立体几何的动态问题翻折问题.docx
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立体几何的动态问题翻折问题
立体几何的动态问题之二
———翻折问题
立体几何动态问题的基本类型:
点动问题;线动问题;面动问题;体动问题;多动问题等
一、面动问题(翻折问题):
(一)学生用草稿纸演示翻折过程:
(二)翻折问题的一线五结论
五结论:
1)折线同侧的几何量和位置关系保持不变;
折线两侧的几何量和位置关系发生改变;
二、翻折问题题目呈现:
(一)翻折过程中的范围与最值问题
1、(2016年联考试题)平面四边形ABCDxx,AD=AB=,CD=CB=,且,现将△ABD沿对角线BD翻折成,则在折起至转到平面BCD的过程xx,直线与平面BCD所成最大角的正切值为_______.
解:
由题意知点A运动的轨迹是以E为圆心,EA为半径的圆,当点A运动到与圆相切的时候所称的角最大,所以。
【设计意图】加强对一线、五结论的应用,重点对学生容易犯的错误进行分析,找出错误的原因。
2、2015年10月xx学业水平考试18).如图,在菱形ABCDxx,∠BAD=60°,线段AD,BD的xx点分别为E,F。
现将△ABD沿对角线BD翻折,则异面直线BE与CF所成角的取值范围是
A.B.C.D.
分析:
这是一道非常经典的学考试题,本题的解法非常多,很好的考查了空间立体几何线线角的求法。
方法一:
特殊值法(可过F作FH平行BE,找两个极端情形)
方法二:
定义法:
利用余弦定理:
,有
异面直线BE与CF所成角的取值范围是
方法三:
向量基底法:
方法四:
建系:
3、(2015年xx·理8)如图,已知,是的中点,沿直线将折成,所成二面角的平面角为,则(B)
A.B.C.D.
方法一:
特殊值
方法二:
定义法作出二面角,在进行比较。
方法三:
抓住问题的本质,借助圆锥利用几何解题。
4、(14年1月xx学业学考试题)如图在Rt△ABCxx,AC=1,BC=x,D是斜边AB的xx点,将△BCD沿直线CD翻折,若在翻折过程xx存在某个位置,使得CB⊥AD,则x的取值范围是( A )
A.(0,]B.C.(,2]D.(2,4]
方法一:
利用特殊确定极端值
方法二:
在xx利用余弦定理转化为的函数求解。
方法三:
取BC的xx点E,连接EA,ED在xx利用两边之和大于第三边求解。
(二)翻折之后的求值问题
5、(2016届xx一模13)已知正方形,E是边AB的中点,将沿折起至,如图所示,若为正三角形,则与平面所成角的xx值是
6、(2016届xx一模8)如图,在矩形中,,,点在线段上且,现分别沿将翻折,使得点落在线段上,则此时二面角的xx值为(D)
A.B.C.D.
三、课后练习
1、(2012年xx10)已知矩形ABCD,AB=1,BC=。
将沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折,在翻折过程中(B)
A.存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直.
B.存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直.
C.存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直.
D.对任意位置,三对直线“AC与BD”,“AB与CD”,“AD与BC”均不垂直
2(2009年xx17)如图,在长方形ABCDxx,AB=2,BC=1,E为DC的xx点,F为线段EC(端点除外)上一动点,现将AFD沿AF折起,使平面ABD⊥平面ABC,在平面ABD内过点D作DK⊥AB,K为垂足,设AK=t,则t的取值范围是_______.
3、(16年xx六校联考)如图,在边长为的正方形中,为正方形边上的动点,
现将△所在平面沿折起,使点在平面上的射
影在直线上,当从点运动到,再从运动到,
则点所形成轨迹的xx为______.
4、(2010年xx19改编)如图,在矩形中,点E,F分别在线段,上,.沿直线将翻折成,使平面平面.点分别在线段上,若沿直线将四边形向上翻折,使与重合,则线段的长为________
5、(16届金华十校一模17)如图,在矩形ABCDxx,已知AB=2,AD=4,点E、F分别在AD、BCxx,且AE=1,BF=3,将四边形AEFB沿EF折起,使点B在平面CDEFxx的射影H在直线DExx.
