完整word版小学三年级奥数讲义定义新运算doc.docx
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定新运算
一、知要点
定新运算是指运用某种特殊符号来表示特定的意,从而解答某些算式的一种运算。
解答定新运算,关是要正确地理解新定的算式含,然后格按照新定的算程序,将数代入,化常的四运算算式行算。
定新运算是一种人的、性的运算形式,它使用的是一些特殊的运算符号,如:
*、△、⊙等,是与四运算中的“+、-、×、÷”不同的。
新定的算式中有括号的,要先算括号里面的。
但它在没有化前,是不适合于各种运算定律的。
二、精精
【例1】假a*b=(a+b)+(a-b)
,求13*5和13*(5*4)。
【思路航】的新运算被定:
a*b等于a和b两数之和加上两数之差。
里的“*”就代表一
种新运算。
在定新运算中同定了要
13*5=(13+5)+(13-5)=18+8=26
先算小括号里的。
因此,在
13*(5*4
)
5*4=(5+4)+(5-4)=10
中,就要先算小括号里的(
5*4)。
13*(5*4)=13*10=(13+10)+(13-10)=26
1:
1.将新运算“*”定:
a*b=(a+b)×(a-b).。
求27*9。
2.a*b=a2+2b,那么求10*6和5*(2*8)。
3.a*b=3a-b×1/2,求(25*12)*(10*5)。
3△(4△6)
【例2】p、q是两个数,定:
p△q=4×q-(p+q)÷2。
求3△(4△6)。
=3△【4×6-(4+6)÷2】
=3△19
【思路航】根据定先算4△6。
在里“△”是新的运算符号。
=4×19-(3+19)÷2
=76-11
=65
2:
1.p、q是两个数,定p△q=4×q-(p+q)÷2,求5△(6△4)。
2.p、q是两个数,定p△q=p2+(p-q)×2。
求30△(5△3)。
3.M、N是两个数,定M*N=M/N+N/M,求10*20-1/4。
【例3】如果1*5=1+11+111+1111+11111,2*4=2+22+222+2222,3*3=3+33+333,4*2=4+44,那么
7*4=________;210*2=________。
【思路航】察,可以本的新运算“*”被定。
因此
3:
7*4=7+77+777+7777=8638
210*2=210+210210=210420
1.如果1*5=1+11+111+1111+11111,
2*4=2+22+222+2222,3*3=3+33+333,⋯⋯那么4*4=________。
2.定,
那么8*5=________。
3.如果2*1=1/2,3*2=1/33,4*3=1/444,那么(6*3)÷(2*6)=________。
【例4】定②=1×2×3,③=2×3×4,④=3×4×5,⑤=4×5×6,⋯⋯如果1/⑥-1/⑦=1/⑦×A,那么,A是几?
【思路航】的新运算被定:
@=(a-1)
×a×(a+1),据此,可以求出1/⑥-1/⑦=1/(5×6
×7)-1/(6×7×8),里的分母都比大,不易直接求出果。
根据1/⑥-1/⑦=1/⑦×A,可得出A=(1/
⑥-1/⑦)÷1/⑦=(1/⑥-1/⑦)×⑦=⑦/⑥-1。
即
4:
A=(1/⑥-1/⑦)÷1/⑦
=(1/⑥-1/⑦)×⑦
=⑦/⑥-1
=(6×7×8)/(5×6×7)-1
=1又3/5-1
=3/5
1.定:
②=1×2×3,③=2×3×4,④=3×4×5,⑤=4×5×6,⋯⋯如果1/⑧-1/⑨=1/⑨×A,
那么A=________。
2.定:
③=2×3×4,④=3×4×5,⑤=4×5×6,⑥=5×6×7,⋯⋯如果1/⑩+1/⑾=1/⑾×□,那么□=________。
3.如果1※2=1+2,2※3=2+3+4,⋯⋯5※6=5+6+7+8+9+10,那么x※3=54中,x=________。
【例5】a⊙b=4a-2b+1/2ab,求z⊙(4⊙1)=
34中的未知数x。
【思路航】先求出小括号中的4⊙1=4×4-2×1+1/2×4×1=16,再根据x⊙16=4x-2×16+1/2×x×
16=12x-32,然后解方程12x-32=34,求出x的。
列算式
5:
4⊙1=4×4-2×1+1/2×4×1=16
