成都七中外地生自主招生考试数学试题和详细解析.docx
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成都七中外地生自主招生考试数学试题和详细解析
成都七中2015年外地生自主招生考试数学试题和详细解析
4和2的菱形绕中心旋转90°,可围成一个四角形(各边用实线标注),则该四角形的周长是____。
解:
作如图所示的辅助线(红色)
∵对角线长为2倍关系,∴E、F分别为AD、BD的中点,
∴EF为△ABD的中位线,∴EF=AB/2,△EFC∽△BAC,∴FC=AC/2
在Rt△ADF中,(AC+CF)2=AD2+DF2,即(AC+AC/2)2=22+12
解得
,∴周长=8AC=
解:
∵
∴
∴
∴原式
4、某三棱锥的三视图如右图所示,则该三棱锥的最长棱长为
A.
B.
C.
D.4
此题看不清原图,加之本人也未能完全参透,故未做。
5.设x,y为实数,则代数式2x2+4xy+5y2-4x+2y-5的最小值是____
解:
原式=2x2+4xy+5y2-4x+2y-5=x2+4xy+4y2+x2-4x+y2+2y-5
=(x+2y)2+x2-4x+4+y2+2y+1-5-4-1=(x+2y)2+(x-2)2+(y+1)2-10,
恰好有解x=2,y=-1使得前三项都取得最小值0,故最小值为-10
6、已知x≤y≤z≤w≤6,则方程x+y+z+w=18的正整数解的个数为
A.5B.6C.7D.8
分析:
设那4个数都相等,则它们=4.5,∵w最大,∴w≥4.5,∴w的值只能是5或6。
解:
w=6z=6y=5,4,3x=1,2,3
z=5y=5,4x=3,4
z=4y=4x=4
w=5z=5y=5,4x=3,4
∴有8组解满足条件。
7、定义分子为1且分母为正整数的分数为单位分数,把1分拆成若干个不同的单位分数之和。
如:
1=
,其中
。
设
,
,则
的最小值为
A.
B.
C.
D.
分析:
注意观察1/2=1/(1×2)=1/1-1/2,1/6=1/(2×3)=1/2-1/3,1/12=1/(3×4)=1/3-1/4…
∴1=1-1/4+1/m+1/n+1/5-1/13,化简得1/m+1/n=1/13+1/20,∵m≤n,且都为正整数,
∴m=13,n=20
(x+y+2)/(x+1)=1+(y+1)/(x+1),当最小(y≥1)即y=1时,x最大(x≤m)即x=13时,(x+y+2)/(x+1)取得最小值,即为1+(1+1)/(1+13)=8/7
8.若一个两位数的平方后的数的后两位恰好是这个两位数,这样的两位数有___个。
解:
设该数为10x+y,且x,y,a,b,c均为0-9的整数,∴(10x+y)2=1000a+100b+10x+y,
化简得100x2+20xy+y2=1000a+100b+10x+y①
0-9这10个数字中平方后个位数字为这个数本身的有0,1,5,6.但明显0不符合本题的要求,故只需考虑y=1,5,6的情况,且x≠0
当y=1时,整理①得:
10x2+x=10(10a+b),∴等式右边的个位数是0,而左边的个位数是x,但已知x≠0,∴y=1时,没有这样的两位数;
当y=5时,整理①得:
100(x2+x)+25=1000a+100b+10x+5,∴等式左边十位数和个位数为25,即25=10x+5,∴y=5时,x=2,即这个两位数为:
25
当y=6时,整理①得:
10x2+11x+3=10(10a+b),∴等式右边的个位数为0,即要求11x+3的个位数也是0,∴x=7,即y=6时,x=7,即这个两位数为:
76
∴只有2个这样的两位数,它们是25和76
9、设p、q为不相等的正整数,且关于x的方程x2-px+q=0和x2-qx+p=0的根都是正整数,则|p-q|=
分析:
设两个方程的解分别为x1,x2,x3,x4,且它们都为正整数
设p>q,则有x1+x2>x1*x2,容易知道只有x1,x2中必有一个数为1不等式才能成立,
∴p-q=x1+x2-x1*x2=1
设px3*x4,同理可知x3,x4中必有一个数为1不等式才能成立,
∴q-p=x3+x4-x3*x4=1
综上可得|p-q|=1
10.在正方形ABCD所在平面上的直线L满足下列条件:
正方形ABCD的四个顶点到直线L的距离只取两个值,其中的一个值是另一个值的3倍,这样的直线L的条数为
A.4B.8C.12D.16
解:
与正方形任意一边平行的外面有2条、里面有1条这样的直线,∴(2+1)×4=12
与四边都相交的有4条这样的直线,∴共有12+4=16条
二、填空题(本大题共4小题,每题7分,共28分)
11.在四边形ABCD中,BC=8,CD=
,AD=10,∠A=∠B=60°,则AB=_____
解:
反向延长AD和BC交于E点,∵∠A=∠B=60°,∴△ABE为正三角形,∠E=60°
过D作EB的垂线,垂足为F,设EF=x,则∠EDF=30°,DE=2x,DF=
,
∴AE=10+2x=EB,∴FC=BE-EF-CB=10+2x-x-8=2+x,
∴在Rt△DFC中,CD2=DF2+FC2,即
19=3x2+(2+x)2,整理得(2x-3)(2x+5)=0,故x=1.5,∴AB=AE=AD+DE=10+2x=10+3=13。
12、如右图,点E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点,而△ABE、△ECF、△FDA的面积分别为2、3、4,那么△AEF的面积为______
解:
设AB=a,BE=b。
∵S△FDA=4=2S△ABE,∴DF=2BE=2b
∴ab=4,(a-b)(a-2b)=6①
把b=4/a带入①整理后得a2+32/a2=18,可解得a2=2(舍去)或16,
∴S△AEF=SABCD-S△ABE-S△ECF-S△FDA=a2-2-3-4=7
13、函数
的图像被
轴所截的最大值为_______
解:
所截的值为|x1-x2|=
∴
时取得最大值
14.已知[x]表示不超过x的最大整数,如[π]=3.[3]=3,那么[
]=_____
解:
∴
,∴[
]=5或6
设
,即
,两边平方整理得
,
即
,这显然不成立,∴
[
]
三、填空题(本大题共4小题,每题8分,共32分)
15、已知1/3=
,即1/3=0.3+0.03+0.003……,等式两边同乘3.则有1=0.9+0.09+0.009……,也即
,借鉴上述操作,若有
,那么
____
解:
∵
①,把它两边同时×
得到
②,用①-②得
,∴
16.在四边形ABCD中,∠DAC=98°,∠DBC=82°,∠BCD=70°,BC=AD,则∠ACD=____
解:
延长CA到E,使AE=BD
∵∠DAC=98°+∠DBC=82°=180°
又∵∠DAC+∠DAE=180°
∴∠DBC=∠DAE,又∵BC=AD,AE=BD
∴△CBD≌△DAE
∴∠BDC=∠E=180°-∠DBC-∠BCD=28°
△CBD≌△DAE→DE=CD
∴在△CDE中,∠E=ECD=28°
17.方程
的解为____
解:
根据题有x≥0,x-1/x≥0,1-1/x≥0,∴解得x≥1
把方程移项得:
,
两边平方并整理得:
,变形得:
解得
,∵x≥1,∴
18、已知O为△ABC的外心,有AB=2,AC=4,则AO·BC的最小值为_______
解:
过O作OE⊥AB于E点,作OF⊥AC于F点
∵AE=AB/2=2/2=1,AF=AC/2=4/2=2,带入上式得:
-1×2+2×4=6
四、解答题(本大题共2小题,19题14分,20题16分,共30分)
19、如图正方形OABC的顶点O在坐标原点,且OA边和AB边所在直线的解析式分别为y=3x/4和y=-4x/3+25/3,D、E分别为OC、AB的中点,P为OA边上一动点(点P与点O不重合),连接DE和CP,交点为Q
(1)求证:
Q为△COP的外心
(2)求正方形OABC的边长(3)当圆Q与AB相切时,求点P的坐标
(1)证明:
∵D、E分别为OC、AB的中点,
∴DQ为Rt△COP的中位线,∴Q为斜边CP的中点
∴Q为△COP的外心
(2)解:
解方程组y=3x/4和y=-4x/3+25/3,得到它们的交点即A点的坐标(4,3)
∴OA=
,∴正方形OABC的边长为5.
(3)∵AE与○Q相切于E,OA与○Q相割于P
∴AE2=AP×AO,∴AP=5/4,∴OP=5-AP=5-5/4=15/4
设点P的坐标为(x,3x/4),则有
x2+(3x/4)2=(15/4)2,解得x=3或-3(舍去),∴y=3x/4=9/4
∴点P的坐标为(3,9/4)
20、若存在正常数L,对某一函数图像上任意不同两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),有不等式|y1-y2|≤L|x1-x2|恒成立,则称该函数为李氏函数,L为该函数的李氏系数。
(1)判断y=2x+1和y=1/x是否为李氏函数(只判断不用说明理由);
(2)若函数y=1/x(1/2 (3)若函数y=x3(α 的取值范围。 解: (1)y=2x+1是为李氏函数,y=1/x不是为李氏函数。 (2)∵函数y=1/x(1/2 ∴|y1-y2|≤L|x1-x2|,即|1/x1-1/x1|≤L|x1-x2|,整理得: ≤L 又∵1/2 < =4 ∴李氏系数L的取值范围为: L>4 (3)本人能力不及。
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