第4讲 正弦型函数yAsinωx+φ的图象及应用.docx

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第4讲正弦型函数yAsinωx+φ的图象及应用

第4讲　正弦型函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及应用

【2013年高考会这样考】

1．考查正弦型函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象变换．

2．结合三角恒等变换考查y＝Asin（ωx＋φ）的性质及简单应用．

3．考查y＝sinx到y＝Asin（ωx＋φ）的图象的两种变换途径．

【复习指导】

本讲复习时，重点掌握正弦型函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象的“五点”作图法，图象的三种变换方法，以及利用三角函数的性质解决有关问题．　　

基础梳理

1．用五点法画y＝Asin（ωx＋φ）一个周期内的简图时，要找五个特征点

如下表所示

x

ωx＋φ

0

π

2π

y＝Asin（ωx＋φ）

0

A

0

－A

0

2．函数y＝sinx的图象变换得到y＝Asin（ωx＋φ）的图象的步骤

3．当函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，x∈[0，＋∞））表示一个振动时，A叫做振幅，T＝叫做周期，f＝叫做频率，ωx＋φ叫做相位，φ叫做初相．

4．图象的对称性

函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的图象是轴对称也是中心对称图形，具体如下：

（1）函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象关于直线x＝xk（其中ωxk＋φ＝kπ＋，k∈Z）成轴对称图形．

（2）函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象关于点（xk,0）（其中ωxk＋φ＝kπ，k∈Z）成中心对称图形．

一种方法

在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M，最小值为m，则A＝，k＝，ω由周期T确定，即由＝T求出，φ由特殊点确定．

一个区别

由y＝sinx的图象变换到y＝Asin（ωx＋φ）的图象，两种变换的区别：

先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．

两个注意

作正弦型函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象时应注意：

（1）首先要确定函数的定义域；

（2）对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个函数的图象．

双基自测

1．（人教A版教材习题改编）y＝2sin的振幅、频率和初相分别为（　　）．

A．2，，－B．2，，－

C．2，，－D．2，，－

答案　A

2.已知简谐运动f（x）＝Asin（ωx＋φ）的部分图象如图所示，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为（　　）．

A．T＝6π，φ＝B．T＝6π，φ＝

C．T＝6，φ＝D．T＝6，φ＝

解析　由题图象知T＝2（4－1）＝6⇒ω＝，由图象过点（1,2）且A＝2，可得sin＝1，又|φ|＜，得φ＝.

答案　C

3．函数y＝cosx（x∈R）的图象向左平移个单位后，得到函数y＝g（x）的图象，则g（x）的解析式应为（　　）．

A．－sinxB．sinxC．－cosxD．cosx

解析　由图象的平移得g（x）＝cos＝－sinx.

答案　A

4．设ω＞0，函数y＝sin＋2的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（　　）．

A.B.C.D．3

解析　y＝sin＋2向右平移个单位后得到y1＝sin＋2＝sin＋2，又y与y1的图象重合，则－ω＝2kπ（k∈Z）．

∴ω＝－k.又ω＞0，k∈Z，

∴当k＝－1时，ω取最小值为，故选C.

答案　C

5．（2011·重庆六校联考）已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0）的图象如图所示，则ω＝________.

解析　由题意设函数周期为T，则＝π－＝，故T＝π.∴ω＝＝.

答案　

考向一　作函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象

【例1】►设函数f（x）＝cos（ωx＋φ）的最小正周期为π，且f＝.

（1）求ω和φ的值；

（2）在给定坐标系中作出函数f（x）在[0，π]上的图象．

[审题视点]

（1）由已知条件可求ω，φ；

（2）采用“五点法”作图，应注意定义域[0，π]．

解　

（1）周期T＝＝π，∴ω＝2，

∵f＝cos＝cos＝－sinφ＝，

∵－＜φ＜0，∴φ＝－.

（2）由

（1）知f（x）＝cos，列表如下：

2x－

－

0

π

π

π

x

0

π

π

π

π

f（x）

1

0

－1

0

图象如图：

（1）“五点法”作图的关键是正确确定五个点，而后列表、描点、连线即可．

（2）变换法作图象的关键看x轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用ωx＋φ＝ω来确定平移单位．

【训练1】已知函数f（x）＝3sin，x∈R.

（1）画出函数f（x）在长度为一个周期的闭区间上的简图；

（2）将函数y＝sinx的图象作怎样的变换可得到f（x）的图象？

解　

（1）列表取值：

x

π

π

π

π

x－

0

π

π

2π

f（x）

0

3

0

－3

0

描出五个关键点并用光滑曲线连接，得到一个周期的简图．

（2）先把y＝sinx的图象向右平移个单位，然后把所有的点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f（x）的图象．

考向二　求函数y＝Asin（ωx＋φ）的解析式

【例2】►（2011·江苏）函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（0）的值是________．

[审题视点]由最高、最低点确定A，由周期确定ω，然后由图象过的特殊点确定φ.

解析　由图可知：

A＝，＝－＝，所以T＝2kπ＋π，∴φ＝2kπ＋，令k＝0，ω＝＝2，又函数图象经过点，所以2×＋φ＝π，则φ＝，故函数的解析式为f（x）＝sin，所以f（0）＝sin＝.

