线段的垂直平分线与角平分线专题复习.docx
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线段的垂直平分线与角平分线专题复习
线段的垂直平分线与角平分线专题复习
知识点复习:
1、线段垂直平分线的性质
(1)垂直平分线性质定理:
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
定理的数学表示:
如图1,∵⊥,且=
∴=.
定理的作用:
证明两条线段相等
(2)线段关于它的垂直平分线对称.
2、线段垂直平分线的判定定理:
到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
定理的数学表示:
如图2,∵=
∴点C在线段的垂直平分线m上.
定理的作用:
证明一个点在某线段的垂直平分线上.
3、关于线段垂直平分线性质定理的推论
(1)关于三角形三边垂直平分线的性质:
三角形三边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等.
性质的作用:
证明三角形内的线段相等.
(2)三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系:
若三角形是锐角三角形,则它三边垂直平分线的交点在三角形内部;
若三角形是直角三角形,则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点;
若三角形是钝角三角形,则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.反之,也成立。
4、角平分线的性质定理:
角平分线的性质定理:
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
定理的数学表示:
如图4,
∵是∠的平分线,F是上一点,且⊥于点C,⊥于点D,∴=.
定理的作用:
①证明两条线段相等;②用于几何作图问题;
角是一个轴对称图形,它的对称轴是角平分线所在的直线.
5、角平分线性质定理的逆定理:
角平分线的判定定理:
在角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上.
定理的数学表示:
如图5,
∵点P在∠的内部,且⊥于C,⊥于D,且=,
∴点P在∠的平分线上.
定理的作用:
用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线
6、关于三角形三条角平分线的定理:
(1)关于三角形三条角平分线交点的定理:
三角形三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等.
定理的数学表示:
如图6,如果、、分别是△的内角∠、∠、∠的平分线,那么:
①、、相交于一点I;
②若、、分别垂直于、、于点D、E、F,则==.
定理的作用:
①用于证明三角形内的线段相等;②用于实际中的几何作图问题.
(2)三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系:
三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.这个交点叫做三角形的内心(即内切圆的圆心).
7、关于线段的垂直平分线和角平分线的作图:
(1)会作已知线段的垂直平分线;
(2)会作已知角的角平分线;
(3)会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形.
精品习题:
1.在△中,∠90º,是∠的平分线.已知,32,且:
5:
3,则点D到的距离为.
2.如图,在△中,4,3,平分∠,则
=()
A.
B.
C.
D.不能确定
3.如图,Δ的三边、、的长分别是20、30、40、其中三条角平分线将Δ分为三个三角形,则S
:
S
:
S
等于.
4.如图所示,∠=105°,若和分别垂直平分和.则∠的度数为.
5.∥,∠
,平分∠,平分∠,点P恰好在上,则与的关系是()
A.>B. 6.如图,有A、B、C三个居民小区的位置成三角形,现决定在三个小区之间修一个超市,使超市到三个小区的距离相等,则超市应建在() A.在、两边高线的交点处 B.在、两边中线的交点处 C.在、两边垂直平分线的交点处 D.在∠A、∠B的角平分线的交点处 7.如图,是△斜边上的高,将△沿折叠,B点恰好落在的中点E处,则∠A等于() A.25ºB.30ºC.45ºD.60º 8.,,则有( ) A.垂直平分B.垂直平分 C.与互相垂直平分D.平分∠ 9.如图,平分∠,⊥,⊥,垂足分别为A,B.下列结论中不一定成立的是( ) A.B.平分∠C.D.垂直平分 10.随着人们生活水平的不断提高,汽车逐步进入到千家万户,小红的爸爸想在本镇的三条相互交叉的公路(如图所示),建一个加油站,要求它到三条公路的距离相等,这样可供选择的地址有( )处。 A、1 B、2 C、3 D、4 11.在△中,∠90°,3,4,∠,∠的平分线交于P点,⊥于E点,求的长. 12.如图,△、△都是等腰直角三角形,且D在上,的延长线与交于点E,请你判断线段与有什么关系? 并说明理由. 13.如图,∠90°,,是∠的角平分线.求证: . 14.如图,为△的角平分线,的中垂线交于点E、交的延长线于点F,于交于点O. (1)求证: ∠3=∠B; (2)连接,求证: ∠∠180°. 15.已知: ∠120°,平分∠,∠∠180°. (1)如图1,当∠∠D时,求证: ; (2)如图2,当∠B≠∠D时,猜想 (1)中的结论是否发生改变? 说明理由. 16.小明做了一个如图所示的“风筝”骨架,其中,. (1)小芳同学观察了这个“风筝”骨架后,他认为⊥,垂足为点E,并且,你同意小德的判断吗? 为什么? (2)设,,请用含a,b的式子表示四边形的面积. 17.如图,∥,、分别平分∠和∠,求证: 。 18.如图,平分∠,⊥,且∠∠180°,求证: 。 19.已知: 如图在△中,∠90°,,是∠的平分线,求证:
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