人教版有理数乘方教案设计.docx
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人教版有理数乘方教案设计
1.5.1有理数的乘方
(1)
教学目标
知识与技能:
通过现实背景,使学生理解并掌握有理数的乘方、幂、底数、指数的概念及意义;能够正确进行有理数乘方运算,并让学生经历探索乘方的有关规律的过程。
过程与方法:
经历“做数学”和“用数学”的过程,感受数学的奇妙性,领会重要的数学建模思想、归纳思想,形成数感、符号感,发展抽象思维。
情感态度与价值观:
认识数学与生活的密切联系,体验数学活动充满着探索与创造,感受数学的严谨性,提高数学素养。
通过参与数学学习活动,对数学有好奇心和求知欲,形成主动学习态度,培养科学探索精神,提升人文素质,鼓励猜想,倡导参与,与人合作,学会倾听、欣赏和感悟,建立自信心。
重点难点
重点:
理解有理数乘方的意义和表示,会进行乘方运算
难点:
1.幂、底数、指数的概念及其表示,理解有理数乘法运算与乘方间的联系,处理好负数的乘方运算。
2.用乘方知识解决有关实际问题。
教学设计
一、复习提问,导入新课
1.几个不等于零的有理数相乘,积的符号是怎样确定的?
几个不等于零的有理数相乘,积的符号由负因数的个数确定,当负因数的个数为奇数时,积为负;当负因数的个数为偶数时,积为正.
2.正方形的边长为2,则面积是多少?
棱长为2的正方体,则体积为多少?
边长为2的正方形的面积为2×2=4;棱长为2的正方体的体积为2×2×2=8.
在这里我们发现2×2,2×2×2都是相同因数的乘法,为了简便,我们将它们分别记作:
22,23,22读作“2的平方”(或“2的二次方”),23读作“2的立方”(或“2的三次方”).
同样:
(-2)×(-2)×(-2)×(-2)记作什么?
读作什么?
(-
)×(-
)×(-
)×(-
)×(-
)记作什么?
读作什么?
a·a·a·a·a·a可以记作什么?
读作什么?
那么:
a·a·…·a像这样n个相同的因数a相乘,记作什么?
读作什么?
记作an,读作a的n次方。
★对于an中的a,不仅可以取正数,还可以取0和负数,也就是说a可以取任意有理数,这就是我们今天要研究的课题:
有理数的乘方。
二、探索新知,讲授新课
一般地,n个相同的因数a相乘,即a·a……a,记作an,读作a的n次方。
这种求n个相同因数的积的运算,叫做乘方,乘方的结果叫做幂.
在an中,a叫底数,n叫做指数,当an看作a的n次方的结果时,也可以读作a的n次幂.
例如,在94中,底数是9,指数是4,94读作“9的4次方”,或“9的4次幂”,它表示4个9相乘,即9×9×9×9;
一个数可以看作这个数本身的一次方,例如5就是51,指数1通常省略不写.
例1:
计算:
(1)(-4)3;
(2)(-2)4;(3)(-
)5;
(4)33;(5)24;(6)(-
)2.
解:
(1)(-4)3=(-4)×(-4)×(-4)=-64
(2)(-2)4=(-2)×(-2)×(-2)×(-2)=16
(3)(-
)5=(-
)×(-
)×(-
)×(-
)×(-
)=-
(4)33=3×3×3=27
(5)24=2×2×2×2=16
(6)(-
)2=(-
)×(-
)=
观察以上运算结果,你发现负数的幂的正负有什么规律?
根据有理数的乘法法则可以得出:
负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数;正数的任何次幂都是正数;0的任何次幂都是0.
思考:
①32与23有什么不同?
②(-2)3与-23的意义是否相同?
其中结果是否一样?
③(-2)4与-24呢?
④(
)2与
呢?
解答:
②(-2)3的底数是-2,指数是3,读作-2的3次幂,表示(-2)×(-2)×(-2),结果是-8;-23的底数是2,指数是3,读作2的3次幂的相反数,表示为-(2×2×2),结果是-8.(-2)3与-23的意义不同,但结果相同.
