四 杂题.docx

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四杂题

四杂题

1．100。

2．42。

3．0。

4．25。

5．6。

提示：

＜1，3，5，x＞＝2×1×3-5＋x＝1＋x。

6．86415。

7．4。

8．5。

　　解：

（a△2）△3=［（a－2）×2］△3＝（2a－4）△3

　　＝（2a-4-2）×3＝6a-18，

　　由6a-18=12，解得a=5。

9．6。

解：

x。

5－5。

x＝（3x-2×5）-（3×5-2x）＝5x-25，由5x-25＝5，解得x＝6。

10．3。

解：

a*b的含意为，从a开始的b个连续自然数相乘。

由3660＝60×61知，x*3=60。

三个连续自然数的乘积等于60。

只有3×4×5，得到x＝3。

11．

（1）9；

（2）66；（3）C·D·A·B。

　　提示：

（2）{［（100＋4）－5］÷3}×2=66。

12．225776。

13．8654473。

14．247。

15．34米。

16．4514。

提示：

2×37×61=4514。

18．126。

19．3，3，3，3，4；或3，3，3，3，2，2。

20．16个3，1个2。

21．拆成2，3，4，6，7，8。

　　提示：

1不应出现在拆成的数中。

把从2开始的若干个连续自然数相加。

如果2＋3＋4＋…＋（n-1）＜a，而2＋3＋4＋…＋（n-1）＋n≥a，则2＋3＋4＋…＋n与a的差只可能为0，1，2，…，n-1。

（1）当差为0时，将a拆成a＝2＋3＋4＋…＋（n-1）＋n；

（2）当差为1时，将a拆成a=3＋4＋5＋…＋（n-1）＋（n＋1）；

　　（3）当差为2，3，…，n－1中的数时，就将该数从2，3，…，n－1，n中删除，其余数即为所拆之数。

　　本题中2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝35，比30大5，故将5去掉，30被拆成2＋3＋4＋6＋7＋8。

22．97。

提示：

546=1×2×3×91。

23．54。

　　提示：

因为是三个连续偶数，所以个位数字的和只能是14。

24．783768。

提示：

904×867。

25．

（1）751×93-468×20＝60483；

（2）640×82-379×15=46795。

26．10112358。

　　提示：

一个自然数的位数越多数越大，按题目要求前面两位数越小得到的位数越多，因而数也越大。

所以取前两位数为10，得到10112358。

27．2。

　　提示：

上、下两行的第（n＋1）项分别为（1＋4n）和（1000－3n）。

　　若上行大于下行，则其差为（1+4n）－（1000-3n）=7n-999，当n＝143时，其差最小，为2。

　　若下行大于上行，则其差为（1000－3n）－（1＋4n）=999－7n，当n＝142时，其差最小，为5。

28．111。

提示：

要求各位数字之积尽量小，最小的是1×1×1=1，此时M＝111÷1=111。

29．100。

30．57；12。

　　解：

四个个位数之和等于10或20。

　　如果等于10，只有1+2＋3＋4=10，那么三个十位数是5，6，7，四个数之和为190，不合题意。

　　如果等于20，那么有2＋5＋6＋7＝20和3＋4＋6＋7=20。

若个位数为2，5，6，7，则十位数为1，3，4，最小的两位数是12，最大的数是47；若个位数为3，4，6，7，则十位数为1，2，5，最小的两位数是13，最大的数是57。

　　所求的最大数是57，最小的两位数是12。

　　提示：

在前100个自然数中，共有20个9，再保留后面的“10”，即得到最大数。

最小数的第一位是“1”，再保留10～90中的9个“0”，再在91～100中留下12个尽量小的数。

32．9999978596061…99100；10000012340616263…99100。

　　解：

要得到最大的数，左边应尽量多地保留9。

因为1～59中有109个数码，其中有6个9，要想左边保留6个9，必须划掉1～59中的109-6＝103（个）数码，剩下的数码只有192－103=89（个），不合题意，所以左边只能保留5个9，即保留1～49中的5个9，划掉1～49中其余的84个数码。

