高中数学2立体几何优质教案5 平面.docx
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高中数学2立体几何优质教案5平面
平面
【教学目标】
1.正确理解平面的几何概念,掌握平面的基本性质。
2.熟练掌握三种数学语言的转换与翻译,结合三个公理的应用会证明共点、共线、共面问题.
3.通过三种语言的学习让学生感知数学语言的美,培养学生学习数学的兴趣.
【重点难点】
三种数学语言的转换与翻译,利用三个公理证明共点、共线、共面问题。
【课时安排】
1课时
【教学过程】
导入新课
大家都看过电视剧《西游记》吧,如来佛对孙悟空说:
“你一个跟头虽有十万八千里,但不会跑出我的手掌心”.结果孙悟空真没有跑出如来佛的手掌心,孙悟空可以看作是一个点,他的运动成为一条直线,大家说如来佛的手掌像什么?
对,像一个平面,今天我们开始认识数学中的平面.
推进新课
新知探究
提出问题
①怎样理解平面这一最基本的几何概念;
②平面的画法与表示方法;
③如何描述点与直线、平面的位置关系?
④直线与平面有一个公共点,直线是否在平面内?
直线与平面至少有几个公共点才能判断直线在平面内?
⑤根据自己的生活经验,几个点能确定一个平面?
⑥如果两个不重合的平面有一个公共点,它们的位置关系如何?
请画图表示;
⑦描述点、直线、平面的位置关系常用几种语言?
⑧自己总结三个公理的有关内容.
活动:
让学生先思考或讨论,然后再回答,经教师提示、点拨,对回答正确的学生及时表扬,对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.对有困难的学生可提示如下:
①回忆我们学过的最基本的概念(原始概念),如点、直线、集合等.
②我们的桌面看起来像什么图形?
表示平面和表示点、直线一样,通常用英文字母或希腊字母表示.
③点在直线上和点在直线外;点在平面内和点在平面外。
④确定一条直线需要几个点?
⑤引导学生观察教室的门由几个点确定.
⑥两个平面不可能仅有一个公共点,因为平面有无限延展性.
⑦文字语言、图形语言、符号语言.
⑧平面的基本性质小结。
讨论结果:
①平面与我们学过的点、直线、集合等概念一样都是最基本的概念(不加定义的原始概念),只能通过对它描述加以理解,可以用它定义其他概念,不能用其他概念来定义它,因为它是不加定义的.平面的基本特征是无限延展性,很像如来佛的手掌(吴承恩的立体几何一定不错)。
②我们的桌面看起来像平行四边形,因此平面通常画成平行四边形,有些时候我们也可以用圆或三角形等图形来表示平面,如图2。
平行四边形的锐角通常画成45°,且横边长等于其邻边长的2倍。
如果一个平面被另一个平面遮挡住,为了增强它的立体感,我们常把它遮挡的部分用虚线画出来,如图3。
图2图3
平面的表示法有如下几种:
(1)在一个希腊字母α、β、γ的前面加“平面”二字,如平面α、平面β、平面γ等,且字母通常写在平行四边形的一个锐角内(图4);
(2)用平行四边形的四个字母表示,如平面ABCD(图5);(3)用表示平行四边形的两个相对顶点的字母来表示,如平面AC(图5)。
图4图5
③下面我们总结点与直线、平面的位置关系如下表:
点A在直线a上(或直线a经过点A)
A∈a
元素与集合间的关系
点A在直线a外(或直线a不经过点A)
A
a
点A在平面α内(或平面α经过点A)
A∈α
点A在平面α外(或平面α不经过点A)
A
α
④直线上有一个点在平面内,直线没有全部落在平面内(图7),直线上有两个点在平面内,则直线全部落在平面内。
例如用直尺紧贴着玻璃黑板,则直尺落在平面内。
公理1:
如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内.
这是用文字语言描述,我们也可以用符号语言和图形语言(图6)描述.
空间图形的基本元素是点、直线、平面.从运动的观点看,点动成线,线动成面,从而可以把直线、平面看成是点的集合,因此它们之间的关系除了用文字和图形表示外,还可借用集合中的符号语言来表示.规定直线用两个大写的英文字母或一个小写的英文字母表示,点用一个大写的英文字母表示,而平面则用一个小写的希腊字母表示。
公理1也可以用符号语言表示:
若A∈a,B∈a,且A∈α,B∈α,则a
α.
图6图7
请同学们用符号语言和图形语言描述直线与平面相交。
若A∈a,B∈a,且A
α,B∈α,则a
α.如图(图7).
⑤在生活中,我们常常可以看到这样的现象:
三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等等.
上述事实和类似的经验可以归纳为下面的公理。
公理2:
经过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面.
如图(图8)。
图8
公理2刻画了平面特有的性质,它是确定一个平面位置的依据之一.
⑥我们用平行四边形来表示平面,那么平面是不是只有平行四边形这么个范围呢?