③(-2)4的底数是-2,指数是4,读作-2的四次幂,表示(-2)×(-2)×(-2)×(-2),结果是16;-24的底数是2,指数是4,读作2的4次幂的相反数,表示为-(2×2×2×2),其结果为-16.(-2)4与-24的意义不同,其结果也不同
④(
)2的底数是
,指数是2,读作
的二次幂,表示
×
,结果是
;
表示32与5的商,即
,结果是
.(
)2与
的意义不同,其结果也不同。
因此,当底数是负数或分数时,一定要用括号把底数括起来.
三、运用计算机进行乘方运算
例2:
用计算器计算(-8)5和(-3)6.
解:
用带符号键(-)的计算器.
开启计算器后按照下列步骤进行:
((-)8)∧5=
显示:
(-8)^5
-32768即(-8)5=-32768
((-)3)∧6=
显示:
(-3)^6
729即(-3)6=729
用带符号转换键+/-的计算器:
8+/-∧5=
显示:
-32768
3+/-∧6=
显示:
729
所以(-8)5=-32768(-3)6=729
四、巩固练习
课本第42页练习1、2.
五、课堂小结
正确理解乘方的意义,an表示n个a相乘的积.注意(-a)n与-an两者的区别及相互关系:
(-a)n的底数是-a,表示n个-a相乘的积;-an底数是a,表示n个a相乘的积的相反数.当n为偶数时,(-a)n与-an互为相反数,当n为奇数时,(-a)n与-an相等.
六、作业布置
1.课本第47页习题1.5第1、7题,第48页第11、12题.
七、课后反思
1.5.1有理数的乘方
(2)
教学目标
知识与技能:
1.能较熟练地进行有理数的混合运算,培养学生的运算能力。
2.在运算中能自觉地运用运算律。
3.培养学生的探究能力。
过程与方法:
1.通过本课的学习,使学生认识到小学算术里的四则运算同样适用于有理数的范围,体会知识系统性。
2.培养学生的观察探究能力,善于从表面现象看本质联系。
情感态度与价值观:
通过师生互动,培养学生的应用意识,提高学习数学的兴趣和热情。
重点难点
重点:
有理数的混合运算。
难点:
正确而合理地进行有理数的混合运算。
教学设计
一、复习提问,导入新课
1.小学我们进行数的混合运算时,运算顺序是怎样的?
2.到现在为止,我们一共学了几种运算,你知道它们的混合运算顺序是怎样的吗?
二、探索新知,讲授新课
观察下面的算式里有哪几种运算?
3+50÷22×(-
)-1①
这个算式里,含有有理数的加、减、乘、除、乘方五种运算,按怎样的顺序进行运算?
有理数的混合运算,应按以下运算顺序进行:
1.先乘方,再乘除,最后加减;
2.同级运算,从左往右进行;
3.如果有括号,先做括号内的运算,按小括号、中括号、大括号依次进行.
例如上面①式
3+50÷22×(-
)-1
=3+50÷4×(-
)-1
=3+50×
×(-
)-1
=3-
-1
=-
例3:
计算:
(1)2×(-3)3-4×(-3)+15;
(2)(-2)3+(-3)×[(-4)2+2]-(-3)2÷(-2).
分析:
分清运算顺序,先乘方,再做中括号内的运算,接着做乘除,最后做加减.计算时,特别注意符号问题.
解:
(1)原式=2×(-27)-(-12)+15
=-54+12+15
=-27
(2)原式=-8+(-3)×(16+2)-9÷(-2)
=-8+(-3)×18-(-4.5)
=-8-54+4.5=-57.5
例4:
观察下面三行数:
-2,4,-8,16,-32,64,…①
0,6,-6,18,-30,66,…②
-1,2,-4,8,-16,32,…③
(1)第①行数按什么规律排列?
(2)第②、③行数与第①行数分别有什么关系?
(3)取每行数的第10个数,计算这三个数的和.
