完整版小学奥数平面几何五大定律.docx
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完整版小学奥数平面几何五大定律
小学奥数平面几何五大定律
教学目标:
1.熟练掌握五大面积模型
2.掌握五大面积模型的各种变形
知识点拨
一、等积模型
①等底等高的两个三角形面积相等;
②两个三角形高相等,面积比等于它们的底之比;
两个三角形底相等,面积比等于它们的高之比;如右图§:
S2a:
b
③夹在一组平行线之间的等积变形,如右图SxACDSBCD;
反之,如果SaacdSaBCD,则可知直线AB平行于CD.
④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形
⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半;⑥两个平行四边形高相等,面积比等于它们的底之比;两个平行四边形底相等,面积比等于它们的高之比.二、鸟头定理
两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形.
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比.
E在AC上),
如图在4ABC中,D,E分别是AB,AC上的点如图⑴(或D在BA的延长线上,
AC):
(ADAE)
则S>AABC:
SAADE(AB
图⑴图⑵
三、蝴蝶定理
任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”):
①S1:
S2S4:
S3或者&S3S2S4②AO:
OCSS2:
S4S3
蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径.通过构造
模型,一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系;另一方面,也可以得到与面积对应的对角线的比例关系.
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”):
22
1S1:
S3a:
b
2S1:
S3:
&:
S4a2:
b2:
ab:
ab;
2
③S的对应份数为ab.
四、相似模型
(一)金字塔模型
AADAE
ABAC
DEAF一—;
BCAG
22
②SLADE:
SAABCAF:
AG.
所谓的相似三角形,就是形状相同,大小不同的三角形相似三角形相关的常用的性质及定理如下:
(只要其形状不改变,不论大小怎样改变它们都相似),与
⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例,并且这个比例等于它们的相似比;
⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方;
⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
三角形中位线定理:
三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半.
相似三角形模型,给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具.在小学奥数里,出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形.五、燕尾定理
在三角形ABC中,AD,BE,CF相交于同一点O,那么Sabo:
SacoBD:
DC.上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段,因为ABO和ACO的形状
很象燕子的尾巴,所以这个定理被称为燕尾定理.该定理在许多几何题目中都有着
广泛的运用,它的特殊性在于,它可以存在于任何一个三角形之中,为三角形中的
三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径^
典型例题
【例1】如图,正方形ABCD的边长为6,AE1.5,CF2.长方形EFGH的面积为.
【解析】连接DE,DF,则长方形EFGH的面积是三角形DEF面积的二倍.
三角形DEF的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积,
Sadef661.5622624.54216.5,所以长方形EFGH面积为33.
如图所示,正方形ABCD的边长为8厘米,长方形
EBGF的长BG为10厘米,那么长方形的宽为几厘米?
(长方形和正方形可以看作特殊的平行四
本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等
边形).三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半.
证明:
连接AG.(我们通过4ABG把这两个长方形和正方形联系在一起).
【例2】
•••在正方形ABCD中,SaABG
1
—ABAB边上的高,2
c1c一…———一,—,
.Saabg-Swabcd(三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半
2
同理,SaABG二SEFGB•
2
,正方形ABCD与长方形EFGB面积相等.
长方形白^宽88106.4(厘米).
长方形ABCD的面积为36cm2,E、F、是多少?
G为各边中点,H为AD边上任意一点,问阴影部分面积
解法一:
寻找可利用的条件,
连接BH、HC,如下图:
1C
可得:
SEHBS
2
AHB、
即SEHBSBHFSDHG
而SEHBSBHFSDHG
所以阴影部分的面积是:
解法二:
特殊点法.找
SFHB
1S
2
CHB、
AHBSCHB
S阴影SEBF,SEBF
S!
影18Sebf
S1s
SDHG_SDHC
SCHD)
1一BEBF
2
184.513.5
H的特殊点,把H点与D点重合,
而SABCD
3618.
1(2
AB)
SAHBSCHBSCHD36
11
(—BC)—364.5.
28
那么图形就可变成右图:
这样阴影部分的面积就是DEF的面积,根据鸟头定理,则有:
八1111“11”111”11”
S阴影SaBCDSAEDSBEFSCFD36——36———36——3613.5.
2222222
【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD内任取一点P,将正方形的一组对边二等分,另一组对边三等分,分别与P点连接,求阴影部分面积.
P点与A点重合,则阴影部
11一
-和-,所以阴影部分的面
46
卜两个阴影三角形的面积之和
(法1)特殊点法.由于P是正方形内部任意一点,可采用特殊点法,假设
分变为如上中图所示,图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的
一,211一、一,
积为6(--)15平万厘米.
46
(法2)连接PA、PC.
