提醒：

当实数根较多时，要充分利用表格，使极值点的确定一目了然．

跟踪训练1　求下列函数的极值点和极值．

（1）f（x）＝

x3－x2－3x＋3；

（2）f（x）＝x2e－x.

考点　函数在某点处取得极值的条件

题点　不含参数的函数求极值问题

解　

（1）f′（x）＝x2－2x－3.

令f′（x）＝0，得x1＝－1，x2＝3，

当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x

（－∞，－1）

－1

（－1,3）

3

（3，＋∞）

f′（x）

＋

0

－

0

＋

f（x）

↗

极大值

↘

极小值

↗

由上表可以看出，当x＝－1时，函数有极大值，且极大值f（－1）＝

，当x＝3时，函数有极小值，且极小值f（3）＝－6.

（2）函数f（x）的定义域为R.

f′（x）＝2xe－x－x2e－x＝x（2－x）e－x.

令f′（x）＝0，得x＝0或x＝2.

当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x

（－∞，0）

0

（0,2）

2

（2，＋∞）

f′（x）

－

0

＋

0

－

f（x）

↘

极小值

↗

极大值

↘

由上表可以看出，当x＝0时，函数有极小值，且极小值为f（0）＝0.

当x＝2时，函数有极大值，且极大值为f

（2）＝4e－2.

例2　已知函数f（x）＝（x2＋ax－2a2＋3a）ex（x∈R），当实数a≠

时，求函数f（x）的单调区间与极值．

考点　函数在某点处取得极值的条件

题点　含参数求极值问题

解　f′（x）＝[x2＋（a＋2）x－2a2＋4a]ex.

令f′（x）＝0，解得x＝－2a或x＝a－2，

由a≠

知－2a≠a－2.

分以下两种情况讨论：

①若a>

，则－2a

当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x

（－∞，－2a）

－2a

（－2a，a－2）

a－2

（a－2，＋∞）

f′（x）

＋

0

－

0

＋

f（x）

↗

极大值

↘

极小值

↗

所以f（x）在（－∞，－2a），（a－2，＋∞）上是增函数，在（－2a，a－2）上是减函数，函数f（x）在x＝－2a处取得极大值f（－2a），且f（－2a）＝3ae－2a，函数f（x）在x＝a－2处取得极小值f（a－2），且f（a－2）＝（4－3a）ea－2.

②若a<

，则－2a>a－2.

当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x

（－∞，a－2）

a－2

（a－2，－2a）

－2a

（－2a，＋∞）

f′（x）

＋

0

－

0

＋

f（x）

↗

极大值

↘

极小值

↗

所以f（x）在（－∞，a－2），（－2a，＋∞）上是增函数，在（a－2，－2a）上是减函数，函数f（x）在x＝a－2处取得极大值f（a－2），且f（a－2）＝（4－3a）ea－2，函数f（x）在x＝－2a处取得极小值f（－2a），且f（－2a）＝3ae－2a.

反思与感悟　讨论参数应从f′（x）＝0的两根x1，x2相等与否入手进行．

跟踪训练2　已知函数f（x）＝x－alnx（a∈R）．

（1）当a＝2时，求曲线y＝f（x）在点A（1，f

（1））处的切线方程；

（2）求函数f（x）的极值．

考点　函数在某点处取得极值的条件

题点　含参数求极值问题

解　函数f（x）的定义域为（0，＋∞），f′（x）＝1－

.

（1）当a＝2时，f（x）＝x－2lnx，f′（x）＝1－

（x>0），

因而f

（1）＝1，f′

（1）＝－1.

所以曲线y＝f（x）在点A（1，f

（1））处的切线方程为

y－1＝－（x－1），即x＋y－2＝0.

（2）由f′（x）＝1－

＝

，x>0，知

①当a≤0时，f′（x）>0，函数f（x）为（0，＋∞）上的增函数，函数f（x）无极值；

②当a>0时，由f′（x）＝0，解得x＝a.