然后，在后面再划掉16个数码，尽量保留大数（见下图）：

　　所求最大数是9999978596061…99100。

　　同理，要得到最小的数，左边第一个数是1，之后应尽量保留0。

2～50中有90个数码，其中有5个0，划掉其余90-5=85（个）数码，然后在后面再划掉15个数码，尽量保留小数（见下图）：

　　所求最小数是100000123406162…99100。

33．168。

34．500。

提示：

每组的平均数都等于1～999的平均数。

35．28。

解：

999÷37＝27，给1～37每个数增加27，得到28～64这37个连续自然数。

36．15。

37．39。

解：

28×3＋33×5-30×7=39。

38．132。

提示：

N可能取值18和22。

39．5，88，327。

提示：

140×3-（8＋27）=385。

40．4，66，128。

　　提示：

最后一个数显然是128。

因为6×2=12，故前、后两数和的个位应是2，推知第一个数是4，中间的数是（4＋128）÷2=66。

41．3个。

　　解：

设第二组有x个数，则63＋11x=8×（9+x），解得x=3。

42．1分。

　　解：

第三、四次的成绩和比前两次的成绩和多4分，比后两次的成绩和少4分，推知后两次的成绩和比前两次的成绩和多8分。

因为后三次的成绩和比前三次的成绩和多9分，所以第四次比第三次多9－8=1（分）。

43．4次。

解：

（68-48）÷（60-56）-1＝4（次）。

44．77分。

　　解：

小明语文、地理、历史、物理四科的平均分为

　　（78＋82＋80＋60）÷4＝75（分），

　　数学比六科平均分多12分，补给外语4分后还多8分，这8分补给另外四科，平均每科补2分。

所以六科平均分为75+2＝77（分）。

45．甲杯比乙杯多5毫升水。

　　提示：

因为乙杯等于三杯的平均数，甲杯等于加15毫升水后三杯的平均数，所以甲杯比乙杯多15÷3＝5（毫升）。

46．45名。

解：

（98-89）÷（917-91.5）=45（名）。

47．95分。

　　解：

前两名最多得99＋98=197（分），三、四、五名的平均成绩为

　　（92.5×6－99-98-76）÷3＝94（分），

　　所以第三名至少得95分。

48．3.15次。

解：

每20天去9次，9÷20×7=3.15（次）。

49．

（1）10；

（2）19。

　　提示：

设共有n个数，其中最小的为a，最大的为b，其余（n－2）个数的和为c，则a＋b＋c＝10n，a＋c＝9（n-1），b＋c＝11（n-1），可得a=11-n，b＝9＋n，由于a，b，n都是自然数，所以n≤10，b≤19。

50．4。

提示：

由于最大数与最小数之和为12，故最大数不会超过11，去掉最大和最小数后剩下的6个互不相同的数在2至10之间，且总和为44，这六个数只能是4，6，7，8，9，10。

51．11∶7。

提示：

以甲数为7份，则乙、丙两数共13×2＝26（份）。

52．64台，77台。

解：

星期三、四已知的是67台，未知的是

　　73×5－（81＋74＋67＋69）=74（台），

　　所以星期三生产64台，星期四生产77台。

53．94个。

　　解：

当把糊了88个纸盒的同学计算在内时，因为他比其余同学的平均数多88-74＝14（个），而使大家的平均数增加了76－74=2（个），说明总人数是14÷2＝7（人）。

因此糊得最快的同学最多糊了

　　74×6-70×5＝94（个）。

55．3。

提示：

所有的一位、二位、三位、四位数字的个数及所包含的数码个数见下表：

　　从表中看出序号为1000的数码属于某个三位数，然后求出是这个三位数370的第一个数码3。

56．2187页。

提示：

由第55题提示知这本书的页数是四位数，1～999共用2889个数码，（7641－2889）÷4=1188，因四位数是从1000开始的，所以页数为999＋1188＝2187（页）。

57．492个。

提示：

与第55题类似。

58．91次。

提示：

将1～500分为五组：

　　1～100，101～200，201～300，301～400，401～500，在1～100中共出现11次0，其余各组每组比1～100多出现9次0，即每组出现20次0。

