高中数学第一章三角函数52正弦函数的性质学案北师大必修40108262.docx
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高中数学第一章三角函数52正弦函数的性质学案北师大必修40108262
5.2 正弦函数的性质
内容要求 1.理解正弦函数y=sinx,x∈R的性质(重点).2.掌握正弦函数性质的应用(难点).
知识点1 正弦函数的性质
函数
正弦函数y=sinx,x∈R
图像
定义域
R
值域
[-1,1]
最值
当x=
+2kπ(k∈Z)时,ymax=1;
当x=-
+2kπ(k∈Z)时,ymin=-1
周期性
是周期函数,周期为2kπ(k∈Z,k≠0),2π是它的最小正周期
奇偶性
奇函数,图像关于原点对称
单调性
在[-
+2kπ,
+2kπ](k∈Z)上是增函数;
在[
+2kπ,
+2kπ](k∈Z)上是减函数
对称轴
x=
+kπ,k∈Z
对称中心
(kπ,0),k∈Z
【预习评价】
(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)函数y=sin(-x)为奇函数(√).
(2)函数y=sinx,x∈[-
,
]的值域是[-
,
](×).
(3)函数y=sinx在[2kπ-
,2kπ](k∈Z)上是单调递增的(√).
(4)函数y=sinx在第一象限内是递增的(×).
题型一 与正弦函数有关的值域问题
【例1】 求下列函数的值域:
(1)y=sin(2x-
),x∈[0,
];
(2)y=-2sin2x+5sinx-2.
解
(1)∵0≤x≤
,∴0≤2x≤π,-
≤2x-
≤
,令2x-
=t,则原式转化为y=sint,t∈[-
,
].
由y=sint的图像知-
≤y≤1,
∴原函数的值域为[-
,1].
(2)y=-2sin2x+5sinx-2=-2(sinx-
)2+
.
∵-1≤sinx≤1,
∴ymin=-2×(-1)2+5×(-1)-2=-9,
ymax=-2×12+5×1-2=1.
故函数y=-2sin2x+5sinx-2的值域是[-9,1].
规律方法 1.求定义域时,常利用数形结合,根据正弦曲线写出相应方程或不等式的解集.注意灵活选择一个周期的图像.
2.求值域时,注意:
(1)利用sinx的有界性;
(2)利用y=sinx的单调性.
【训练1】
(1)函数y=2sinx+1
的值域是( )
A.[1+
,3]B.[1+
,3]
C.[1-
,1+
]D.[-1,3]
(2)设函数y=sinx的定义域为[a,b],值域为
,则以下四个结论正确的是________(填序号).
①b-a的最小值为
;
②b-a的最大值为
;
③a不可能等于2kπ-
(k∈Z);
④b不可能等于2kπ-
(k∈Z).
解析
(1)画出函数y=2sinx+1(
≤x≤
)的图像如图所示,当x=
或x=
时,最小值为1+
;当x=
,最大值为3.
(2)由图像知,b-a的最大值为
(如a=-
,b=
);在b-a取最大值的情况下,固定左(或右)端点,移动右(或左)端点,必须保证取-1的最小值点在[a,b]内,所以b-a的最小值为
,b可能等于2kπ-
(k∈Z).若a=2kπ-
(k∈Z),则由图像可知函数的最大值为
的情况下,最小值不可能为-1.所以a不可能等于2kπ-
(k∈Z).
答案
(1)B
(2)①②③
题型二 正弦函数的周期性与奇偶性
【例2】 求下列函数的周期:
(1)y=sin
x;
(2)y=|sinx|.
解
(1)∵sin
=sin
=sin
x,∴sin
x的周期是4π.
(2)作出y=|sinx|的图像,如图.
故周期为π.
规律方法 1.求正弦函数的周期时要注意结合图像判断,不要盲目套用结论.
2.函数y=sinx为奇函数时其定义域必须关于原点对称,否则不具有奇偶性.如y=sinx,x∈[0,2π]是非奇非偶函数.
【训练2】 判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=xsinx;
(2)f(x)=|sinx|+1.
解
(1)∵x∈R,且关于原点对称,
又f(-x)=-xsin(-x)=xsinx=f(x),
∴f(x)为偶函数.
(2)∵x∈R,且关于原点对称,又f(-x)=|sin(-x)|+1=f(x),
∴f(x)为偶函数.
方向1 利用正弦函数的单调性比较大小
【例3-1】 利用三角函数的单调性,比较下列各组数的大小.
(1)sin196°与cos156°;
(2)sin1,sin2,sin3.