(Ⅰ)求证:
CD⊥BE;
(Ⅱ)求线段BH的xx;
(Ⅲ)求直线AF与平面EFCD所成角的正弦值.
17.解:
(1)由于平面,∴,又由于,,
∴,∴.
法一:
(2)设,,过作垂直于点,因为线段,在翻折过程中xx不变,根据勾股定理:
,可解得,
∴线段的xx为.
(2)延长交于点,因为,∴点到平面的距离为点到平面距离的,∴点到平面的距离为,而,直线与平面所成角的正弦值为.
法二:
(2)如图,过点作,过点作平面,分别以、、为、、轴建立空间直角坐标系,设点,
由于,,,
∴解得于是,所以线段的xx为.
(3)从而,故,,
设平面的一个法向量为,设直线与平面所成角的大小为,
则.
立体几何的动态问题之三
———最值、范围问题
1、(2006年xx·理14)正四面体ABCD的棱长为1,棱AB∥平面α,则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是.
2、(2008年xx·理10)如图,AB是平面的斜线段,A为斜足,若点P在平面内运动使得△ABP的面积为定值,则动点P的轨迹是()
(A)圆(B)椭圆(C)一条直线(D)两条平行直线
3、(15届高考模拟卷·文)如图,已知球是棱长为1的正方体的内切球,则平面截球的截面面积为
4、(2014年金华高二十校联考·文10)圆柱的轴截面ABCD是边长为2的正方形,M为正方形ABCD对角线的交点,动点P在圆柱下底面内(包括圆周),若直线BM与直线MP所成角为45°,则点P形成的轨迹为()
A.椭圆的一部分B.抛物线的一部分
C.双曲线的一部分D.圆的一部分
5(2014·xx卷理科17)某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练.已知点A到墙面的距离为AB,某目标点P沿墙面上的射线CM移动,此人为了准确瞄准目标点P,需计算由点A观察点P的xxθ的大小.若AB=15m,AC=25m,∠BCM=30°,则tanθ的最大值是________.(xxθ为直线AP与平面ABC所成角)
6(2015·xx卷8)如图1110,斜线xxAB与平面α所成的角为60°,B为斜足,平面α上的动点P满足∠PAB=30°,则点P的轨迹是( )
A.直线B.抛物线C.椭圆D.双曲线的一支
式题
(1)如图,平面α的斜线AB交α于B点,且与α所成的角为θ,平面α内有一动点C满足∠BAC=,若动点C的轨迹为椭圆,则θ的取值范围为________.
(2)在正四面体ABCDxx,M是AB的xx点,N是棱CD上的一个动点,若直线MN与BD所成的角为α,则cosα的取值范围是________.
7、(2014年7月xx学考第25题)在棱长为1的正方体
中,E、F分别是棱的中
点,N为线段的中点,若P、M分别为的动
点,则PM+PN的最小值为
8、(16届xx一模·文15)边长为1的正方体
将其对角线与平面垂直,则正方体在平面上的投影面积为.
9、(16届高考模拟卷·理)正方体ABCD﹣A1B1D1的棱长为1,底面ABCD的对角线BD在平面α内,则正方体在平面α内的投影构成的图形面积的取值范围是.
10、(16届高考模拟卷·理)将一个棱长为的正方体嵌入到四个半径为1且两两相切的实心小球所形成的球间空隙内,使得正方体能够任意自由地转动,则的最大值为()
A.B.C.D.
11、(16届xx一模·理14)在xx,,将直线绕旋转得到,直线绕旋转得到,则在所有旋转过程xx,直线与直线所成角的取值范围为____.
12、(16届金华十校一模·理14)在四面体ABCDxx,已知AD⊥BC,AD=6,BC=2,且,则V四面体ABCD的最大值为
A.6B.C.D.8
13、(15年xx高考题改编)在四面体中,已知,,
,则最大值的取值范围是
A.B.C.D.
【答案】B.
【解析】
试题分析:
设,设,则由题意,在空间图形中,设,
在xx,,
在空间图形中,过作,过作,垂足分别为,,
过作,连结,∴,
则就是二面角的平面角,∴,
在xx,,,
同理,,,故,
显然面,故,
在xx,,
在xx,
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