x⊙16=4x-2×16+1/2×x×16
=12x-32
12x-32=3412x=66
x=5.5
1.a⊙b=3a-2b,已知x⊙(4⊙1)=7求x。
2.两个整数a和b定新运算“△”:
a△b=,求6△4+9△8。
3.任意两个整数x和y定于新运算,“*”:
x*y=(其中m是一个确定的整数)。
如果1*2=1,
那么3*12=________。
便运算
一、知要点
前面我介了运用定律和性以及数的特点行巧算和算的一些方法,下面再向同学介怎
用拆分法(也叫裂法、拆法)行分数的便运算。
1
运用拆分法解主要是使拆开后的一些分数互相抵消,
达到化运算的目的。
一般地,形如a×(a+1)
1
1
1
1
1
1
a+b
的分数可以拆成a
-a+1
;形如a×(a+n)的分数可以拆成
n
×(a
-a+n
),形如a×b
的分数可以拆
11
成a+b等等。
同学可以合例思考其中的律。
二、精精
【例1】
1
1
1
1
算:
1×2+2×3
+
3×4+⋯..+
99×100
1
1
1
1
1
1
1
原式=(
1-2
)+(
2
-
3)+(
3
-
4
)+⋯..+
(
99
-
100
)
1
1
1
1
1
1
1
=1-2+
2
-3+
3
-4+
⋯..+
99
-100
1
=1-100
99
=100
1
算下面各:
1
1
1
1
1.
4×5+5×6+6×7+⋯..+
39×40
1
1
1
1
1
2.
10×11+11×12+12×13+
13×14+14×15
1
1
1
1
1
1
3.
2+6
+12
+20+
30+42
1
1
1
1
4.
1
-6
+42
+56+72
【例
2】
1
1
1
1
算:
2×4+4×6
+
6×8+⋯..+
48×50
2
2
2
2
1
原式=(2×4+4×6+
6×8+⋯..+
48×50
)×
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
=【(2
-4
)+(4
-
6
)+(6
-8
)⋯..+
(
48-50)】×2
1
1
1
=【2-50
】×2
6
=25
2
算下面各:
1
1
1
1
1
1
1
1.3×5+5×7+7×9+⋯..+
97×99
2.
1×4+4×7+7×10+⋯..+
1
97×100
1
1
1
1
1
1
1
1
1
3.1×5+5×
9+9×13+⋯..+
33×37
4.
4+28+70+130+208
【例
3】
1
7
9
11
13
15
算:
13
-
12+20
-30+42-56
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
原式=13
-(3+4
)+(4+5)-(5+6
)+(6+7
)-(7+8)
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
=13-3
-
4+4+5
-5
-6+6+7
-7
-
8
1
=1-8
7
=8
3
算下面各:
1
5
7
9
11
1.12
+6
-
12+20
-
30
191113152.14-20+30-42+56
19981998199819981998
3.1×2+2×3+3×4+4×5+5×6
7
9
11
4.6×12
-
20
×6+30
×6
【例4】
1
1
1
1
1
1
算:
2+4
+8
+16+32+64
1
1
1
1
1
1
1
1
原式=(2+4
+8
+16+
32+
64+64)-64
1
=1-64
63
=64
4
算下面各:
1111
1.2+4+8+⋯⋯⋯+256
22222
2.3+9+27+81+243
3.9.6+99.6+999.6+9999.6+99999.6
【例
5】
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
算:
(1+2
+3+
4
)×(
2+3
+4
+5
)-(1+2
+3
+4
+5
)×(
2+
3+4
)
1
1
1
1
1
1
1+2+3+4=a
2+3+4=b
1
1
原式=a×(b+5
)-(a+5
)×b
11
=ab+5a-ab-5b1
=5(a-b)
1
=5
5