由于PAD与PBC的面积之和等于正方形ABCD面积的一半,所以上、
等于正方形ABCD面积的1,同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD面积的1,
46
~〜〜一,211一、一,
所以阴影部分的面积为62(-1)15平方厘米.
46
70,AB8,AD15,四边形EFGO的面积
【例3】如图所示,长方形ABCD内的阴影部分的面积之和为为
【解析】利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE、DOG和四边形EFGO的面积之和,以及三角形AOE
和DOG的面积之和,进而求出四边形EFGO的面积.
1
由于长方形ABCD的面积为158120,所以三角形BOC的面积为120」30,所以三角形AOE和
4
3
DOG的面积之和为120-7020;
4
11
又三角形AOE、DOG和四边形EFGO的面积之和为120--30,所以四边形EFGO的面积为
302010.
另解:
从整体上来看,四边形EFGO的面积三角形AFC面积三角形BFD面积白色部分的面积,而三角形AFC面积三角形BFD面积为长方形面积的一半,即60,白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积,即1207050,所以四边形的面积为605010.
【巩固】
如图,长方形ABCD的面积是36,E是AD的三等分点,AE2ED,则阴影部分的面积为
【解析】
如图,连接OE.
根据蝴蝶定理,ON:
ND
SCOE:
SCDE
1_
二SCAE:
SCDE1:
1,所以SOEN
2
1s
—SOED
2
【例4】
【例5】
OM:
MA
又SOED
SBOE:
SBAE
1s:
S
一SBDE:
SBAE
2
c1c
1:
4,所以SOEM二SOEA.
5
11s
S矩形ABCD
34
2SOED6,所以阴影部分面积为:
已知ABC为等边三角形,求阴影五边形的面积.
面积为400,D、E、F分别为三边的中点,已知甲、
(丙是三角形HBC)
乙、
丙面积和为143,
因为D、E、F分别为三边的中点,所以DE、DF、EF是三角形ABC的中位线,也就与对应的边平
行,根据面积比例模型,三角形
根据图形的容斥关系,有SABC
ABN和三角形AMC的面积都等于三角形
S丙SABNSAMCSAMHN,
即400
如图,
ABC的一半,即为200.
S200200Samhn
所以SwSAMHN.
SADF
&SAMHN,所以上影S甲S乙讥S
ADF
1
14340043
4
已知CD
右边部分面积是
5,
65,
DE7,EF15,FG6,线段AB将图形分成两部分,左边部分面积是38,
那么三角形ADG的面积是.
连接AF,BD.
根据题意可知,CF571527;DG
7156
28;
所以,SBEF
15
27
12
SCBF,SBECScbf,SAEG
27
217
SADG,SAEDSADG,
2828
21S
28ADG
15s
27CBF
7.
65;^8SADG
12s
27CBF
38.
[例6]
可得S
ADG40.故三角形ADG的面积是40.
如图在4ABC中,D,E分别是AB,AC上的点,米,求4ABC的面积.
连接BE,Saade:
SaabeAD:
AB2:
5
&ABE:
SaabcAE:
AC4:
7(45):
(7
SaABC35份,S\ADE16平方厘米,所以
AD:
AB
AE:
AC4:
7,
(24):
(5
5),所以
4),
SaADE:
SaABC(24):
(75),设
1份是2平方厘米,35份就是70平方厘米,
Saade16平方厘
SaADE8份,则
△ABC的面积是
共角定理:
共角三角形的面积比等于对应角
(相等角或互
70平方厘米.由此我们得到一个重要的定理,补角)两夹边的乘积之比.
如图,三角形ABC中,AB是AD的5倍,AC是AE的3倍,如果三角形ADE的面积等于1,那么三角形ABC的面积是多少?
连接BE.
EC3AE
•SvABC3SvaBE
又「AB5AD
一SvadeSvabe
5Sabc155…Sabc15Svade15.
如图,三角形ABC被分成了甲(阴影部分)、乙两部分,是甲部分面积的几倍?
BDDC4,BE3,AE6,乙部分面积
连接AD.
.BE3,AE6
•1'AB3BE,Svabd3Svbde
又「BDDC4,
•.SVABC2SvABD)一SVABC6Svbde,15&.
[例7]如图在△ABC中,D在BA的延长线上,E在AC上,且AB:
AD5:
2,AE:
EC3:
2,Saade12平方厘米,求△ABC的面积.
【解析】连接BE,Saade:
SaabeAD:
AB2:
5(23):
(53)
SaABE:
SaabcAE:
AC3:
(32)(35):
(32)5,
所以SaADE:
SaABC(32):
5(32)6:
25,设S4ADE6份,贝USAABC25份,SAADE12平方厘米,
所以1份是2平方厘米,25份就是50平方厘米,4ABC的面积是50平方厘米.由此我们得到一个重要的定理,共角定理:
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比
[例8]如图,平行四边形ABCD,BEAB,CF2CB,GD3DC,HA4AD,平行四边形ABCD的面积是2,求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比.