不是,因为平面是无限延展的.直线是可以落在平面内的,因为直线是无限延伸的,如果平面是有限的,那么无限延伸的直线又怎么能在有限的平面内呢?
所以平面具有无限延展的特征.
现在我们根据平面的无限延展性来观察一个现象(课件演示给学生看)。
问:
两个平面会不会只有一个公共点?
不会,因为平面是无限延展的,应当有很多公共点.正因为平面是无限延展的,所以有一个公共点,必有无数个公共点.那么这无数个公共点在什么位置呢?
可见,这无数个公共点在一条直线上.
这说明,如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。
此时,就说两平面相交,交线就是公共点的集合,这就是公理3。
如图(图9),用符号语言表示为:
P∈α,且P∈β
α∩β=l,且P∈l.
图9
公理3告诉我们,如果两个不重合的平面有一个公共点,那么这两个平面一定相交,且其交线一定过这个公共点。
也就是说,如果两个平面有一个公共点,那么它们必定还有另外一个公共点,只要找出这两个平面的两个公共点,就找出了它们的交线.
由此看出公理3不仅给出了两个平面相交的依据,还告诉我们所有交点在同一条直线上,并给出了找这条交线的方法。
⑦描述点、直线、平面的位置关系常用3种语言:
文字语言、图形语言、符号语言.
⑧“平面的基本性质”小结:
名称
作用
公理1
判定直线在平面内的依据
公理2
确定一个平面的依据
公理3
两平面相交的依据
应用示例
例1如图10,用符号语言表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.
图10
活动:
学生自己思考或讨论,再写出(最好用实物投影仪展示写的正确的答案).教师在学生中巡视,发现问题及时纠正,并及时评价。
解:
在
(1)中,α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B。
在
(2)中,α∩β=l,a
α,b
β,a∩l=P,b∩l=P。
变式训练
1.画图表示下列由集合符号给出的关系:
(1)A∈α,B
α,A∈l,B∈l;
(2)a
α,b
β,a∥c,b∩c=P,α∩β=c。
解:
如图11.
图11
2.根据下列条件,画出图形.
(1)平面α∩平面β=l,直线AB
α,AB∥l,E∈AB,直线EF∩β=F,F
l;
(2)平面α∩平面β=a,△ABC的三个顶点满足条件:
A∈a,B∈α,B
a,C∈β,C
a。
答案:
如图12.
图12
点评:
图形语言与符号语言的转换是本节的重点,主要有两种题型:
(1)根据图形,先判断点、直线、平面的位置关系,然后用符号表示出来。
(2)根据符号,想象出点、直线、平面的位置关系,然后用图形表示出来。
例2已知直线a和直线b相交于点A。
求证:
过直线a和直线b有且只有一个平面。
图13
证明:
如图13,点A是直线a和直线b的交点,在a上取一点B,b上取一点C,
根据公理2经过不在同一直线上的三点A、B、C有一个平面α,
因为A、B在平面α内,根据公理1,直线a在平面α内,
同理直线b在平面α内,即平面α是经过直线a和直线b的平面。
又因为A、B在a上,A、C在b上,所以经过直线a和直线b的平面一定经过点A、B、C.
于是根据公理2,经过不共线的三点A、B、C的平面有且只有一个,
所以经过直线a和直线b的平面有且只有一个.
变式训练
求证:
两两相交且不共点的四条直线在同一平面内.
证明:
如图14,直线a、b、c、d两两相交,交点分别为A、B、C、D、E、F,
图14
∵直线a∩直线b=A,∴直线a和直线b确定平面设为α,即a,b
α.
∵B、C∈a,E、F∈b,∴B、C、E、F∈α。
而B、F∈c,C、E∈d,∴c、d
α,
即a、b、c、d在同一平面内.
点评:
在今后的学习中经常遇到证明点和直线共面问题,除公理2外,确定平面的依据还有:
(1)直线与直线外一点。
(2)两条相交直线。
(3)两条平行直线.
拓展提升
O1是正方体ABCD-A1B1C1D1的上底面的中心,过D1、B1、A作一个截面,求证:
此截面与对角线A1C的交点P一定在AO1上。
解:
如图15,连接A1C1、AC,
图15
因AA1∥CC1,则AA1与CC1可确定一个平面AC1,
易知截面AD1B1与平面AC1有公共点A、O1,
所以截面AD1B1与平面AC1的交线为AO1.
又P∈A1C,得P∈平面AC1,而P∈截面AB1D1,
故P在两平面的交线上,即P∈AO1.
点评:
证明共点、共线问题关键是利用两平面的交点必在交线上。
课堂小结
1。
平面是一个不加定义的原始概念,其基本特征是无限延展性。
2.通过三个公理介绍了平面的基本性质,及作用。
名称
作用
公理1
判定直线在平面内的依据
公理2
确定一个平面的依据
公理3
两平面相交的依据
3.利用三个公理证明共面、共线、共点问题.
作业
课本习题2.1A组5、6。
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