又当x∈（0，a）时，f′（x）<0，

当x∈（a，＋∞）时，f′（x）>0，

从而函数f（x）在x＝a处取得极小值，且极小值为f（a）＝a－alna，无极大值．

综上，当a≤0时，函数f（x）无极值；

当a>0时，函数f（x）在x＝a处取得极小值a－alna，无极大值．

类型二　利用函数的极值求参数

例3　

（1）已知函数f（x）的导数f′（x）＝a（x＋1）（x－a），若f（x）在x＝a处取到极大值，则a的取值范围是（　　）

A．（－∞，－1）B．（0，＋∞）

C．（0,1）D．（－1,0）

（2）已知函数f（x）＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，则a＝________，b＝________.

考点　利用导数研究函数的极值

题点　已知极值点求参数

答案　

（1）D　

（2）2　9

解析　

（1）若a<－1，因为f′（x）＝a（x＋1）（x－a），

所以f（x）在（－∞，a）上单调递减，在（a，－1）上单调递增，

所以f（x）在x＝a处取得极小值，与题意不符；

若－1

若a>0，则f（x）在（－1，a）上单调递减，在（a，＋∞）上单调递增，与题意不符，故选D.

（2）因为f（x）在x＝－1时有极值0，且f′（x）＝3x2＋6ax＋b，

所以

即

解得

或

当a＝1，b＝3时，f′（x）＝3x2＋6x＋3＝3（x＋1）2≥0，

所以f（x）在R上为增函数，无极值，故舍去．

当a＝2，b＝9时，f′（x）＝3x2＋12x＋9＝3（x＋1）（x＋3）．

当x∈（－3，－1）时，f（x）为减函数，

当x∈（－1，＋∞）时，f（x）为增函数，

所以f（x）在x＝－1处取得极小值，因此a＝2，b＝9.

反思与感悟　已知函数的极值求参数时应注意两点

（1）待定系数法：

常根据极值点处导数为0和极值两个条件列出方程组，用待定系数法求解．

（2）验证：

因为导数值为0不一定此点就是极值点，故利用上述方程组解出的解必须验证．

跟踪训练3　设x＝1与x＝2是函数f（x）＝alnx＋bx2＋x的两个极值点．

（1）试确定常数a和b的值；

（2）判断x＝1，x＝2是函数f（x）的极大值点还是极小值点，并说明理由．

考点　利用导数研究函数的极值

题点　已知极值点求参数

解　

（1）∵f（x）＝alnx＋bx2＋x，

∴f′（x）＝

＋2bx＋1，

∴f′

（1）＝f′

（2）＝0，∴a＋2b＋1＝0且

＋4b＋1＝0，

解得a＝－

，b＝－

.

（2）由

（1）可知f（x）＝－

lnx－

x2＋x，

且定义域是（0，＋∞），

f′（x）＝－

x－1－

x＋1＝－

.

当x∈（0,1）时，f′（x）<0；当x∈（1,2）时，f′（x）>0；

当x∈（2，＋∞）时，f′（x）<0.

故x＝1是函数f（x）的极小值点，x＝2是函数f（x）的极大值点.

1.函数f（x）的定义域为R，它的导函数y＝f′（x）的部分图象如图所示，则下面结论错误的是（　　）

A．在（1,2）上函数f（x）为增函数

B．在（3,4）上函数f（x）为减函数

C．在（1,3）上函数f（x）有极大值

D．x＝3是函数f（x）在区间[1,5]上的极小值点

考点　函数极值的综合应用

题点　函数极值在函数图象上的应用

答案　D

解析　根据导函数图象知，x∈（1,2）时，f′（x）>0，x∈（2,4）时，f′（x）<0，x∈（4,5）时，f′（x）>0.∴f（x）在（1,2），（4,5）上为增函数，在（2,4）上为减函数，x＝2是f（x）在[1,5]上的极大值点，x＝4是极小值点．故选D.