59．169页。

　　提示：

甲册书的页码用数码（777＋3×7）÷2=399（个）。

60．1075。

提示：

与第56题类似。

61．9。

解：

1～3的平方是一位数，占3个位置；4～9的平方是两位数，占12个位置；10～31的平方是三位数，占66个位置；32～99的平方是四位数，占272个位置。

　　1～31共占了3＋12＋66=81（个）位置。

因为（100-81）÷4＝4……3，所以第100个位置是（31＋4＋1）2=1296的左起第三个数，是9。

62．301个。

提示：

把1到1000这1000个自然数分成一位数、二位数、三位数和四位数四个部分进行分析，一位数和四位数各有一个1，两位数有19个1，三位数有280个1。

63．979899100。

　　解：

按照自然数从小到大的顺序，每四个数构成一数。

九位数只能由三个两位数和一个三位数构成，所以这个九位数是979899100。

　　注：

还需验证九位数的存在，因为100能被4整除，所以这个九位数存在，而十位、十一位数都不存在。

64．4。

提示：

每四个数码循环一次。

65．6；601。

提示：

从第二个数码开始，每六个数码循环一次。

66．3；495。

提示：

与第65题类似。

67．不能。

提示：

这串数按四奇一偶循环。

68．29。

解：

设第一个数是a，第二个数是b，则第三、四、五个数依次为a＋b，a＋2b，2a＋3b。

由2a＋3b=7，推知a=2，b＝1。

这串数为2，1，3，4，7，11，18，29。

69．6种。

　　提示：

1≤n≤20时，前n个自然数之和的个位数字依次是

　　1，3，6，0，5，1，8，6，5，5，6，8，1，5，0，6，3，1，0，0。

　　当n=21，22，23，…时，前n个自然数之和的个位数字与n=1，2，3，…时相同。

70．4个，5个，3个，2个，6个。

解：

前n位小朋友放过后，A，B，C，D，E五个盒子中的球数如下表：

　　由上表看出，第8次后与第3次后的情况相同，即从第3次后开始，每5次情况循环出现。

（1000－2）÷5＝199……3，第1000次后的情况与第（2＋3=）5次后的情况相同，A，B，C，D，E盒中依次放有4，5，3，2，6个球。

71．3个，4个，6个，5个。

提示：

与第70题类似。

72．27次。

提示：

每报12个数有3个数相同。

73．665。

解：

当两人各报了35个数时，小明报了7轮，数字之和为105，小红报了5轮，数字之和为140，相差140－105＝35。

以后两人每各报35个数，情况重复出现一次。

666÷35＝19…1，当两人各报了665个数时，小红报的数字之和比小明多665。

因为最后一个数两人都报“1”，所以所求数为665。

74．102天。

解：

因为，［8，6，4］=24，所以三人去图书馆的情况每24天循环一次（见下表，只写出偶数天）：

　　每24天有8天有人去图书馆。

3月1日至12月31日有306天，

　　306÷24＝12…18，

　　所求天数为8×12＋6=102（天）。

75．108。

　　解：

最小的合数是4，如果能找到四个连续自然数均被保留，那么凡是比这四个自然数大的自然数，都可以表示为这四个自然数之一与4的倍数之和。

也就是说，凡是比这四个自然数大的自然数都将被保留。

　　观察保留下来的数，从小到大依次是8，10，12，13，14，15，…由前面的分析知，比12大的自然数都将被保留，所以第99个被保留的数是

　　99-3＋12=108。

76．666。

77．0；第506个。

78．用an表了第n个数，则an＋2=4an＋1-an。

这列数为：

　　0，1，4，15，56，209，780，2911，…

　　除以3的余数列为：

0，1，1，0，2，2，0，1，1，0，2，2，…

　　除以5的余数列为：

0，1，4，0，1，4，0，1，4，0，1，4，…

　　两个余数列的周期分别是6和3，从搭配关系看，能被3整除的数必能被5整除。

79．1比2多。

提示：

一个数经过题中的方法处理后所得到的一位数等于这个数除以9的余数，但当这个数能被9整除时应等于9。

80．100个。

81．36。

提示：

被72整除必定能被4，8，9整除，因为要被4整除，末两位数依次只能是56（5和6连写），12，16，20，24，28，32，36，…然后用被8和9整除的条件逐一排除。

例如由516（15和16连写的后三位数，下同），324，132不能被8整除，排除了16，24和32，再由1～6，1～12，1～20，1～28，各组数的所有数码之和不能被9整除，排除掉6，12，20，28。

最后只有36符合题意。

82．180001。

提示：

把这10000个数前面加一个0，再把这10001个数的前10000个数两两分组：

9999与0，9998与1，9997与2……共分成5000组，各组数码之和均为36，最后一个数10000的数码和为1。

83．提示：

所有的n位数的数码个数与所有的（n+1）位数中所含0的个数相等，都是9n×10n-1个。

如三位数共有9×3×103-1=2700（个）数码，而在所有9000个四位数中，个位、十位、百位数中含有0的数各有900个，故共含有3×900=2700（个）0，与三位数的数码个数相同。

因为一位数中不含0，而所有一位数的数码个数与所有两位数中所含0的个数相同，所有两位数的数码个数与所有三位数中所含0的个数相同……所有四位数的数码个数与所有五位数中所含0的个数相同，10000有5个数码，与100000中的0的个数相同，所以前1万个自然数中的数码个数与前10万个自然数中所含0的个数相同。