分析:
第①行数,从符号看负、正相隔,奇数项为负数,偶数项为正数,从绝对值看,它们都是2的乘方.
解:
(1)第①行数是
-2,(-2)2,(-2)3,(-2)4,(-2)5,(-2)6,…
(2)对比①②两行中位置对应的数,你有什么发现?
第②行数是第①行相应的数加2.
即-2+2,(-2)2+2,(-2)3+2,(-2)4+2,…
对比①③两行中位置对应的数,你有什么发现?
第③行数是第①行相应的数的一半,即
-2×0.5,(-2)2×0.5,(-2)3×0.5,(-2)4×0.5,…
(3)根据第①行数的规律,得第10个数为(-2)10,那么第②行的第10个数为
(-2)10+2,第③行中的第10个数是(-2)10×0.5.
所以每行数中的第10个数的和是:
(-2)10+[(-2)10+2]+[(-2)10×0.5]
=1024+(1024+2)+1024×0.5
=1024+1026+512=2562
三、巩固练习
课本第44页练习.
四、课堂小结
在进行有理数混合运算时,一般按运算顺序进行,但有时根据运算律会使运算更简便,因此要在遵守运算顺序外,还要注意灵活运用运算律,使运算快捷、准确.
五、作业布置
1.课本第47页至第48页习题1.5第3、8题.
六、课后反思
1.5.2科学记数法
教学目标
知识与技能:
利用10的乘方,进行科学记数,会用科学记数法表示大于10的数,会解决与科学记数法有关的实际问题。
过程与方法:
体会科学记数法的好处和化繁为简的方法。
情感态度与价值观:
正确使用科学记数法表示数,表现出一丝不苟的精神。
重点难点
重点:
用科学记数法表示大于10的数。
难点:
探究用科学记数法表示大于10的数的方法。
教学设计
一、复习提问,导入新课
1.乘方的意义,a表示什么意义?
底数是什么?
指数是什么?
2.102=;103=;104=。
100=10×10=(写成幂的形式,下同);1000=;10000=;100000=。
二、探索新知,讲授新课
例如第五次人口普查时,中国人口约为1300000000人,太阳半径约为696000000,光的速度约为300000000米/秒.读、写这样大的数有一定困难,那么有简单的表示方法吗?
让我们先观察10的乘方有什么特点?
102=100,103=1000,104=10000,…
即10的n次幂等于10…0(在1的后面有n个0),所以可以利用10的乘方表示一些大数,例如567000000=5.67×100000000=5.67×108
读作:
“5.67乘10的8次方(幂)”.
这样不仅可以使书写简短,同时还便于读数.
像上面这样,把一个大于10的数表示成a×10n的形式(其中a大于或等于1且小于10即1≤a<10,n是正整数),这种记数方法叫科学记数法.
例如用科学记数法表示中国人口约为1.3×109人,太阳半径约为6.96×108米,光的速度约为3×108米/秒.
例5:
用科学记数法表示下列各数.
1000000,57000000,123000000000.
解:
1000000=106(这里a=1省略不写)
57000000=5.7×10000000=5.7×107
123000000000=1.23×100000000000=1.23×1011
思考:
观察上面的式子,等号左边整数的位数与右边10的指数有什么关系?
1000000是7位整数,而10的指数是6,57000000是8位整数,而10的指数为7.
即等号右边10的指数比左边整数的位数小1.
问:
如果一个数是6位整数,用科学记数法表示时,10的指数是多少?
如果一个数有8位整数呢?
用科学记数法表示一个n位整数,其中10的指数是n-1.
注意:
①“n位整数”是指这个数的整数部分的位数.
例如:
831.5的整数部分是3位,用科学记数法表示为8.315×102.
②用科学记数法表示一个数时,规定a必须是大于或等于1且小于10.(1≤a<10)
三、巩固练习
1.课本第45页习题1.5第1、2、3题.