解
(1)sin196°=sin(180°+16°)=-sin16°,
cos156°=cos(180°-24°)=-cos24°=-sin66°,
∵0°<16°<66°<90°,∴sin16° 从而-sin16°>-sin66°,即sin196°>cos156°. (2)∵1< <2<3<π,sin(π-2)=sin2,sin(π-3)=sin3. 0<π-3<1<π-2< 且y=sinx在 上递增, ∴sin(π-3) 方向2 求函数的单调区间 【例3-2】 求函数y=-sinx+3的单调区间. 解 ∵y=-sinx+3与y=sinx的增减性相反. 而y=sinx的增区间是 (k∈Z),减区间是 (k∈Z). ∴函数y=-sinx+3的单调增区间是 (k∈Z),单调减区间为 (k∈Z). 方向3 求复合函数的单调区间 【例3-3】 求函数y=log sinx的单调递增区间. 解 由sinx>0得2kπ<x<2kπ+π,k∈Z, ∵0< <1, ∴函数y=log sinx的递增区间即为u=sinx>0的递减区间. ∴2kπ+ ≤x<2kπ+π,k∈Z. 故函数y=log sinx的递增区间即为 (k∈Z). 规律方法 1.用正弦函数的单调性来比较大小时,应先将异名化同名,再将不是同一单调区间的角用诱导公式转化到同一单调区间,再利用单调性来比较大小. 2.求正弦函数的单调区间有二种方法: 一是利用y=sinx的单调区间,进行代换,解不等式;二是画图像,从图像上观察,注意定义域,单调区间不能随便并起来. 课堂达标 1.函数f(x)=sin 的一个递减区间是( ) A. B.[-π,0] C. D. 解析 由 ≤x+ ≤ π, 解得 ≤x≤ π.故选D. 答案 D 2.下列函数中是奇函数的是( ) A.y=-|sinx|B.y=sin(-|x|) C.y=sin|x|D.y=xsin|x| 解析 利用定义,显然y=xsin|x|是奇函数. 答案 D 3.若函数f(x)=sin2x+a-1是奇函数,则a=________. 解析 由奇函数的定义f(-x)=-f(x)得a=1. 答案 1 4.函数y=|sinx|的值域是________. 解析 作出函数y=|sinx|的图像(图像略)可知. 答案 [0,1] 5.求函数y=3-2sin x的最值及取到最值时的自变量x的集合. 解 ∵-1≤sin x≤1, ∴当sin x=-1, x=2kπ- ,k∈Z, 即x=4kπ-π,k∈Z,ymax=5, 此时自变量x的集合为{x|x=4kπ-π,k∈Z}; 当sin x=1, x=2kπ+ ,k∈Z, 即x=4kπ+π,k∈Z时,ymin=1, 此时自变量x的集合为{x|x=4kπ+π,k∈Z}. 课堂小结 1.求正弦函数在给定区间[a,b]上的值域时,要注意结合图像判断在[a,b]上的单调性及有界性. 2.利用正弦函数的单调性比较函数值的大小时,需利用诱导公式将角转化到正弦函数的同一个单调区间内. 3.观察正弦曲线不难发现: (1)正弦曲线是中心对称图形,对称中心的坐标为(kπ,0)(k∈Z),即正弦曲线和x轴的交点,原点是其中的一个. (2)正弦曲线是轴对称图形,对称轴方程是x=kπ+ (k∈Z);正弦曲线的对称轴一定过正弦曲线的最高点或最低点. 基础过关 1.函数y=cos (x∈R)是( ) A.奇函数B.偶函数 C.非奇非偶函数D.无法确定 解析 y=cos =-sinx. 答案 A 2.函数f(x)=|sinx|的一个递增区间是( ) A. B. C. D. 解析 画出函数f(x)=|sinx|的图像如图所示,由图像可知 是函数f(x)= |sinx|的一个递增区间. 答案 C 3.设M和m分别是函数y= sinx-1的最大值和最小值,则M+m=( ) A. B.- C.- D.-2 解析 ∵M= -1,m=- -1, ∴M+m=-2. 答案 D 4.函数y= 的定义域是________,单调递减区间是________. 解析 ∵-2sinx≥0,sinx≤0, ∴2kπ-π≤x≤2kπ,k∈Z, 即函数的定义域是[2kπ-π,2kπ](k∈Z). ∵y= 与y=sinx的单调性相反, ∴函数的单调递减区间为 (k∈Z). 答案 [2kπ-π,2kπ](k∈Z) (k∈Z) 5.设a=cos29°,b=sin144°,c=sin50°,则a,b,c的大小关系为________. 解析 a=cos29°=sin61°,b=sin144°=sin36°,c=sin50°,由正弦函数的单调性可知sin36°<sin50°<sin61°,即b<c<a. 答案 b<c<a 6.不求值,比较下列各组中两个三角函数值的大小: (1)sin 与sin ; (2)sin 与sin . 解 (1)因为π< < < ,且y=sinx在 上是减少的, 所以sin >sin . (2)sin =sin =sin =sin π, sin =sin =sin , 因为 > π> >0,且y=sinx在 上是增加的,所以sin π>sin , 即sin >sin . 7.设|x|≤ ,求函数f(x)=1-sin2x+sinx的最小值. 解 f(x)=1-sin2x+sinx =- 2+ . ∵|x|≤ ,∴- ≤sinx≤ . ∴当sinx=- 时,f(x)min= . 能力提升 8.下列不等式中成立的是( ) A.sin <sin B.sin <sin C.sin3>sin2 D.sin π>sin 解析 y=sinx在 上为增函数,而- <- ,故sin <sin ,故选A. 答案 A 9.设函数f(x)=sin|x|,则f(x)( ) A.在区间 上是减函数 B.是周期为2π的周期函数 C.在区间 上为增函数 D.对称中心为(kπ,0),k∈Z 解析 由图易知,f(x)在 上是减函数. 答案 A 10.若方程sinx= 在x∈ 上有两个不同的实根,则a的取值范围是________. 解析 在同一坐标系中作出函数y=sinx,x∈ 的图像(图略),易知,当 ≤ <1,即-1<a≤1- 时, 两图像有两个不同的交点,即方程sinx= 在x∈ 上有两个不同的实根. 答案 (-1,1- ] 11.函数f(x)=2sin2x+2sinx- ,x∈[ , π]
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