2．设函数f（x）＝

＋lnx，则（　　）

A．x＝

为f（x）的极大值点

B．x＝

为f（x）的极小值点

C．x＝2为f（x）的极大值点

D．x＝2为f（x）的极小值点

考点　函数在某点处取得极值的条件

题点　不含参数的函数求极值问题

答案　D

解析　函数f（x）＝

＋lnx的定义域为（0，＋∞）．

f′（x）＝

－

，

令f′（x）＝0，即

－

＝0得，x＝2，

当x∈（0,2）时，f′（x）<0，当x∈（2，＋∞）时，f′（x）>0.

因为x＝2为f（x）的极小值点，故选D.

3．函数f（x）＝ax－1－lnx（a≤0）在定义域内的极值点的个数为________．

考点　函数在某点处取得极值的条件

题点　判断极值点的个数

答案　0

解析　因为x>0，f′（x）＝a－

＝

，

所以当a≤0时，f′（x）<0在（0，＋∞）上恒成立，

所以函数f（x）在（0，＋∞）上单调递减，

所以f（x）在（0，＋∞）上没有极值点．

4．已知曲线f（x）＝x3＋ax2＋bx＋1在点（1，f

（1））处的切线斜率为3，且x＝

是y＝f（x）的极值点，则a＋b＝________.

考点　利用导数研究函数的极值

题点　已知极值（点）求参数

答案　－2

解析　f′（x）＝3x2＋2ax＋b，

由题意知

即

解得

则a＋b＝－2.

5．已知函数f（x）＝ax2＋blnx在x＝1处有极值

.

（1）求a，b的值；

（2）判断f（x）的单调区间，并求极值．

考点　利用导数研究函数的极值

题点　已知极值（点）求参数

解　

（1）f′（x）＝2ax＋

，

由题意得

　即

∴a＝

，b＝－1.

（2）由

（1）得，

f′（x）＝x－

＝

＝

.

又f（x）的定义域为（0，＋∞），

令f′（x）＝0，解得x＝1.

当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x

（0,1）

1

（1，＋∞）

f′（x）

－

0

＋

f（x）

↘

极小值

↗

∴f（x）的单调递减区间为（0,1），单调递增区间为（1，＋∞）．

f（x）极小值＝f

（1）＝

.

1．求函数极值的步骤

（1）确定函数的定义域；

（2）求导数f′（x）；

（3）解方程f′（x）＝0得方程的根；

（4）利用方程f′（x）＝0的根将定义域分成若干个小开区间，列表，判定导函数在各个小开区间的符号；

（5）确定函数的极值，如果f′（x）的符号在x0处由正（负）变负（正），则f（x）在x0处取得极大（小）值．

2．已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，注意两点

（1）根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；

（2）因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证充分性．

一、选择题

1．下列函数中存在极值的是（　　）

A．y＝

B．y＝x－ex

C．y＝2D．y＝x3

考点　利用导数研究函数的极值

题点　极值存在性问题

答案　B

解析　对于y＝x－ex，y′＝1－ex，令y′＝0，得x＝0.

在区间（－∞，0）上，y′>0；

在区间（0，＋∞）上，y′<0.

故x＝0为函数y＝x－ex的极大值点．

2．函数f（x）＝lnx－x在区间（0，e）上的极大值为（　　）

A．－eB．1－e

C．－1D．0

考点　函数在某点处取得极值的条件

题点　不含参数的函数求极值问题

答案　C

解析　f（x）的定义域为（0，＋∞），

f′（x）＝

－1.

令f′（x）＝0，得x＝1.

当x∈（0,1）时，f′（x）>0，当x∈（1，e）时，f′（x）<0，

故f（x）在x＝1处取得极大值f

（1）＝ln1－1＝0－1＝－1.