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1.(2
+3
+
4+5
)×(
3+4
+5
+
6
)-(
2
+3
+4
+5
+6
)×(
3
+4
+5
)
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2.(8
+9
+
10+11)×(9
+10
+
11+12)-(
8+9+10+11+12
)×
111
(9+10+11)
1
1
1
1
1
1
1
3.(
1+1999
+2000+2001
)×(
1999
+2000
+
2001+2002
)-
1
1
1
1
1
1
1
(1+1999+2000
+2001+2002
)×(1999
+2000
+
2001
)
设数法解题
一、知识要点
在小学数学竞赛中,常常会遇到一些看起来缺少条件的题目,按常规解法似乎无解,但仔细分析就会
发现,题目中缺少的条件对于答案并无影响,这时就可以采用“设数代入法”,即对题目中“缺少”的条
件,随便假设一个数代入(当然假设的这个数要尽量的方便计算),然后求出解答。
二、精讲精练
【例题1】如果△△=□□□,△☆=□□□□,那么☆☆□=()个△。
解:
由第一个等式可以设△=3,□=2,代入第二式得☆=5,再代入第三式左边是12,所以右边括
号内应填4。
说明:
本题如果不用设数代入法,直接用图形互相代换,显然要多费周折。
练习1:
1.已知△=○○□□,△○=□□,☆=□□□,问△□☆=()个○。
2.五个人比较身高,甲比乙高3厘米,乙比丙矮7厘米,丙比丁高10厘米,丁比戊矮5厘米,甲与
戊谁高,高几厘米?
3.甲、乙、丙三个仓库原有同样多的货,从甲仓库运
60吨到乙仓库,从乙仓库运
45吨到丙仓库,
从丙仓库运
55吨到甲仓库,这时三个仓库的货哪个最多?
哪个最少?
最多的比最少的多多少吨?
【例题
2】足球门票
15元一张,降价后观众增加一倍,收入增加
1/5,问一张门票降价多少元?
【思路导航】初看似乎缺少观众人数这个条件,实际上观众人数于答案无关,我们可以随便假设一个
观众数。
为了方便,假设原来只有一个观众,
收入为
15元,那么降价后有两个观众,
收入为
15×(1+1/5)
=18元,则降价后每张票价为
18÷2=9元,每张票降价
15-9=6元。
即:
15-15×(1+1/5)÷2=6(元)
答:
每张票降价6元。
说明:
如果设原来有
a名观众,则每张票降价:
15-15a×(1+1/5)÷2a=6(元)
练习
2:
1.某班一次考试,平均分为
70分,其中
3/4
及格,及格的同学平均分为
80分,那么不及格的同学
平均分是多少分?
2.游泳池里参加游泳的学生中,小学生占
30%,又来了一批学生后,学生总数增加了
20%,小学生
占学生总数的
40%,小学生增加百分之几?
3.五年级三个班的人数相等。
一班的男生人数和二班的女生人数相等,
三班的男生是全部男生的
2/5
,
全部女生人数占全年级人数的几分之几?
【例题3】小王在一个小山坡来回运动。
先从山下跑上山,每分钟跑
跑240米,又从原路上山,每分钟跑150米,再从原路下山,每分钟跑
【思路导航】题中四个速度的最小公倍数是1200,设一个单程是
200米,再从原路下山,每分钟
200米,求小王的平均速度。
1200米。
则
(1)四个单程的和:
1200×4=4800(米)
(2)四个单程的时间分别是;
1200÷200=6(分)1200÷240=5(分)1200÷150=8(分)1200÷200=6(分)
(3)小王的平均速度为:
4800÷(6+5+8+6)=192(米)
答:
小王的平均速度是每分钟
192米。
练习3:
1.小华上山的速度是每小时
3千米,下山的速度是每小时
6千米,求上山后又沿原路下山的平均速
度。
2.张师傅骑自行车往返A、B两地。
去时每小时行15千米,返回时因逆风,每小时只行10千米,张
师傅往返途中的平均速度是每小时多少千米?
3.小王骑摩托车往返A、B两地。
平均速度为每小时48千米,如果他去时每小时行42千米,那么他
返回时的平均速度是每小时行多少千米?
【例题4】某幼儿园中班的小朋友平均身高115厘米,其中男孩比女孩多1/5,女孩平均身高比男孩
高10%,这个班男孩平均身高是多少?