答案　

解决这类题目一般是先根据函数图象的最高点、最低点确定A，h的值，函数的周期确定ω的值，再根据函数图象上的一个特殊点确定φ值．

【训练2】已知函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，|φ|＜，ω＞0）的图象的一部分如图所示．

（1）求f（x）的表达式；

（2）试写出f（x）的对称轴方程．

解　

（1）观察图象可知：

A＝2且点（0,1）在图象上，∴1＝2sin（ω·0＋φ），

即sinφ＝.

∵|φ|＜，∴φ＝.又∵π是函数的一个零点，且是图象递增穿过x轴形成的零点，

∴ω＋＝2π，∴ω＝2.

∴f（x）＝2sin.

（2）设2x＋＝B，则函数y＝2sinB的对称轴方程为

B＝＋kπ，k∈Z，

即2x＋＝＋kπ（k∈Z），

解上式得x＝＋（k∈Z），

∴f（x）＝2sin的对称轴方程为x＝＋（k∈Z）．

考向三　函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象与性质的综合应用

【例3】►（2012·西安模拟）已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0,0＜φ＜）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上的一个最低点为M.

（1）求f（x）的解析式；

（2）当x∈时，求f（x）的值域．

[审题视点]先由图象上的一个最低点确定A的值，再由相邻两个交点之间的距离确定ω的值，最后由点M在图象上求得φ的值，进而得到函数的解析式；先由x的范围，求得2x＋的范围，再求得f（x）的值域．

解　

（1）由最低点为M，得A＝2.

由x轴上相邻的两个交点之间的距离为，得＝，即T＝π，所以ω＝＝＝2.由点M在图象上，得2sin＝－2，即sin＝－1.

故＋φ＝2kπ－，k∈Z，所以φ＝2kπ－（k∈Z）．

又φ∈，所以φ＝.

故f（x）的解析式为f（x）＝2sin.

（2）因为x∈，所以2x＋∈.

当2x＋＝，即x＝时，f（x）取得最大值2；

当2x＋＝，即x＝时，f（x）取得最小值－1.

故函数f（x）的值域为[－1,2]．

利用三角函数图象与x轴的相邻两个交点之间的距离为三角函数的个最小正周期，去求解参数ω的值，利用图象的最低点为三角函数最值点，去求解参数A的值等．在求函数值域时，由定义域转化成ωx＋φ的范围，即把ωx＋φ看作一个整体．

【训练3】（2011·南京模拟）已知函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的图象过点P，图象上与点P最近的一个最高点是Q.

（1）求函数的解析式；

（2）求函数f（x）的递增区间．

解　

（1）依题意得：

A＝5，周期T＝4＝π，

∴ω＝＝2.故y＝5sin（2x＋φ），又图象过点P，

∴5sin＝0，

由已知可得＋φ＝0，∴φ＝－

∴y＝5sin.

（2）由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，

得：

－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，

故函数f（x）的递增区间为：

（k∈Z）．　　

规范解答8——怎样求解三角函数的最值问题

【问题研究】

（1）求三角函数的最值是高考的一个热点．在求解中，一定要注意其定义域，否则容易产生错误．

（2）主要题型：

①求已知三角函数的值域（或最值）；②根据三角函数的值域（或最值）求相关的参数；③三角函数的值域（或最值）作为工具解决其他与范围相关的问题．

【解决方案】①形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函数，可通过引入辅助角φ，将原式化为y＝·sin（x＋φ）＋c的形式后，再求值域（或最值）；②形如y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函数，可先设t＝sinx，将原式化为二次函数y＝at2＋bt＋c的形式，进而在t∈[－1,1]上求值域（或最值）；③形如y＝asinxcosx＋b（sinx±cosx）＋c的三角函数，可先设t＝sinx±cosx，将原式化为二次函数y＝±a（t2－1）＋bt＋c的形式，进而在闭区间t∈[－，]上求最值．

【示例】►（本题满分12分）（2011·北京）已知函数f（x）＝4cosxsin－1.

（1）求f（x）的最小正周期；

（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值．

首先化为形如y＝Asin（ωx＋φ）的形式，由T＝求得：

由x∈，求得ωx＋φ的范围，从而求得最值．

[解答示范]

（1）因为f（x）＝4cosxsin－1

＝4cosx－1

＝sin2x＋2cos2x－1＝sin2x＋cos2x

＝2sin，（4分）

所以f（x）的最小正周期为π.（6分）

（2）因为－≤x≤，所以－≤2x＋≤.（8分）

于是，当2x＋＝，即x＝时，

f（x）取得最大值2；（10分）

当2x＋＝－，即x＝－时，f（x）取得最小值－1.（12分）

解决这类问题常常借助三角函数的有界性或转化为我们所熟悉的函数，如二次函数等来解决．

【试一试】是否存在实数a，使得函数y＝sin2x＋acosx＋a－在闭区间上的最大值是1？

若存在，求出对应的a值？

若不存在，试说明理由．

[尝试解答]　y＝－2＋＋a－，

当0≤x≤时，0≤cosx≤1，令t＝cosx，则0≤t≤1，

∴y＝－2＋＋a－，0≤t≤1.

当0≤≤1，即0≤a≤2时，则当t＝，即cosx＝时．

ymax＝＋a－＝1，解得a＝或a＝－4（舍去）．

当＜0，即a＜0时，则当t＝0，即cosx＝0时，

ymax＝a－＝1，解得a＝（舍去）．

当＞1，即a＞2时，则当t＝1，即cosx＝1时，

ymax＝a＋a－＝1，解得a＝（舍去）．

综上知，存在a＝符合题意．