3．已知函数f（x）＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是（　　）

A．（2,3）B．（3，＋∞）

C．（2，＋∞）D．（－∞，3）

考点　利用导数研究函数的极值

题点　已知极值（点）求参数

答案　B

解析　因为f′（x）＝6x2＋2ax＋36，且在x＝2处有极值，

所以f′

（2）＝0，即24＋4a＋36＝0，解得a＝－15，

所以f′（x）＝6x2－30x＋36

＝6（x－2）（x－3），

由f′（x）>0，得x<2或x>3.

4．设三次函数f（x）的导函数为f′（x），函数y＝xf′（x）的图象的一部分如图所示，则（　　）

A．f（x）极大值为f（

），极小值为f（－

）

B．f（x）极大值为f（－

），极小值为f（

）

C．f（x）极大值为f（－3），极小值为f（3）

D．f（x）极大值为f（3），极小值为f（－3）

考点　函数极值的综合应用

题点　函数极值在函数图象上的应用

答案　D

解析　当x<－3时，y＝xf′（x）>0，即f′（x）<0；

当－33时，f′（x）<0.

∴f（x）的极大值是f（3），f（x）的极小值是f（－3）．

5．已知函数f（x）＝x3－px2－qx的图象与x轴切于点（1,0），则f（x）的（　　）

A．极大值为

，极小值为0

B．极大值为0，极小值为

C．极小值为－

，极大值为0

D．极大值为－

，极小值为0

考点　函数某点处取得极值的条件

题点　不含参数的函数求极值问题

答案　A

解析　f′（x）＝3x2－2px－q.

由函数f（x）的图象与x轴切于点（1,0），得p＋q＝1，

∴q＝1－p，①

3－2p－q＝0，②

联立①②，解得p＝2，q＝－1，

∴函数f（x）＝x3－2x2＋x，

则f′（x）＝3x2－4x＋1，令f′（x）＝0得x＝1或x＝

.

当x≤

时，f′（x）≥0，f（x）单调递增，

当

当x≥1时，f′（x）≥0，f（x）单调递增，

∴f（x）极大值＝f 

＝

，

f（x）极小值＝f

（1）＝0.故选A.

6．设a

考点　函数极值的综合应用

题点　函数极值在函数图象上的应用

答案　C

解析　y′＝（x－a）（3x－a－2b），由y′＝0得x1＝a，x2＝

.

当x＝a时，y取得极大值0，

当x＝

时，y取得极小值且极小值为负，故选C.

7．已知函数f（x）＝ex（sinx－cosx），x∈（0,2017π），则函数f（x）的极大值之和为（　　）

A.

B.

C.

D.

考点　函数某点处取得极值的条件

题点　不含参数的函数求极值问题

答案　B

解析　f′（x）＝2exsinx，令f′（x）＝0得sinx＝0，

∴x＝kπ，k∈Z，

当2kπ0，f（x）单调递增，

当（2k－1）π

∴当x＝（2k＋1）π时，f（x）取到极大值，

∵x∈（0,2017π），∴0<（2k＋1）π<2017π，

∴0≤k<1008，k∈Z.

∴f（x）的极大值之和为

S＝f（π）＋f（3π）＋f（5π）＋…＋f（2015π）

＝eπ＋e3π＋e5π＋…＋e2015π

＝

＝

，故选B.

二、填空题

8．函数y＝xex在其极值点处的切线方程为________．

考点　函数某点处取得极值的条件

题点　不含参数的函数求极值问题

答案　y＝－

解析　令y′＝ex＋xex＝（1＋x）ex＝0，

得x＝－1，∴y＝－

，

∴在极值点处的切线方程为y＝－

.