【思路导航】
题中没有男、女孩的人数,我们可以假设女孩有
5人,则男孩有
6人。
(1)
总身高:
115×【5+5×(1+1/5)】=1265(厘米)
(2)
由于女孩平均身高是男孩的(1+10%),所以5个女孩的身高相当于
5×(1+10%)
=5.5个男孩的身高,因此男孩的平均身高为:
1265÷【(1+10%)×5+6】=110(厘米)
答:
这个班男孩平均身高是
110厘米。
练习
4:
1.某班男生人数是女生的
2/3
,男生平均身高为
138厘米,全班平均身高为
132厘米。
问:
女生平均
身高是多少厘米?
2.某班男生人数是女生的4/5,女生的平均身高比男生高15%,全班的平均身高是130厘米,求男、
女生的平均身高各是多少?
3.一个长方形每边增加10%,那么它的周长增加百分之几?
它的面积增加百分之几?
【例题5】狗跑5步的时间马跑3步,马跑4步的距离狗跑7步,现在狗已跑出30米,马开始追它。
问狗再跑多远,马可以追到它?
【思路导航】马跑一步的距离不知道,跑3步的时间也不知道,可取具体数值,并不影响解题结果。
设马跑一步为7,则狗跑一步为4,再设马跑3步的时间为1,则狗跑5步的时间为1,推知狗的速度
为20,马的速度为
21。
那么,
20×【30÷(21-20)】=600(米)
练习
5:
1.猎狗前面
26步远的地方有一野兔,猎狗追之。
兔跑
8步的时间狗只跑
5步,但兔跑
9步的距离仅
等于狗跑
4步的距离。
问兔跑几步后,被狗抓获?
2.猎人带猎狗去捕猎,发现兔子刚跑出
40米,猎狗去追兔子。
已知猎狗跑
2步的时间兔子跑
3步,
猎狗跑
4步的距离与兔子跑
7步的距离相等,求兔再跑多远,猎狗可以追到它?
3.狗和兔同时从
A地跑向
B地,狗跑
3步的距离等于兔跑
5步的距离,而狗跑
2步的时间等于兔跑
3
步的时间,狗跑
600步到达
B地,这时兔还要跑多少步才能到达
B地?
假设法解题
一、知识要点
假设法解体的思考方法是先通过假设来改变题目的条件,然后再和已知条件配合推算。
有些题目用假设法思考,能找到巧妙的解答思路。
运用假设法时,可以假设数量增加或减少,从而与已知条件产生联系;也可以假设某个量的分率与另一个量的分率一样,再根据乘法分配律求出这个分率对应的和,最后依据它与实际条件的矛盾求解。
二、精讲精练
【例题
1】
甲、乙两数之和是185,已知甲数的
1/4与乙数的1/5的和是
42,求两数各是多少?
【思路导航】假设将题中“甲数的
1/4”、“乙数的1/5”与“和为42”同时扩大4倍,则变成了“甲
数与乙数的4/5的和为168”,再用185减去168就是乙数的1/5。
解:
乙:
(185-42×4)÷(1-1/5×4)=85答:
甲数是
100,乙数是85。
练习1:
1.甲、乙两人共有钱150元,甲的1/2与乙的1/10
的钱数和是35元,求甲、乙两人各有多少元钱?
2.甲、乙两个消防队共有338人。
抽调甲队人数的
1/7,乙队人数的1/3,共抽调78人,甲、乙两
个消防队原来各有多少人?
3.海洋化肥厂计划第二季度生产一批化肥,已知四月份完成总数的
1/3多50吨,五月份完成总数的
2/5少70吨,还有420吨没完成,第二季度原计划生产多少吨?
【例题2】
彩色电视机和黑白电视机共250台。
如果彩色电视机卖出1/9,则比黑白电视机多5台。
问:
两种电
视机原来各有多少台?
【思路导航】从图中可以看出:
假设黑白电视机增加5台,就和彩色电视机卖出1/9后剩下的一样多。
黑白电视机增加5台后,相当于彩色电视机的(1-1/9)=8/9
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