四、课堂小结
用科学记数法表示较大的数时,注意a×10n中a的范围是1≤a<10,n是正整数,n与原数的整数部分的位数m的关系是m-1=n,反过来由用科学记数法表示的数写出原数时,原数的整数部分的数位m比10的指数大1.(即m=n+1)
另外,对于绝对值较大的负数,如-729000,它可表示为-7.29×105,它的意义是7.29×105的相反数,这里的a仍然是1≤a<10.
五、作业布置
课本第47页习题1.5第4、5、9、10题.
六、课后反思
1.5.3近似数
教学目标
知识与技能:
1.理解精确度和近似数的意义。
2.能准确地说出精确位及按要求进行四舍五入取近似数。
过程与方法:
通过对近似数的学习感受数学与生活的联系。
情感态度与价值观:
培养学生热爱数学热爱生活的乐观态度。
重点难点
重点:
近似数和精确度的意义。
难点:
由给出的近似数求其精确度,按给定的精确度求一个数的近似数。
教学设计
一、探索新知,讲授新课
1.准确数和近似数.
在日常生活和生产实际中,我们接触到很多这样的数.例如:
对于参加同一个会议的人数,有两种报道,一种报道说:
“会议秘书处宣布,参加今天会议的有513人”.这里数字513确切地反映了实际人数,它是一个准确数,另一种报道说:
“约有500人参加了今天的会议”,500这个数只能接近实际人数,但与实际人数还有差别,它是一个近似数.
例如,统计班上喜欢看球赛同学的人数是35,这个数是与实际完全符合的准确数,一个也不多,一个也不少,又如,初一
(1)班有55个学生,某工厂有126台机床,我有8本练习本,这些数都是与实际完全符合的准确数.
再如宇宙现在的年龄约为200亿年,长江长约6300千米,圆周率
约为3.14,这些数都是近似数.
在许多情况下,很难取得准确数,或者不必使用准确数,而可以使用近似数.你还能举出一些日常遇到的近似数吗?
2.关于精确度问题
近似数与准确数的接近程度,可以用精确度表示,例如,前面的500是精确到百位的近似数,它与准确数513的误差为13.
我们都知道圆周率
=3.141592…
计算时我们需按照要求取近似数.
如果要求按四舍五入精确到个位,那么≈3;
如果要求按四舍五入精确到0.1(或精确到十分位),那么
≈3.1;
如果要求按四舍五入精确到0.01(或精确到百分位),那么
≈3.14;
如果要求按四舍五入精确到0.001(或精确到千分位),那么
≈_______;
反过来,若
≈3.1416,那么精确到________,或叫精确到_______.
一般地,一个近似数,四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位.
3.近似数的有效数字.
一个近似数,从左边第一个不是零的数字起,到末位数字止,所有数字都是这个数的有效数字,一共包含的有效数字的个数,叫这个近似数的有效数字的个数.
例如近似数0.025有两个有效数字:
2,5;1500有4个有效数字:
1,5,0,0;0.103有有3个有效数字:
1,0,3.
对于用科学记数法表示的数a×10n,规定它的有效数字就是a中的有效数字,例如近似数5.104×106有4个有效数字:
5,1,0,4.
规定有效数字的个数,也是对近似数精确程度的一种要求.
一般说,对于同一个数取近似数时,有效数字个数越多,精确程度越高.如果四舍五入法对
取近似数时,若要求保留1个有效数字,则
≈3;若要求保留3个有效数字,则
≈3.14.
例6:
按括号内的要求,用四舍五入法对下列数取近似数.
(1)0.0158(精确到0.001位);
(2)304.35(精确到个位);
(3)1.804(精确到0.1位);
(4)1.804(精确到0.01位);
(5)3.5046(精确到百分位);
(6)2.971×104(保留2个有效数字).
解:
(1)0.0158≈0.016;
(2)304.35≈304;
(3)1.804≈1.8;
(4)1.804≈1.80;
(5)3.5049≈3.50;
(6)2.971×104≈3.0×104.
例7:
下列是由四舍五入法得到的近似数,各精确到哪一位?
保留几个有效数字?
(1)132.4;
(2)0.0572;(3)2.40万;(4)3000.
解:
(1)132.4是精确到0.1,保留4个有效数字.