【解析】连接AC、BD.根据共角定理
・•・在4ABC和4BFE中,ABC与FBE互补,
SaABCABBC111
•.
SAFBEBEBF133
又SaABC1,所以SaFBE3.
同理可得SaGCF8,SADHG15,SAAEH8.
所以SefghSAAEHSACFGSADHGS\BEFSABCD8815+3+236.
所以SABCDI-1.
Sefgh3618
[例9]如图所示的四边形的面积等于多少?
【解析】题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形,难以运用公式直接求面积
我们可以利用旋转的方法对图形实施变换:
把三角形OAB绕顶点O逆时针旋转,使长为13的两条边重合,此时三角形OAB将旋转到三角形OCD的位置.这样,通过旋转后所得到的新图形是一个边长为12的正方形,且这个正方形的面积就是原来四
边形的面积.
因此,原来四边形的面积为1212144.(也可以用勾股定理)
【例10]如图所示,ABC中,ABC90,AB3,
中心为O,求OBC的面积.
BC5,以AC为一边向ABC外作正方形ACDE,
【解析】如图,将OAB沿着O点顺时针旋转90,到达OCF的位置.
由于ABC90,AOC90,所以OABOCB180.而OCFOAB,
所以OCFOCB180,那么B、C、F三点在一条直线上.
由于OBOF,BOFAOC90,所以BOF是等腰直角三角形,且斜边BF为538,所以它
的面积为82-16.
4
根据面积比仞W莫型,OBC的面积为16510.
8
【例11]如图,以正方形的边AB为斜边在正方形内作直角三角形ABE,AEB90,AC、BD交于O.已
知AE、BE的长分别为3cm、
5cm,求三角形OBE的面积.
【解析】如图,
连接DE,以A点为中心,将ADE顺时针旋转
90至UABF的位置.
那么
EAFEABBAFEABDAE90
AEB也是90,所以四边形AFBE是直角梯形,
且AF
AE3,
所以才^形AFBE的面积为:
又因为
SABD
C12.
3—12(cm).
2
ABE是直角三角形,根据勾股定理,AB
1_20
-AB217(cm2).
2
_2AE
2
BE
那么SBDESABDSABESADESABDSafBE
17
125(
2、
cm),
c1c)
所以SOBE万SBDE2.5(cm2).
【例12】
如下图,六边形ABCDEF中,ABBC平行于EF,对角线FD垂直于
面积是多少平方厘米?
ED,AF
BD,已知
CD,BCEF,且有AB平行于ED,AF平行于CD,
FD24厘米,BD18厘米,请问六边形ABCDEF的
如图,我们将BCD平移使得
【例13】
CD与AF重合,将DEF平移使得ED与AB重合,这样EF、BC都重
合到图中的AG了.这样就组成了一个长方形BGFD,它的面积与原六边形的面积相等,显然长方形
BGFD的面积为2418432平方厘米,所以六边形ABCDEF的面积为432平方厘米.
【解析】方法一:
连接CF,根据燕尾定理,
SZ\ABF
SAACF
BD
DC
S/XABF
SACBF
AE1,
设SABDF
所以Sdcef
1份,则SADCF2份,
2s
SAABC
12
12
方法二:
连接
由题目条件可得到
SADEF
1s
2
1
'△ADC
SADEB
而SACDE
【巩固】如图,长方形
厘米?
SAABF3份,
S*AAEF
S*AEFC3份,如图所标
2SAABC
SAABC
3
BF
FE
S1
SABEC
2
SZ\ABD
SAADE
1S
2
1
3
1
1
1
12,
一.所以则四边形
3
DFEC的面积等于
ABCD的面积是
2平方厘米,EC2DE,
12
F是DG的中点.阴影部分的面积是多少平方
y
如图,三角形ABC的面积是1,E是AC的中点,点D在BC上,且BD:
DC1:
2,AD与BE交于点F.则四边形DFEC的面积等于
c5c5
【解析】设SadeF1份,则根据燕尾定理其他面积如图所示SK影—SABCD平方厘米.
1212
【例14】四边形ABCD的对角线AC与BD交于点0(如图所示).如果三角形ABD的面积等于三角形BCD的面
3,
那么C0的长度是DO的长度的
倍.