84．不能。

提示：

黑板上的数为（5a+7b）型，其中a，b为自然数。

（5a+7b）得不到23。

85．6次。

86．71。

提示：

所剩之数等于原来的七个数之和减6。

87．2次。

88．1，1，2。

提示：

采用逆推法。

在32，45，76中，最大的数76是最后被写上的数（76=32+45-1），设最后被擦去的数是a，则由a+32-1=45得a=14，将14代替76就使三个数回到32，45，14。

这样不断地将最大数退回到原来的数，即可求解。

89．1，1，3。

提示：

与第88题类似。

90．1。

提示：

经过变换后，两数的最大公约数不变。

最后得到的两个相同的数，就是原来两数的最大公约数。

91．不可能。

提示：

对300作变换，产生的数永远是3的倍数。

92．50。

　　提示：

每次操作都不改变袋中所有数之和除以100的余数。

93．7111。

　　提示：

前几次操作后得到的数串依次为

　　71113113，371113，7111，1711，1171，1117，7111，…

　　从第三次开始，每四次数字重复一次。

94．729。

解：

从第2次开始，每次标完数后圆周上所有标出的数的总和是上一次圆周上所标出数的总和的3倍，所以第6次标完数后的总和是（1+2）×35=729。

95．不可能。

提示：

每次加上的数之和是1+2+3+4=10，黑板上的四个数之和永远是10的倍数。

96．不能。

要使第一列的两个数1，4都变成5的倍数，第一行应比第二行多变（3+5n）次；要使第二列的两个数2，3都变成5的倍数，第一行应比第二行多变（1+5m）次。

上述两个结论矛盾，无法同时实现。

97．9。

98．6个，6个，6个，6个，6个。

99．4个。

100．4次。

　　提示：

将各次操作表示如下：

　　（1，1，1，1，1，1）→（0，3，1，1，1，0）→（2，2，1，1，0，0）→（4，1，1，0，0，0）→（6，0，0，0，0，0）

101．4次；40次。

解：

当排列顺序为1，2，3，4，5，10，6，7，8，9时，交换次数最少，需交换4次；当排列顺序为9，8，7，6，5，10，4，3，2，1时，交换次数最多，需交换40次。

102．不能。

　　提示：

设一个方格的边长为1。

开始时4个黑格的总周长不超过4×4=16，以后每染一个格，因为这个格至少与两个黑格有公共边，所以所有黑格的总周长不会增加。

也就是说，所有黑格的总周长永远不会超过16。

因为4×5方格盘的周长是18，所以不能将整个方格盘染黑。

103．6种。

　　提示：

1，2，3，5；1，2，3，7；1，2，4，7；2，3，5，7；2，3，5，8；3，4，5，7。

104．12。

提示：

n2-1=（n-1）（n+1），（n-1）与（n+1）中必有一个是11，另一个是质数。

105．2464。

提示：

从第4个数起，后四位数都是2222。

106．245。

　　提示：

设第二个数为x，则第八个数为（x+6）。

可得方程

　　9x=7（x+6）。

107．26。

108．13，14；10，11，12。

　　解：

用估值法。

先求两个连续自然数。

因为365÷2=182.5，所以两个连续自然数中，一个的平方小于182.5，另一个的平方大于182.5。

由132=169，142=196得到，这两个连续自然数是13和14。

所以这三个连续自然数应是10，11，12。

经验证，符合题意。

109．102564。

111．19。

　　解：

　　a2=（a×b）×（a×c）÷（b×c）=24×36÷54=16，推知a=4，从而b=24÷a=6，c=36÷a=9。

a+b+c=4+6+9=19。

112．12，21；21，30；48，57；57，66；66，75。

　　提示：

两个两位数相差9，它们的和必是奇数，只可能是33，51，105，123，141。

由和差问题可解。

113．第556个。

提示：

出现五个连续的2是在222与223之间，1～221共有555个数码。

115．不能。

例如，在5，10，16，5，10，16，5，10，16，5十个数中，任何相邻的三个数之和都是5+10+16=31＞30，而10个数的和为98。

116．12。

　　解：

设第二个数是x，则这八个数可写为

　　3，x，3+x，3+2x，6+3x，9+5x，15+8x，24+13x。

　　由24+13x=180，解得x=12。

117．9个。

　　提示：

2341，2431，2143，3142，3412，3421，4123，4312，4321。

118．423。

　　提示：

百位数为6，5，4，3，2，1的三位数各20个，故第55个数的百位数为4；在百位数为4的数中，十位数为6，5，3，2，1的各有4个，故第55个数的十位数为2；同理可求出个位数为3。