(2)0.0572是精确到0.0001,保留3个有效数字.
(3)2.40万是精确到百位,保留3个有效数字.
(4)3000是精确到个位,保留4个有效数字.
二、巩固练习课本第46页练习.
三、课堂小结
正确理解和掌握近似数、准确数和有效数字的概念,给出一个近似数,能准确地确定它精确到哪一位,有哪几个有效数字,并能按要求求一个数的近似数.
四、作业布置
课本第47页至第48页习题1.5第6题.
五、课后反思
第一章有理数综合复习
教学目标
1.理解有理数、相反数、倒数、绝对值和近似数的意义;
2.掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算;
3.会用科学记数法表示数,比较有理数的大小,求有理数的相反数与绝对值;
4.能用数轴上的点表示有理数,运用运算律简化运算,运用有理数的运算解决简单的问题。
难点重点
重点1.理解有理数的有关概念:
有理数、相反数、倒数、绝对值和近似数。
2.能进行有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算。
难点1.对绝对值概念的理解;
2.有理数的混合运算。
教学过程
本章的主要内容可以概括为有理数的概念与有理数的运算两部分。
有理数的概念可以
利用数轴来认识、理解,同时,利用数轴又可以把这些概念串在一起。
有理数的运算是全章的重点。
在具体运算时,要注意四个方面,一是运算法则,二是运算律,三是运算顺序,四是近似计算。
一、基础知识:
1、正数(positionnumber):
大于0的数叫做正数。
2、负数(negationnumber):
在正数前面加上负号“-”的数叫做负数。
3、0既不是正数也不是负数。
4、有理数(rationalnumber):
整数和分数统称为有理数。
正整数、0和负整数统称为整数;正分数、负分数统称为分数。
5、数轴(numberaxis):
可以用一条直线上的点表示数,这条直线叫做数轴。
数轴满足以下要求:
(1)在直线上任取一个点表示数0,这个点叫做原点(origin);
(2)通常规定直线上从原点向右(或上)为正方向,从原点向左(或下)为负方向;
(3)选取适当的长度为单位长度。
6、相反数(oppositenumber):
只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
7、绝对值(absolutevalue)一般地,数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。
记做|a|。
一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.
正数大于0,0大于负数,正数大于负数;两个负数,绝对值大的反而小。
8、有理数加法法则
(1)同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加。
(2)绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
互为相反数的两个数相加得0.
(3)一个数同0相加,仍得这个数。
加法交换律:
有理数的加法中,两个数相加,交换加数的位置,和不变。
表达式:
a+b=b+a。
加法结合律:
有理数的加法中,三个数相加,先把前两个数相加或者先把后两个数相加,和不变。
表达式:
(a+b)+c=a+(b+c)
9、有理数减法法则
减去一个数,等于加这个数的相反数。
表达式:
a-b=a+(-b)
10、有理数乘法法则
两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘。
任何数同0相乘,都得0.
乘法交换律:
一般地,有理数乘法中,两个数相乘,交换因数的位置,积相等。
表达式:
ab=ba
乘法结合律:
三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积相等。
表达式:
(ab)c=a(bc)
乘法分配律:
一般地,一个数同两个的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘,再把积相加。
表达式:
a(b+c)=ab+ac
11、倒数
乘积是1的两个数互为倒数。
12、有理数除法法则:
两数相除,同号得负,异号得正,并把绝对值相除。
0除以任何一个不等于0的数,都得0.
13、有理数的乘方:
求n个相同因数的积的运算,叫做乘方,乘方的结果叫做幂(power)。
an中,a叫做底数(basenumber),n叫做指数(exponent)。
根据有理数的乘法法则可以得出:
负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数。
正数的任何次幂都是正数,0的任何正整数次幂都是0。
14、有理数的混合运算顺序
(1)“先乘方,再乘除,最后加减”的顺序进行;
(2)同级运算,从左到右进行;
(3)如有括号,先做括号内的运算,按小括号、中括号、大括号依次进行。
15、科学技术法:
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