在本题中,四边形ABCD为任意四边形,对于这种"不良四边形”,无外乎两种处理方法:
⑴利用已知条件,向已有模型靠拢,从而快速解决;⑵通过画辅助线来改造不良四边形.看到题目中给出条件Svabd:
Svbcd1:
3,这可以向模型一蝴蝶定理靠拢,于是得出一种解法.又观察题目中给出的已知条件是面积的关系,转化为边的关系,可以得到第二种解法,但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”,于是可以作AH垂直BD于H,CG垂直BD于G,面积比转化为高之比.再应用结论:
使学生体会到蝴蝶定
三角形高相同,则面积之比等于底边之比,得出结果.请老师注意比较两种解法,理的优势,从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题.
解法一:
:
AO:
OCSabd:
Sbdc1:
3,,OC236,••.OC:
OD6:
3
SABD3S
AH
解法二:
作AHBD于H,
CGBD于G.
1cc.q1q
一CG,•.SAODSDOC,
33
4个三角形,其中三个三角形的面积已知,AG:
GC?
_1
.•.AO—CO,•.OC233
如图,四边形被两条对角线分成
求:
⑴三角形BGC的面积;
6,.OC:
OD6:
32:
1.
⑴根据蝴蝶定理,
SvBGC1
⑵根据蝴蝶定理,
【例15]如图,平行四边形
23,那么SVBGC6;
AG:
GC12:
361:
3.
ABCD的对角线交于0点,△CEF、AOEF>△ODF、
△BOE的面积依次是2、
4、4和6.求:
⑴求^OCF的面积;⑵求4GCE的面积.
【解析】⑴根据题意可知,
△BCD的面积为244616,那么ABCO和CDO的面积都是1628,所以
△OCF的面积为844;
⑵由于ABCO的面积为8,
△BOE的面积为6,所以^OCE的面积为862,
根据蝴蝶定理,EG:
FG
SCOE:
S
COF2:
4
1:
2,所以SGCE:
SGCFEG:
FG1:
2,
那么SGCE
,S
12CEF
【例16]如图,长方形ABCD中,
形ABCD的面积.
BE:
EC
2:
3,
DF:
FC1:
2,三角形DFG的面积为2平方厘米,求长方
连接AE,
因为BE:
EC
因为S/AED
2:
3,DF:
FC1:
2,所以SVDEF
JSK方形ABCD
」S叱m
10S长万形ABCD
I11
二S£方形ABCD,AG:
GF-:
—5:
1,所以S/AGD5S/GDF10平方厘米,所以
2210
S/AFD12平方厘米.因为
C1c~……〜
SVAFD二S£方形ABCD,所以长方形ABCD的面积是72平方厘米.
6
【例17]如图,正方形ABCD面积为3平方厘米,M是AD边上的中点.求图中阴影部分的面积.
因为M是AD边上的中点,所以AM:
BC
1:
2,根据梯形蝴蝶定理可以知道
SAAMG:
SAABG:
SAMCG
:
SABCG
12:
(12):
(12):
221:
2:
2:
4,设54agm
1份,则SAMCD123
份,所以正方形的面积为1224312份,S阴影
224份,所以Sb影:
SE方形
1:
3,所以
金影1平方厘米.
【巩固】在下图的正方形ABCD中,E是BC边的中点,AE与BD相交于F点,三角形BEF的面积为1平方厘米,那么正方形ABCD面积是平方厘米.
2
【解析】连接DE,根据题意可知BE:
AD1:
2,根据蝴蝶定理得S弟形(12)9(平方厘米),
Saecd3(平方厘米),那么Swabcd12(平方厘米).
【例18】已知ABCD是平行四边形,BC:
CE3:
2,三角形ODE的面积为6平方厘米.则阴影部分的面积是平方厘米.
【解析】连接AC.
由于ABCD是平行四边形,BC:
CE3:
2,所以CE:
AD2:
3,
根据梯形蝴蝶定理,Svcoe:
Svaoc:
Svdoe:
Svaod22:
23:
23:
324:
6:
6:
9,所以Svaoc6(平
方厘米),Svaod9(平方厘米),又SvabcS/acd6915(平方厘米),阴影部分面积为
61521(平方厘米).
【巩固】右图中ABCD是梯形,ABED是平行四边形,已知三角形面积如图所示(单位:
平方厘米),阴影部分
的面积是平方厘米.
【分析】连接AE.由于AD与BC是平行的,所以AECD也是梯形,那么S℃口S°ae.
2
根据蝴蝶定理,SOCDSOAESOCESOAD4936,故SOCD36,
所以SOCD6(平方厘米).
【巩固】右图中ABCD是梯形,ABED是平行四边形,已知三角形面积如图所示(单位:
平方厘米),阴影部分
的面积是平方厘米.
【解析】连接AE.由于AD与BC是平行的,所以AECD也是梯形,那么SocdSoae.
2\,2\,2\,2\,222_2,_
根据蝴蝶
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