所以第55个数为423。

119．

（1）不能。

因为框出的九个数之和应是9的倍数（等于中心数的9倍），而1999不是9的倍数；

（2）能，663；（3）不能。

因为6048÷9=672，而672能被7整除，它在最右边一列，不可能成为中心数。

120．225。

提示：

最左边一列的0，2，4，6，8，在每一列都被加了一遍，共被加了6遍；最上边一行的0，1，3，5，7，9，在每一行都被加了一遍，共被加了5遍。

所求和为（2+4+6+8）×6+（1+3+5+7+9）×5=225。

121．44个。

　　提示：

符合条件的一、二、三、四位数依次有1，7，18，18个。

122．

（1）31块；

（2）2047块。

　　提示：

进行n次后，左边有（2n-1）块纸，总共有（2n+1-1）块纸。

123．2401。

提示：

因为54=625，104=10000，所以这个四位数的四个数码之和只有6，7，8，9四种可能，经验证只有74=2401符合题意。

　　注：

用同样的方法，可求出具有类似性质的两位数和三位数：

　　92=81，83=512。

没有具有类似性质的五位数。

124．988。

　　解：

一个数与它的反序数有同样的位数，所以这个数是三位数。

因为积的个位数是7，而只有1×7和3×9的个位数是7，所以这个数可能为：

①1□7或7□1；②3□9或9□3。

　　对于②，3□9×9□3＞300×900＞270000＞155827，不符合题意。

　　对于①，可以试算出197×791=155827，所求和为

　　197+791=988。

125．2，3，4，6。

解：

因为n≥4时，（n+1）不能被（n-1）整除，所以这四个数不会有1。

试验2，3，4，5，（5+2）不能被（5-2）整除，不合题意；再试验2，3，4，6，符合题意。

所以这四个自然数是2，3，4，6。

126．1，7，13，19。

　　解：

如果自然数a，b，c，d符合题意，那么a-1，b-1，c-1，d-1也符合题意，因此这四个自然数中最小的是1。

再由任意两数之和是2的倍数，推知另外三个自然数都是奇数；由任意三个数之和是3的倍数，推知另外三个自然数都比1大3的倍数。

所以另外三个自然数都比1大6的倍数，得到满足条件的最小四个自然数是1，7，13，19。

127．249。

提示：

连续10个自然数可以数4个数。

128．1，5，9。

　　解：

每人的三张的数字和都是（1+2+…+9）÷3=15，甲的另外两张的数字和是7。

7=1+6=2+5=3+4，因为6在乙手中，所以甲的另两张只有2，5和3，4两种可能。

如果是2，5，那么乙的三张之和无法得到15，所以甲的另两张是3，4。

由此推知，乙为6，2，7，丙为1，5，9。

129．2和6。

提示：

剩下的两张是1和3。

130．3999999。

　　提示：

（2000-1）（2000+1）=4000000-1=3999999。

131．不可能。

这10个数之和等于（1+2+…+10）×2=110。

如果这10个数的个位数字互不相同，即刚好是0～9，则其和的个位数是5，矛盾。

132．14个。

　　解：

要使三位数字倒过来不变，中间的数只能是0，1，8三种，而两头的数可以是倒过来不变的0，1，8，也可以是互换的6，9，故有五种选择。

又因为没有000号，所以工号不变的号码牌共有3×5-1=14（个）。

133．555321。

　23，32，34，43，45，54八种可能。

又因为三个连续自然数之和必是

　解。

134．9699690。

　　1001×10=2×5×7×11×13，

　　推知电话号码是从2开始的若干个连续质数的乘积。

经试算，得到

　　2×3×5×7×11×13×17×19=9699690。

135．333777。

　　3a+4b=10a+b，

　　化简得3b=7a，推知a=3，b=7。

136．22，36，44，63，66，88。

137．29个。

　　提示：

有下列两种选法：

　　①1，3，8，10，15，…，92，94，99；

　　②1，6，8，13，15，…，92，97，99。

　　每种选法中，相邻两数之差为2或5，并交替出现。

138．180个。

　　解：

从个位是0开始的连续10个三位数，因为前两位数相同，个位数从0到9，所以各个数位上的数字之和必然是10个连续自然数，而10个连续自然数中恰有2个是5的倍数。

900个三位数可以分成90组这样的连续10个