9．若函数f（x）＝（x－2）（x2＋c）在x＝2处有极值，则函数f（x）的图象在x＝1处的切线的斜率为________．

考点　利用导数研究函数的极值

题点　已知极值（点）求参数

答案　－5

解析　∵函数f（x）＝（x－2）（x2＋c）在x＝2处有极值，

∴f′（x）＝（x2＋c）＋（x－2）×2x，

令f′

（2）＝0，∴（c＋4）＋（2－2）×2×2＝0，∴c＝－4，

∴f′（x）＝（x2－4）＋（x－2）×2x.

∴函数f（x）的图象在x＝1处的切线的斜率为

f′

（1）＝（1－4）＋（1－2）×2＝－5.

10．若x＝－2是函数f（x）＝（x2＋ax－1）ex－1的极值点，则f（x）的极小值为________．

考点　利用导数研究函数的极值

题点　已知极值（点）求参数

答案　－1

解析　函数f（x）＝（x2＋ax－1）ex－1，

则f′（x）＝（2x＋a）ex－1＋（x2＋ax－1）·ex－1

＝ex－1·[x2＋（a＋2）x＋a－1]．

由x＝－2是函数f（x）的极值点，得

f′（－2）＝e－3·（4－2a－4＋a－1）＝（－a－1）e－3＝0，

所以a＝－1.

所以f（x）＝（x2－x－1）ex－1，

f′（x）＝ex－1·（x2＋x－2）．

由ex－1>0恒成立，得当x＝－2或x＝1时，f′（x）＝0，且x<－2时，f′（x）>0；当－2

当x>1时，f′（x）>0.

所以x＝1是函数f（x）的极小值点．

所以函数f（x）的极小值为f

（1）＝－1.

11．已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，则f（－1）＝________.

考点　利用导数研究函数的极值

题点　已知极值（点）求参数

答案　30

解析　由题意知

即

解得

或

经检验知，当

时，f′（x）≥0，不合题意．

∴f（x）＝x3＋4x2－11x＋16，则f（－1）＝30.

三、解答题

12．设函数f（x）＝alnx＋

＋

x＋1，其中a∈R，曲线y＝f（x）在点（1，f

（1））处的切线垂直于y轴．

（1）求a的值；

（2）求函数f（x）的极值．

考点　函数在某点处取得极值的条件

题点　不含参数函数求极值

解　

（1）f′（x）＝

－

＋

.

由题意知，曲线在x＝1处的切线斜率为0，即f′

（1）＝0，

从而a－

＋

＝0，解得a＝－1.

（2）由

（1）知f（x）＝－lnx＋

＋

x＋1（x>0），

f′（x）＝－

－

＋

＝

＝

.

令f′（x）＝0，解得x1＝1，x2＝－

（舍去）．

当x∈（0,1）时，f′（x）<0，故f（x）在（0,1）上为单调递减函数；当x∈（1，＋∞）时，f′（x）>0，故f（x）在（1，＋∞）上为单调递增函数．

故f（x）在x＝1处取得极小值，极小值为f

（1）＝3.

13．已知函数f（x）＝x3＋

mx2－2m2x－4（m为常数，且m>0）有极大值－

，求m的值．

考点　利用导数研究函数的极值

题点　已知极值（点）求参数

解　∵f′（x）＝3x2＋mx－2m2＝（x＋m）（3x－2m），

令f′（x）＝0，得x＝－m或x＝

m.

当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x

（－∞，－m）

－m

m

f′（x）

＋

0

－

0

＋

f（x）

↗

极大值

↘

极小值

↗

∴f（x）有极大值f（－m）＝－m3＋

m3＋2m3－4

＝－

，

∴m＝1.

四、探究与拓展

14．设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数f（x）在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′（x）的图象可能是（　　）

考点　函数极值的综合应用

题点　函数极值在函数图象上的应用

答案　C

解析　由题意可得f′（－2）＝0，而且当x∈（－∞，－2）时，f′（x）<0，此时xf′（x）>0；排除B，D，

当x∈（－2，＋∞）时，f′（x）>0，此时若x∈（－2,0），xf′